高一年段数学培优教材（6）

福鼎一中高一数学备课组福鼎一中高一年段数学培优教材高一数学备课组第六讲平面向量（2）例1：（1）点P是ABC的外心，且PAPBPC，则角C的大小为_________________（2）在ABC中，||||||0BCGAACGBABGC，其中G为ABC的重心，则ABC的形状是___（3）设ABC的外心为O，H是它的垂心，求证：OHOAOBOC（4）已知O为ABC所在平面内的一点，且满足222222||||||||||||OABCOBCAOCAB，求证：点O是ABC的垂心。（5）O为ABC所在平面内的一点，则O为ABC的垂心的充要条件是：OAOBOBOCOCOA例2：已知向量(cosa，sin)，(cosb，sin)，且a与b之间有关系式：||3||kabakb，其中k＞0．（1）证明：()()abab；（2）试用k表示ab例3：已知平面上的三个向量,,abc的模均为1，它们相互之间的夹角都是120，（1）求证：()abc（2）若||1,()kabckR，求k的取值范围。例4：已知向量13(3,1),(,)22ab，存在实数,kt，使得向量2(3),,xatbykatb且xy，（1）试将k表示为t得函数()kft；（2）求2ktt得最小值。例5．已知向量(cos,sin),(sin2,1cos2),(0,1),(0,)axxbxxcx（1）向量,ab是否共线？（2）求函数()||()fxbabc的最大值。福鼎一中高一数学备课组例6：在Rt△ABC中，已知90A，BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问PQBC与的夹角取何值时BPCQ的值最大？并求出这个最大值.强化训练：1．已知ABC满足2ABABACBABCCACB，则ABC的形状是（）A等边三角形B锐角三角形C直角三角形D钝角三角形2．已知cba,,为非零的平面向量.甲：,:,abacbc乙则甲是乙的（）条件A．充分条件但不是必要B．必要条件但不是充分C．充要条件D．既非充分也非必要3．已知平面上直线l的方向向量43(,),55e点O（0，0）和A（1，－2）在l上的射影分别是'O和'A，则OAe，其中=（）A．115B．115C．2D．－24．已知12,ee是夹角为45的两个单位向量，12122,2,aeebee则,ab的夹角为___________5．如果向量a与b的夹角为，那么我们称ab为向量a与b的“向量积”，ab是一个向量，它的长度||||||sinabab，如果||3,||2,2abab，则||ab______________6．对于n个向量123,,,,,naaaa，若存在n个不全为零的实数12,,,nkkk，使得11220nnkakaka成立，则称向量123,,,,,naaaa是“线性相关”的。按此规定，能说明123(1,0),(1,1),(2,2)aaa“线性相关”的实数123,,kkk的一组取值为____________________7．设向量(cos23,cos67),(cos53,cos37),abab则___________8．已知向量(1,1)m，向量n与m的夹角为34，且1mn，则n=______________9．在ABC内求一点P，使222APBPCP的值最小。10．已知(1,3),(1,1),abcab，是否存在实数，使a与c的夹角为锐角？说明你的理由。11．已知向量25(),(),||5cos,sincos,sinabab.（1）求()cos的值；（2）若5,,130,0sinsin22且求的值12．已知向量,()1(2sin,cos),(3cos,2cos)fxabaxxbxx定义函数.（1）求函数()fx的最小正周期；（2）求函数()fx的单调减区间；福鼎一中高一数学备课组OHDCBA（3）画出函数75,[,]1212()()gxfxx的图象，由图象研究并写出()gx的对称轴和对称中心.参考答案例1：（1）60（2）等边三角形（3）如图，联结BO并延长交三角形外接圆于点D，则AHDCAHCDDACH为OHOAAHOADCOAOCODOAOCOB（4）略（5）略例2：（1）||||1ab（2）214kabk例3：（2）2202,0kkkk例4：（1）33()4ttft（2）2217(2)44kttt，当2t时取最小值74例5：（1）共线；（2）2()2sinsinfxxx；max1()8fx例6：04湖北高考题22cosBPCQaa，所以当0时，取最大值0强化练习：1C2B3D4346arccos4654264,2,17328(0,1)或(1,0)9．设,,ABaACbAPx，则222222222||()()32()APBPCPxxaxbxabxab2222113[()]()33xababab所以当1()3xab时取最小，易证此时点P为三角形ABC的重心。10．5(,0)(0,)211．（1）3cos()5（2）336512．解：2()123sincos2cos1fxabxxx3sin2cos22sin(2).6xxx（1）2.||T（2）3422222226233kxkkxk福鼎一中高一数学备课组2()63kxkkZ2()[,]().63fxkkkZ函数的单调减区间为（3）从图象上可以直观看出，此函数有一个对称中心（0,12），无对称轴x712312651226x202y0－2020