2011年高考一轮课时训练(理)3.1.5函数的奇偶性与周期性 (通用版)

第五节函数的奇偶性与周期性题号12345答案一、选择题1．f(x)，g(x)是定义在R上的函数，h(x)＝f(x)＋g(x)，则“f(x)，g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的()A．充要条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件2．(2010年安徽卷)若函数f(x)，g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝ex，则有()A．f(2)f(3)g(0)B．g(0)f(3)f(2)C．f(2)g(0)f(3)D．g(0)f(2)f(3)3．(2009年肇庆一中模拟)设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)0，且g(－2)＝0，则不等式f(x)g(x)0的解集是()A．(－2,0)∪(2，＋∞)B．(－2,0)∪(0,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(0,2)4．(2009年天津卷)已知函数f(x)＝x2＋4x，x≥04x－x2，x＜0，若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B．(－1,2)C．(－2,1)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)5．(2009年全国卷Ⅰ)函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，则()A．f(x)是偶函数B．f(x)是奇函数C．f(x)＝f(x＋2)D．f(x＋3)是奇函数二、填空题6．(2010年福建卷)函数f(x)＝x3＋sinx＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为________．7.(2009年南昌模拟)设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]．若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如右图所示，则不等式f(x)0的解是________．8．(2009年重庆卷)若f(x)＝12x－1＋a是奇函数，则a＝____________.三、解答题9．已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＋2x.(1)求函数g(x)的解析式；(2)解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|；(3)若h(x)＝g(x)－λf(x)＋1在[－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围．10．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒满足f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数．(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)．参考答案1．解析：f(x)，g(x)是定义在R上的函数，h(x)＝f(x)＋g(x)，若“f(x)，g(x)均为偶函数”，则“h(x)为偶函数”，而反之若“h(x)为偶函数”，则“f(x)，g(x)不一定均为偶函数”，所以“f(x)，g(x)均为偶函数”，是“h(x)为偶函数”是充分而不必要的条件，故选B.答案：B2．解析：用－x代换x得：f(－x)－g(－x)＝e－x，即f(x)＋g(x)＝－e－x，解得：f(x)＝ex－e－x2，g(x)＝－ex＋e－x2，而f(x)单调递增且大于等于0，g(0)＝－1，故选D.答案：D3．A4．解析：由已知，当x＜0时，则－x＞0，∴f(－x)＝(－x)2－4x＝－(4x－x2)＝－f(x)．当x＞0时，－x＜0，∴f(－x)＝4(－x)－(－x)2＝－(x2＋4x)＝－f(x)．且f(0)＝0，∴f(x)为奇函数，又当x≥0时，f(x)为增函数，∴f(x)在R上为单调递增函数，∴由f(2－a2)＞f(a)得2－a2＞a.即a2＋a－2＜0，解得－2＜a＜1.答案：C5．解析：∵f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，∴f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(－x－1)＝－f(x－1)，∴函数f(x)关于点(1,0)，及点(－1,0)对称，函数f(x)是周期T＝2[1－(－1)]＝4的周期函数．∴f(－x－1＋4)＝－f(x－1＋4)，f(－x＋3)＝－f(x＋3)，即f(x＋3)是奇函数．故选D.答案：D6．解析：f(x)－1＝x3＋sinx为奇函数，又f(a)＝2，∴f(a)－1＝1，故f(－a)－1＝－1即f(－a)＝0.答案：07．(－2,0)∪(2,5]8．解析：f(－x)＝12－x－1＋a＝2x1－2x＋a，f(－x)＝－f(x)⇒2x1－2x＋a＝－12x－1＋a⇒2a＝11－2x－2x1－2x＝1，故a＝12.答案：129．解析：(1)设函数y＝f(x)的图象上任一点Q(x0，y0)关于原点的对称点为P(x，y)，则x0＋x2＝0y0＋y2＝0，即x0＝－xy0＝－y.∵点Q(x0，y0)在函数y＝f(x)的图象上，∴－y＝x2－2x，即y＝－x2＋2x，故g(x)＝－x2＋2x.(2)由g(x)≥f(x)－|x－1|可得：2x2－|x－1|≤0.当x≥1时，2x2－x＋1≤0，此时不等式无解．当x1时，2x2＋x－1≤0，∴－1≤x≤12.因此，原不等式的解集为－1，12.(3)h(x)＝－(1＋λ)x2＋2(1－λ)x＋1.①当λ＝－1时，得h(x)＝4x＋1在[－1,1]上是增函数，符合题意，∴λ＝－1.②当λ≠－1时，抛物线h(x)＝－(1＋λ)x2＋2(1－λ)x＋1的对称轴的方程为x＝1－λ1＋λ.(ⅰ)当λ－1，且1－λ1＋λ≤－1时，h(x)在[－1,1]上是增函数，解得λ－1.(ⅱ)当λ－1，且1－λ1＋λ≥1时，h(x)在[－1,1]上是增函数，解得－1λ≤0.综上，得λ≤0.10．解析：(1)∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2，又f(x)为奇函数，∴－f(x)＝－2x－x2.∴f(x)＝x2＋2x.当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]．∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)，又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8，∴x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.(3)∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数．∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2004)＋f(2005)＋f(2006)＋f(2007)＝f(2010)＋f(2009)＋f(2010)＋f(2011)＝0.∴f(0)＋f(1)＋…＋f(2011)＝0＋…＋0＝0.