2011年高考一轮课时训练(理)13.7离散型随机变量的期望与方差 (通用版)

第七节离散型随机变量的期望与方差一、选择题1．下列是4个关于离散型随机变量ξ的期望和方差的描述①Eξ与Dξ是一个数值，它们是ξ本身所固有的特征数，它们不具有随机性②若离散型随机变量一切可能取值位于区间[]a，b内，则a≤Eξ≤b③离散型随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平，而方差反映的是随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度④离散型随机变量的期望值可以是任何实数，而方差的值一定是非负实数以上4个描述正确的个数是()A．1B．2C．3D．4答案：D2．设Eξ＝10，Eη＝3，则E(3ξ＋5η)＝()A．45B．40C．35D．15解析：E(3ξ＋5η)＝3Eξ＋5Eη＝3×10＋5×3＝45.答案：A3．已知随机变量X的分布列是：X4a910P0.30.1b0.2且EX＝7.5，则a的值为()A．5B．6C．7D．8解析：b＝1－0.3－0.1－0.2＝0.4EX＝4×0.3＋a×0.1＋9×0.4＋10×0.2＝7.5.∴a＝7.答案：C4．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为()A．2.44B．3.376C．2.376D．2.4解析：ξ＝0,1,2,3，此时P(ξ＝0)＝0.43，P(ξ＝1)＝0.6×0.42，P(ξ＝2)＝0.6×0.4，P(ξ＝3)＝0.6，Eξ＝2.376.答案：C5．口袋中有5只相同的球，编号为1、2、3、4、5，从中任取3球，用ξ表示取出的球的最大号码，则Eξ＝()A．4B．4.75C．4.5D．5解析：P(ξ＝3)＝1C35＝110，P(ξ＝4)＝C23C35＝310，P(ξ＝5)＝C24C35＝35Eξ＝3×0.1＋4×0.3＋5×0.6＝4.5.答案：C二、填空题6．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是______．自然状况概率盈利方案A1A2A3A4S10.255070－2098S20.3065265282S30.45261678－10解析：EA1＝50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7，EA2＝70×0.25＋26×0.30＋16×0.45＝32.5，EA3＝－20×0.25＋52×0.30＋78×0.45＝45.7，EA4＝98×0.25＋82×0.30＋(－10)×0.45＝44.6.在四个均值中，EA3最大，所以应选择的方案是A3.答案：A37．(2009年上海卷)某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Eξ＝________(结果用最简分数表示)．解析：首先ξ∈{0,1,2}．∴P(ξ＝0)＝C25C27＝1021，P(ξ＝1)＝C12C15C27＝1021，P(ξ＝2)＝C22C27＝121.∴Eξ＝0·1021＋1·1021＋2·121＝1221＝47.答案：478．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的方差是________．解析：一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2.将这个小正方体抛掷2次，向上的数之积可能为ξ＝0,1,2,4，则P(ξ＝0)＝C13C13＋C13C12＋C12C13＋C13C11＋C11C13C16C16＝34，P(ξ＝1)＝C12C12C16C16＝19，P(ξ＝2)＝C12C11＋C11C12C16C16＝19，P(ξ＝4)＝C11C11C16C16＝136，∴Eξ＝19＋29＋436＝49.∴Dξ＝0－492×34＋1－492×19＋2－492×136＝182729.答案：182729三、解答题9．(2009年浙江卷)在1,2,3，…，9这9个自然数中，任取3个数．(1)求这3个数中恰有1个偶数的概率；(2)记ξ为这3个数中两数相邻的组数(例如：若取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时ξ的值是2)．求随机变量ξ的分布列数学期望Eξ及方差Dξ.解析：(1)记“这3个数中恰有一个是偶数”为事件A，则P(A)＝C14C25C39＝1021.(2)随机变量ξ的取值为0,1,2.ξ的分布列是ξ012P51212112所以ξ的数学期望Eξ＝0×512＋1×12＋2×112＝23.Dξ＝0－232×512＋1－232×12＋2－232×112＝2154.10．(2009年山东卷)在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次．某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命率为q2.该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为ξ02345P0.03P1P2P3P4(1)求q2的值；(2)求随机变量ξ的数学期望Eξ；(3)试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小．解析：(1)由题设知，“ξ＝0”对应的事件为“在三次投篮中没有一次投中”，由对立事件和相互独立事件性质可知P(ξ＝0)＝(1－q1)(1－q2)2＝0.03，解得q2＝0.8.(2)根据题意P1＝P(ξ＝2)＝(1－q1)C12(1－q2)q2＝0.75×2×0.2×0.8＝0.24.P2＝P(ξ＝3)．＝q1(1－q2)2＝0.25×(1－0.8)2＝0.01.P3＝P(ξ＝4)＝(1－q1)q22＝0.75×0.82＝0.48.P4＝P(ξ＝5)＝q1q2＋q1(1－q2)q2＝0.25×0.8＋0.25×0.2×0.8＝0.24.因此Eξ＝0×0.03＋2×0.24＋3×0.01＋4×0.48＋5×0.24＝3.63.(3)用C表示事件“该同学选择第一次在A处投，以后都在B处投，得分超过3分”，用D表示事件“该同学选择都在B处投，得分超过3分”，则P(C)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝P3＋P4＝0.48＋0.24＝0.72.P(D)＝q22＋C12q2(1－q2)q2＝0.82＋2×0.8×0.2×0.8＝0.896.故P(D)P(C)．即该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在A处投以后都在B处投得分超过3分的概率