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2015年学业水平测试数学文科试题一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1、双曲线8222yx的实轴长为()A、2B、22C、4D、242、已知中心在原点的椭圆C的右焦点01,F,离心率为21,则椭圆C的方程是()A、14322yxB、15422yxC、12422yxD、13422yx3、已知抛物线022ppxy的准线经过点1,1,则该抛物线焦点的坐标为()A.0,1B.0,1C.1,0D.1,04、坐标系中,圆sin2的圆心的极坐标是()A.(1,)2B.(1,)2C.0,1D.,15、已知双曲线22145xy的焦点与抛物线2yax的焦点重合,则该抛物线的准线被双曲线所截的线段长度为()A.4B.5C.52D.526、双曲线:C0,012222babyax的离心率为2,焦点到渐近线的距离为3,则C的焦距等于()A.2B.22C.32D.47、设抛物线xy82的准线与x轴交于Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l斜率的取值范围是()A、]21,21[B、]2,2[C、]1,1[D、]4,4[8、已知抛物线2:16Cxy的焦点为F,准线为l,M是l上一点,P是直线MF与C的一个交点,若3FMFP,则PF()A.163B.83C.53D.529、图中共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别为1234eeee﹑﹑﹑,其大小关系为()A.1234eeeeB.2134eeeeC.1243eeeeD.2143eeee10、双曲线的虚轴长为4,离心率26e,1F、2F分别是它的左、右焦点,若过1F的直线与双曲线的左支交于A、B两点,且||AB是||2AF与||2BF的等差中项,则||AB等于()A.28B.24C.22D.811、已知抛物线281xy与双曲线)0(1222axay有共同的焦点F,O为坐标原点,P在x轴上方且在双曲线上,则OPFP的最小值为().A.323B.332C.47D.4312、如图21FF,分别是椭圆012222babyax的两个焦点,A和B是以O为圆心,以1OF为半径的圆与该左半椭圆的两个交点,且ABF2是等边三角形,则椭圆的离心率为()A、32B、31C、22D、12新$课$标$第$一$网二、填空题(每题5分,共20分,把答案填在答题纸的横线上)13、右图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽米.14、参数方程sincos2xy(为参数)化为普通方程为.15、已知曲线12,CC的极坐标方程分别为cos3,4cos(0,0)2,则曲线1C2C交点的极坐标为________.16、我们把离心率215e的双曲线0,012222babyax称为黄金双曲线.如图是双曲线0,012222babyax的图象,给出以下几个说法:①双曲线115222yx是黄金双曲线;②若acb2,则该双曲线是黄金双曲线;③若21,FF为左右焦点,21,AA为左右顶点,bB,01,bB,02且021190ABF,则该双曲线是黄金双曲线;④若MN经过右焦点2F且21FFMN,090MON,则该双曲线是黄金双曲线.其中正确命题的序号为.三、解答题:17、(本题满分10分)已知抛物线方程为28yx,(1)直线l过抛物线的焦点F,且垂直于x轴,l与抛物线交于BA,两点,求AB的长度。(2)直线1l过抛物线的焦点F,且倾斜角为45,直线1l与抛物线相交于DC,两点,O为原点。求△OCD的面积。18、(本题满分12分)已知曲线sin2cos3:yxC(为参数)在同一直角坐标系中,将曲线C上的点按坐标变换yyxx2131:得到曲线C,(1)求曲线C的普通方程;(2)若点A在曲线C上,点0,3B,当A在曲线C上运动时,求AB中点P的轨迹方程。19、(本题满分12分)在直角坐标系中,圆C的参数方程sincos1yx(为参数).以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C的极坐标方程;(2)设直线l极坐标方程是2sin()33,3射线:3OM与圆C的交点为O、P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.20、(本题满分12分)已知抛物线C的顶点在坐标原点O,对称轴为x轴,焦点为F,抛物线上一点A的横坐标为2,且10FAOA.(1)求此抛物线C的方程;(2)过点(4,0)做直线l交抛物线C于,AB两点,求证:OAOB.21、(本题满分12分)如图,CBA,,是椭圆:M22221(0)xyabab上的三点,其中点A是椭圆的右顶点,BC过椭圆M的中心,且满足ACBCBCAC2,。(1)求椭圆的离心率;(2)若y轴被ABC的外接圆所截得弦长为9,求椭圆方程。令0x,ay或2ay,所以9)2(aa,得6a,(也可以由垂径定理得29)4()410(22aa,得6a)所以所求的椭圆方程为1123622yx.12分22、解析:(1)00,yxG有32,2,900202020pxpxyyx,解得4p所以抛物线1C的方程为:28yx4分(2)由(1)得抛物线1C的焦点(2,0)F椭圆2C的一个焦点与抛物线1C的焦点重合椭圆2C半焦距2222,4cmnc椭圆2C的离心率为12,2142mm,23n椭圆2C的方程为:2211612xy6分设11(,)Axy、22(,)Bxy,由22411612ykxxy得22(43)32160kxkx由韦达定理得:1223243kxxk,1221643xxk8分由022(32)416(43)0kk12k或12k①9分∵原点O在以线段AB为直径的圆的外部,则0OAOBuuruuur,11221212(,)(,)OAOBxyxyyyxxuuruuur212121212(4)(4)(1)4()16kxkxxxkxxkxx2221632(1)4164343kkkkk2216(43)043kk232333k②11分由①、②得实数k的范围是23132k或12323k12分
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