清华附中2005-2006高二第二学期期末数学试题参考答案(文科)

清华附中2005-2006高二第二学期期末数学试题参考答案(文)第1页共4页HI清华附中2005-2006高二第二学期期末试题参考答案(文)一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）题号12345678答案AADCDBCB二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）9．20；10.8cm；11.3R；12144；13.30或150；14.83三、解答题：（本大题共4小题，共36分）15．(本题满分8分)甲、乙、丙三人分别独立解一道题，甲做对的概率是12，甲、乙、丙三人都做对的概率是124，甲、乙、丙三人都做错的概率是14，乙比丙做对这道题的概率大.（1）分别求乙、丙两人各自做对这道题的概率；（2）求甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率.解：(1)记甲、乙、丙三人独立做对这道题的事件分别为A、B、C，21)(AP，)()(CPBP依题得：41)(31)(41)(241)(CPBPCBAPCBAP答：乙、丙两人各自做对这道题的概率分别为41,31.（2）甲、乙、丙三人中恰好有一人做对这道题的概率为:2411413221433121433221)()()(CBAPCBAPCBAP答：甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为2411.16.（本题满分8分）如图，正三棱柱111CBAABC的底面边长为a，点M是BC的中点，且1AM=MC（1）求证：11AB//ACM平面;（2）求点C到平面1MAC的距离.（1）．连结CA1交1AC于点O，在正三棱柱111CBAABC中，四边形11AACC为平行四边形，因此点O是CA1的中点，又∵点M为BC边的中点∴BAOE1//，1,OEACM平面11,ABACM平面∴11ABACM平面（2）知AM⊥MC1且AM⊥CM，，∴AM⊥平面CMC1,过点C作CH⊥1MC于H，清华附中2005-2006高二第二学期期末数学试题参考答案(文)第2页共4页∵CH在平面CMC1内，∴CH⊥AM，又MAMMC1，有CH⊥平面AMC1，即CH为点C到平面AMC1的距离aCMAM23，aCM21且BCCC1．∴点C到平面1AMC的距离为底面边长为a66．17．(本题满分10分)已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1.将△ABD沿BD折起，使点A在平面BCD内的射影落在DC上.（1）求证：AD⊥平面ABC；（2）若E为BD中点，求二面角B-AC-E的大小.方法1：(1)证明：依条件可知DA⊥AB.∵点A在平面BCD上的射影落在DC上，DC是DA在平面BCD上的射影，又依条件可知BC⊥DC，∴BC⊥DA.∵AB∩BC=B，∴DA⊥平面ABC.（2）由（1）中结论可知DA⊥平面ABC，又∵DA平面ABD，∴平面ABD⊥平面ABC.过E作EF⊥AB，垂足为F，∴EF⊥平面ABC.过F作FG⊥AC，垂足为G，连结EG，∴∠EGF是所求二面角的平面角.∵DA⊥AB，EF⊥AB，∴△BEF∽△BDA.∵点E是BD中点，∴EF=12DA=12.同理FG=12BC=12.∵在△AEC中，AE=EG=32，且EG⊥AC，EG=22.在△EFG中容易求出∠EGF=45°.即二面角B-AC-E的大小是045方法2：（Ⅰ）证明：如图，以CB所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，过点C，平面BDC方向向上的法向量为Z轴建立空间直角坐标系.所以C(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，-2，0)，由（1）得△ADC为直角三角形，易求出AC=1，∴点A的坐标为A(0，-22，22).∵CA=(0，-22，22)，CB=(1，0，0)，FABCDEGxyzABCDEaaaCC224143221aaaaMCCMCCCH6623212211清华附中2005-2006高二第二学期期末数学试题参考答案(文)第3页共4页∴容易求出平面ABC的一个法向量为n1=(0，1，1).∴同理可求出平面AEC的一个法向量为n2=(2，2，2).∵n1·n2=0+2+2=22，|n1|=2，|n2|=22，∴cosn1，n2=222222121nnnn=22.∴二面角B-AC-E的大小是45°.18.(本题满分10分)如图，已知ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝3AD，设点E是棱PB上的动点（不含端点），过点A，D，E的平面交棱PC于F.（1）求证：BC//EF;（2）试确定点E的位置，使PC⊥平面ADFE，并说明理由.解：（Ⅰ）∵BC//AD，∴BC//平面ADFE又∵平面ADFE∩平面PBC＝EF∴BC//FE（2）假设棱PB上存在点E，在正方形ABCD中DCAD，∵PD⊥平面ABCD∴ADPD，又∵DDCPD∴PDCAD平面∴PC⊥AD，要使PC⊥平面ADFE，只要PC⊥DF即可，不妨设AD＝1，则PD＝3CD＝1PC＝2212PCDCCF∴13CFFP∵BC//EF，∴当13BEEP时，PC⊥平面ADFE附加题：（满分50分）附加题：（满分50分）一、选择题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）1.72.83.943R4.22二、解答题（本大题共3个小题，每小题10分，共30分）1．如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O、E分别为1DB、AB的中点．（1）求证：1OEBDC平面;（2）设H为截面1DEB内一点，求H到正方体表面11BCCB、DCC1D1、ABCD的距离之平方和的最小值.解法一：（1）取1BC的中点F，1BD的中点O，连结BF、EO、OFCD平面11,BCCBDCBF又11,,BFBCDCBCCBF平面1BCD．CDOFCDOF21,//CDBECDBE21,//OFBEOFBE,//11//,//,//22GFCDBECDBEGF，四边形OEBF是平行四边形，BF//OE，FEDCBAPDABCA1D1B1C1E清华附中2005-2006高二第二学期期末数学试题参考答案(文)第4页共4页B'HPDCBAC1B1A1ECBA1OEBDC平面．（2）点H到正方体表面11BCCB、DCC1D1、ABCD的垂线所确定的与正方体的表面平行的平面与正方体表面11BCCB、DCC1D1、ABCD围成一个长方体，H到正方体表面11BCCB、DCC1D1、ABCD的距离之平方和等于2CH，当1DEBCH平面时，CH取最小值；∵11111DBDCBDEBDCBDEB平面平面且平面平面∴作1DBCH则1DEBCH平面∵aDBaBCaDC321∴21212DBCBDC∴1CBDC323211aaaaDBCBDCCH，2232aCH∴H到正方体表面11BCCB、DCC1D1、ABCD的距离之平方和的最小值为232a.2．在四棱锥P-ABCD中，△PBC为正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD，AB=21DC，3DCBC,求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小.解：延长CB交DA于B／，连接PB／，设BC=a，∵AB=21DC，∴BB／=BP=a，取B／P的中点H，连接AH，BH，则BH⊥B／P，由三垂线定理知，AH⊥B／P，∴∠AHB为平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角.在Rt△AHB中，AB=,3,23sin,,23AHBAHBaAHa∴平面PAD与平面PBC所成锐二面角为3.3．如图，斜三棱柱ABC—111ABC，已知侧面11BBCC与底面ABC垂直，090BCA，01BBC=60，1BC=BB2，若二面角1A-BBC为030．求直线1AB与平面11BBCC所成角的正切值；解：∵面CCBB11⊥面ABC,交线为BC，AC⊥BC，∴AC⊥面CCBB11连CB1，∴∠ACB1就是1AB与平面CCBB11所成的角，取1BB中点E，连CE，AE，在△1CBB中，1BB=BC=2，0160BCB，∴△1CBB是正三角形，∴CE⊥1BB又AC⊥平面CCBB11，∴AE⊥1BB，∴∠CEA为二面角A-1BB-C的平面角，030CEA在Rt△CEA中，130tanCEAC∴在Rt△AB1C中，21tan11CBACCAB