2017-2018学年高中数学人教A版选修2-2练习：第1章 导数及其应用1.5 第1课时 Word

第一章1.5第1课时A级基础巩固一、选择题1．和式i＝15(yi＋1)可表示为导学号84624305(C)A．(y1＋1)＋(y5＋1)B．y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋1C．y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋5D．(y1＋1)(y2＋1)…(y5＋1)[解析]i＝15(yi＋1)＝(y1＋1)＋(y2＋1)＋(y3＋1)＋(y4＋1)＋(y5＋1)＝y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋5，故选C．2．在求由x＝a、x＝b(ab)、y＝f(x)(f(x)≥0)及y＝0围成的曲边梯形的面积S时，在区间[a，b]上等间隔地插入n－1个分点，分别过这些分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是导学号84624306(A)①n个小曲边梯形的面积和等于S；②n个小曲边梯形的面积和小于S；③n个小曲边梯形的面积和大于S；④n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定A．1个B．2个C．3个D．4个[解析]n个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的，因此其面积和为S.∴①正确，②③④错误，故应选A．3．在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi＋1]上的近似值等于导学号84624307(C)A．只能是左端点的函数值f(xi)B．只能是右端点的函数值f(xi＋1)C．可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1])D．以上答案均不正确[解析]由求曲边梯形面积的“近似代替”知，C正确，故应选C．4．在求由函数y＝1x与直线x＝1、x＝2、y＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[1,2]等分成n个小区间，则第i个小区间为导学号84624308(B)A．[i－1n，in]B．[n＋i－1n，n＋in]C．[i－1，i]D．[in，i＋1n][解析]把区间[1,2]等分成n个小区间后，每个小区间的长度为1n，且第i个小区间的左端点不小于1，排除A、D；C显然错误；故选B．5．在等分区间的情况下，f(x)＝11＋x2(x∈[0,2])及x轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是导学号84624309(B)A．limn→∞i＝1n[11＋in2·2nB．limn→∞i＝1n[11＋2in2·2n]C．limn→∞i＝1n11＋i2·1nD．limn→∞i＝1n[11＋in2·n][解析]将区间[0,2]n等分后每个区间长度为2n，第i个小区间为[2i－1n，2in](i＝1,2,3，…，n)，故应选B．6．曲线y＝cosx(0≤x≤2π)与y＝1围成的面积是导学号84624310(D)A．4πB．5π2C．3πD．2π[解析]如图，求曲线y＝cosx(0≤x≤2π)与y＝1围成的面积可转化为求由直线y＝0、y＝1、x＝0、x＝2π围成的矩形面积．二、填空题7．直线x＝0、x＝2、y＝0与曲线y＝x2＋1围成的曲边梯形，将区间[0,2]5等分，按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为__3.92__、__5.52__.导学号846243118．已知某物体运动的速度为v＝t，t∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为__55__.导学号84624312三、解答题9．求直线x＝0、x＝2、y＝0与曲线y＝x2所围成曲边梯形的面积.导学号84624313[解析]将区间[0,2]等分成n个小区间，则第i个小区间为2i－1n，2in.第i个小区间的面积ΔSi＝f2i－1n·2n，∴Sn＝i＝1nf2i－1n·2n＝2ni＝1n4i－12n2＝8n3i＝1n(i－1)2＝8n3[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]＝8n3·n－1n2n－16＝4n－12n－13n2.S＝limn→∞Sn＝limn→∞4n－12n－13n2＝43limn→∞[(1－1n)(2－1n)]＝83，∴所求曲边梯形面积为83.10．一辆汽车在直线形公路上做变速行驶，汽车在时刻t的速度为v(t)＝－t2＋50(单位：km/h)．试计算这辆汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km).导学号84624314[解析](1)分割：在[0,2]上等间隔插入n－1个点将区间分成n个小区间，记第i个小区间为2i－1n，2in(i＝1,2，…，n)，Δt＝2n，则汽车在时间段0，2n，2n，4n，…，2n－1n，2nn上行驶的路程分别记为：Δs1，Δs2，…，Δsn，有sn＝i＝1nΔsi.(2)近似代替：取ξi＝2in(i＝1,2，…，n)．Δsi≈v2in·Δt＝－2in2＋50·2n＝－4i2n2·2n＋100n(i＝1,2，…，n)．(3)求和：sn＝i＝1nΔsi＝i＝1n－4i2n2·2n＋100n＝－4×12n2·2n－4×22n2·2n－…－4×n2n2·2n＋100＝－8n3(12＋22＋…＋n2)＋100.＝－8·131＋1n1＋12n＋100.(4)取极限：s＝limn→∞sn＝limn→∞－8·13·1＋1n1＋12n＋100＝2923(km)．B级素养提升一、选择题1.limn→∞i＝1n[(15in)·(5n)]的含义可以是导学号84624315(C)A．求由直线x＝1，x＝5，y＝0，y＝3x围成的图形的面积B．求由直线x＝0，x＝1，y＝0，y＝15x围成的图形的面积C．求由直线x＝0，x＝5，y＝0，y＝3x围成的图形的面积D．求由直线x＝0，x＝5，y＝0及曲线y＝5x围成的图形的面积[解析]将区间[0,5]n等分，则每一区间的长度为5n，各区间右端点对应函数值为y＝15in，因此i＝1n[(15in)·(5n)]可以表示由直线x＝0、x＝5、y＝0和y＝3x围成的图形的面积的近似值．2．直线x＝a，x＝b(ab)，y＝0和曲线y＝f(x)(f(x)0)所围成的曲边梯形的面积S＝导学号84624316(D)A．i＝1nf(ξ1)·1nB．limn→∞i＝1nf(ξ1)·1nC．i＝1nf(ξ1)·b－anD．limn→∞i＝1nb－an·f(ξi)[解析]∵△Si＝f(ξi)·b－anS＝limn→∞i＝1n△Si＝limn→∞i＝1nf(ξi)·b－an.故选D．二、填空题3．在求由直线x＝0、x＝1、y＝0和曲线y＝x3所围成的曲边梯形面积时，若令Δx＝1n，ξi＝i－1n，则曲边梯形的面积表达式为i＝1n1n·i－1n3.导学号846243174．由直线x＝1，x＝2，y＝0与曲线y＝1x所围成的曲边梯形，将区间[1,2]等分成4份，将曲边梯形较长的边近似看作高，则曲边梯形的面积是319420.导学号84624318[解析]将区间[1,2]4等分，则Δx＝14，每个区间左端点值为1＋i－14＝3＋i4(i＝1,2,3,4)，所以小矩形的高为f(3＋i4)＝43＋i，∴Sn＝i＝14f(3＋i4)×14＝i＝1413＋i＝14＋15＋16＋17＝319420.三、解答题5．火箭发射后ts的速度为v(t)(单位：m/s)，假定0≤t≤10，对函数v(t)，按v(t1)Δt＋v(t2)Δt＋…＋v(tn)Δt所作的和具有怎样的实际意义？导学号84624319[解析]将区间[0,10]等分成n个小区间，每个小区间长度为Δt，在每个小区间上取一点，依次为：t1，t2，t3…，ti，…，tn，虽然火箭的速度不是常数，但在一个小区间内其变化很小，所以用v(ti)代替第i个区间上的速度，这样v(ti)Δt≈火箭在第i个时段内运动的路程．从而Sn＝v(t1)·Δt1＋…＋v(ti)·Δt＋…＋v(tn)·Δt≈s(火箭在10s内运行的路程)．这就是函数v(t)在时间区间[0,10]上按v(t1)·Δt＋v(t2)·Δt＋…＋v(tn)·Δt式所作的和的实际背景．当分割无限变细(Δt无限趋近于0)时，sn就无限趋近于火箭在10s内运动行的总路程．C级能力拔高求由直线x＝1、x＝2、y＝0及曲线y＝1x2围成的图形的面积S.导学号84624320[解析](1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个点，将它等分成n个小区间：1，n＋1n，n＋1n，n＋2n，…，n＋n－1n，2，记第i个区间为n＋i－1n，n＋in(i＝1,2，…，n)，其长度为Δx＝n＋in－n＋i－1n＝1n.分别过上述n－1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形(如右图)，它们的面积记作：ΔS1、ΔS2、…、ΔSn，则小曲边梯形面积的和为S＝i＝1nΔSi.(2)近似代替记f(x)＝1x2.当n很大，即Δx很小时，在区间[n＋i－1n，n＋in]上，可以认为f(x)＝1x2的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它等于f(n＋i－1n·n＋in)．从图形上看，就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边．这样，在区间n＋i－1n，n＋in上，用小矩形面积ΔSi′近似地代替ΔSi，即在局部小范围内“以直代曲”，则有ΔSi≈ΔSi′＝fn＋i－1n·n＋inΔx＝n2n＋i－1n＋i·1n＝nn＋i－1n＋i(i＝1,2，…，n)．(3)求和小曲边梯形的面积和Sn＝i＝1nΔSi≈i＝1nΔSi′＝i＝1nnn＋i－1n＋i＝nnn＋1＋nn＋1n＋2＋…＋nn＋n－1n＋n＝n1n－1n＋1＋1n＋1－1n＋2＋…＋1n＋n－1－1n＋n＝n1n－12n＝12.(4)取极限S＝limn→∞Sn＝12.∴由直线x＝1、x＝2、y＝0及曲线y＝1x2围成的图形的面积S为12.