2017-2018学年高中数学人教A版选修2-3练习：第2章 随机变量及其分布2.2.1 Word版

第二章2.22.2.1A级基础巩固一、选择题1．(2016·烟台高二检测)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝导学号51124399(B)A．18B．14C．25D．12[解析]P(A)＝C23＋C22C25＝25，P(AB)＝C22C25＝110.由条件概率公式得P(B|A)＝PABPA＝14.故选B．2．一个盒子里有20个大小形状相同的小球，其中5个红的，5个黄的，10个绿的，从盒子中任取一球，若它不是红球，则它是绿球的概率是导学号51124400(C)A．56B．34C．23D．13[解析]在已知取出的小球不是红球的条件下，问题相当于从5黄10绿共15个小球中任取一个，求它是绿球的概率，∴P＝1015＝23.3．一个口袋中装有2个白球和3个黑球，则先摸出一个白球后放回，再摸出一个白球的概率是导学号51124401(C)A．23B．14C．25D．15[解析]设Ai表示第i次(i＝1、2)取到白球的事件，因为P(A1)＝25，P(A1A2)＝25×25＝425，在放回取球的情况下：P(A2|A1)＝42525＝25.4．(2016·大连高二检测)一个家庭中有两个小孩，已知其中有一个是女孩，则另一个也是女孩的概率为导学号51124402(B)A．12B．13C．14D．15[解析]有一个是女孩记为事件A，另一个是女孩记为事件B，则所求概率为P(B|A)＝PABPA＝13.5．(2016·辽阳高二检测)在5道题中有3道数学题和2道物理题．如果不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到数学题的条件下，第2次抽到数学题的概率是导学号51124403(C)A．35B．25C．12D．13[解析]设第一次抽到数学题为事件A，第二次抽到数学题为事件B，由已知P(AB)＝310，P(A)＝35，所以P(B|A)＝PABPA＝12.6．电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关．某品牌的电视机的显像管开关了10000次后还能继续使用的概率是0.80，开关了15000次后还能继续使用的概率是0.60，则已经开关了10000次的电视机显像管还能继续使用到15000次的概率是导学号51124404(A)A．0.75B．0.60C．0.48D．0.20[解析]记“开关了10000次后还能继续使用”为事件A，记“开关了15000次后还能继续使用”为事件B，根据题意，易得P(A)＝0.80，P(B)＝0.60，则P(A∩B)＝0.60，由条件概率的计算方法，可得P＝PA∩BPA＝0.600.80＝0.75.二、填空题7．甲、乙两地都处于长江下游，根据历史记载，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20%与18%，两地同时下雨的比例为12%.导学号51124405(1)乙地为雨天时，甲地也为雨天的概率为23；(2)甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率为__0.6__.[解析]设A＝“甲地为雨天”，B＝“乙地为雨天”，则P(A)＝20%＝0.2，P(B)＝18%＝0.18，P(AB)＝12%＝0.12.(1)P(A|B)＝PABPB＝0.120.18＝23.(2)P(B|A)＝PABPA＝0.120.2＝0.6.8．100件产品中有5件次品，不放回地抽取两次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率为9599.导学号51124406[解析]设“第一次抽到次品”为事件A，“第二次抽到正品”为事件B，则P(A)＝5100＝120，P(AB)＝C15C195A2100＝19396，所以P(B|A)＝PABPA＝9599.9．设P(A|B)＝P(B|A)＝12，P(A)＝13，则P(B)等于13.导学号51124407[解析]∵P(B|A)＝PA∩BPA，∴P(A∩B)＝P(B|A)·P(A)＝12×13＝16，∴P(B)＝PA∩BPA|B＝1612＝13.三、解答题10．一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取一只，每一次取后不放回．若已知第一只是好的，求第二只也是好的概率.导学号51124408[解析]令Ai＝{第i只是好的}，i＝1,2.解法一：n(A1)＝C16C19，n(A1A2)＝C16C15，故P(A2|A1)＝nA1A2nA1＝C16C15C16C19＝59.解法二：因事件A1已发生(已知)，故我们只研究事件A2发生便可，在A1发生的条件下，盒中仅剩9只晶体管，其中5只好的，所以P(A2|A1)＝C15C19＝59.B级素养提升一、选择题1．一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是导学号51124409(C)A．15B．310C．25D．12[解析]从5个球中任取两个，有C25＝10种不同取法，其中两球同色的取法有C23＋1＝4种，∴P＝410＝25.2．(2016·沈阳高二检测)一盒中装有5个产品，其中有3个一等品，2个二等品，从中不放回地取出产品，每次1个，取两次，已知第二次取得一等品的条件下，第一次取得的是二等品的概率是导学号51124410(A)A．12B．13C．14D．23[解析]解法一：设A＝“第一次取到二等品”，B＝“第二次取得一等品”，则AB＝“第一次取到二等品且第二次取到一等品”，∴P(A|B)＝PABPB＝2×35×42×3＋3×25×4＝12.解法二：设一等品为a、b、c，二等品为A、B，“第二次取到一等品”所含基本事件有(a，b)，(a，c)，(b，a)，(b，c)，(c，a)，(c，b)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)共12个，其中第一次取到二等品的基本事件共有6个，∴所求概率为P＝612＝12.二、填空题3．从1～100这100个整数中，任取一数，已知取出的一数是不大于50的数，则它是2或3的倍数的概率为3350.导学号51124411[解析]解法一：根据题意可知取出的一个数是不大于50的数，则这样的数共有50个，其中是2或3的倍数的数共有33个，故所求概率为3350.解法二：设A＝“取出的球不大于50”，B＝“取出的数是2或3的倍数”，则P(A)＝50100＝12，P(AB)＝33100，∴P(B|A)＝PABPA＝3350.4．投掷两颗均匀骰子，已知点数不同，设两颗骰子点数之和为ξ，则ξ≤6的概率为1130.导学号51124412[解析]解法一：投掷两颗骰子，其点数不同的所有可能结果共30种，其中点数之和ξ≤6的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，共11种，∴所求概率P＝1130.解法二：设A＝“投掷两颗骰子，其点数不同”，B＝“ξ≤6”，则P(A)＝3036＝56，P(AB)＝1136，∴P(B|A)＝PABPA＝1130.三、解答题5．某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人．全班平均分成4个小组，其中第一组有共青团员4人．从该班任选一人作学生代表.导学号51124413(1)求选到的是第一组的学生的概率；(2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率．[解析]设事件A表示“选到第一组学生”，事件B表示“选到共青团员”．(1)由题意，P(A)＝1040＝14.(2)解法一：要求的是在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P(A|B)．不难理解，在事件B发生的条件下(即以所选到的学生是共青团员为前提)，有15种不同的选择，其中属于第一组的有4种选择．因此，P(A|B)＝415.解法二：P(B)＝1540＝38，P(AB)＝440＝110，∴P(A|B)＝PABPB＝415.6．设b和c分别是抛掷一枚骰子先后得到的点数，用随机变量X表示方程x2＋bx＋c＝0实根的个数(重根按一个计).导学号51124414(1)求方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率；(2)求X的分布列；(3)求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率．[解析](1)由题意知，设基本事件空间为Ω，记“方程x2＋bx＋c＝0没有实根”为事件A，“方程x2＋bx＋c＝0有且仅有一个实根”为事件B，“方程x2＋bx＋c＝0有两个相异实根”为事件C，则Ω＝{(b，c)|b，c＝1,2，…，6}，A＝{(b，c)|b2－4c0，b，c＝1,2，…，6}B＝{(b，c)|b2－4c＝0，b，c＝1,2，…，6}C＝{(b，c)|b2－4c0，b，c＝1,2，…，6}∴Ω中的基本事件总数为36个，A中的基本事件总数为17个，B中的基本事件总数为2个，C中的基本事件总数为17个．又∵B、C是互斥事件，故所求概率P＝P(B)＋P(C)＝236＋1736＝1936.(2)由题意，X的可能取值为0,1,2，则P(X＝0)＝1736，P(X＝1)＝118，P(X＝2)＝1736，故X的概率分布列为：X012P17361181736(3)记“先后两次出现的点数中有5”为事件D，“方程x2＋bx＋c＝0有实根”为事件E，由上面分析得P(D)＝1136，P(DE)＝736，∴P(E|D)＝PDEPD＝711.C级能力拔高(2017·三明高二检测)甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率.导学号51124792[解析](1)从甲箱中任取2个产品的事件数为C28＝8×72＝28，这2个产品都是次品的事件数为C23＝3.∴这2个产品都是次品的概率为328.(2)设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥．P(B1)＝C25C28＝514，P(B2)＝C15C13C28＝1528，P(B3)＝C23C28＝328，P(A|B1)＝23，P(A|B2)＝59，P(A|B3)＝49，∴P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝514×23＋1528×59＋328×49＝712.