2017-2018学年高中数学人教A版选修2-3练习：第2章 随机变量及其分布2.4 Word版含解

第二章2.4A级基础巩固一、选择题1．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内导学号51124579(C)A．(90,110]B．(95,125]C．(100,120]D．(105,115][解析]由于X～N(110,52)，∴μ＝110，σ＝5.因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别应是0.6826,0.9544,0.9974.由于一共有60人参加考试，∴成绩位于上述三个区间的人数分别是：60×0.6826≈41人，60×0.9544≈57人，60×0.9974≈60人．故选C．2．(2016·武汉高二检测)某班有50名学生，一次考试后数学成绩ξ～N(110,102)，若P(100≤ξ≤110)＝0.34，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为导学号51124580(C)A．10B．9C．8D．7[解析]∵考试的成绩ξ服从正态分布N(110,102)，∴考试成绩ξ的概率分布关于ξ＝110对称，∵P(100≤ξ≤110)＝0.34，∴P(ξ≥120)＝P(ξ≤100)＝12(1－0.34×2)＝0.16，∴该班数学成绩在120分以上的人数为0.16×50＝8.故选C．3．如图是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3时的三种正态曲线，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是导学号51124581(D)A．σ11σ2σ30B．0σ1σ21σ3C．σ1σ2σ30D．0σ1σ2＝1σ3[解析]由正态曲线的特点知σ越大，其最大值越小，所以σ1σ2σ3，又12πσ2＝12π，∴σ2＝1.故选D．4．某厂生产的零件外直径X～N(8.0,0.0225)，单位mm，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为7.9mm和7.5mm，则可认为导学号51124582(C)A．上、下午生产情况均为正常B．上、下午生产情况均为异常C．上午生产情况正常，下午生产情况异常D．上午生产情况异常，下午生产情况正常[解析]根据3σ原则，在(8－3×0.15,8＋3×0.15]即(7.55,8.45]之外时为异常．结合已知可知上午生产情况正常，下午生产情况异常．5．某市进行一次高三教学质量抽样检测，考试后统计的所有考生的数学成绩服从正态分布．已知数学成绩平均分为90分，60分以下的人数占10%，则数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为导学号51124583(D)A．10%B．20%C．30%D．40%[解析]由条件知μ＝90，P(ξ60)＝0.1，∴P(ξ120)＝0.1，∴P(90≤ξ120)＝12[1－2P(ξ60)]＝12×(1－0.2)＝0.4，故选D．6．以Φ(x)表示标准正态总体在区间(－∞，x)内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则概率P(|ξ－μ|σ)等于导学号51124584(B)A．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ)B．Φ(1)－Φ(－1)C．Φ1－μσD．2Φ(μ＋σ)[解析]设η＝|ξ－μ|σ，则P(|ξ－μ|σ)＝P(|η|1)＝P(－1η1)＝Φ(1)－Φ(－1)．故选B．二、填空题7．正态变量的概率密度函数f(x)＝12πe－x－322，x∈R的图象关于直线__x＝3__对称，f(x)的最大值为12π.导学号511245858．(2016·宜昌高二检测)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ4)＝0.8，则P(0ξ2)等于__0.3__.导学号51124586[解析]∵ξ～N(2，σ2)，∴P(ξ≥4)＝1－P(ξ4)＝0.2.∴P(0ξ2)＝12P(0ξ4)＝12×[1－2P(ξ≥4)]＝12×[1－2×0.2]＝0.3.9．已知正态分布N(μ，σ2)的密度曲线是f(x)＝12πσe－x－μ22σ2，x∈R.给出以下四个命题：导学号51124587①对任意x∈R，f(μ＋x)＝f(μ－x)成立；②如果随机变量X服从N(μ，σ2)，且F(x)＝P(Xx)，那么F(x)是R上的增函数；③如果随机变量X服从N(108,100)，那么X的期望是108，标准差是100；④随机变量X服从N(μ，σ2)，P(X1)＝12，P(X2)＝p，则P(0X2)＝1－2p.其中真命题的序号是__①②④__.(写出所有真命题的序号)[解析]画出正态分布N(μ，σ2)的密度曲线如下图：由图可得：①图象关于x＝μ对称；故①正确；②随着x的增加，F(x)＝P(Xx)也随着增加，故②正确；③如果随机变量X服从N(108,100)，那么X的期望是108，标准差是10；④由图象的对称性，可得④正确，故填：①②④.三、解答题10．某个工厂的工人月收入服从正态分布N(500,202)，该工厂共有1200名工人，试估计月收入在440元以下和560元以上的工人大约有多少？导学号51124588[解析]设该工厂工人的月收入为ξ，则ξ～N(500,202)，所以μ＝500，σ＝20，所以月收入在区间(500－3×20,500＋3×20)内取值的概率是0.9974，该区间即(440,560)．因此月收入在440元以下和560元以上的工人大约有1200×(1－0.9974)＝1200×0.0026≈3(人)．B级素养提升一、选择题1．(2015·湖北理，4)设X～N(μ1，σ21)，Y～N(μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是导学号51124589(C)A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)[解析]由图象可知μ1μ2，σ1σ2，∴P(Y≥μ2)＝12P(Y≥μ1)，∴A错；P(X≤σ2)P(X≤σ1)，∴B错；对任意实数t，P(X≥t)P(Y≥t)，∴D错，P(X≤t)≥P(Y≤t)，∴C正确，故选C．2．(2016·黑龙江省龙东南四校高二检测)随机变量ξ服从正态分布N(40，σ2)，若P(ξ≤30)＝0.2，则P(30ξ50)＝导学号51124590(C)A．0.2B．0.4C．0.6D．0.8[解析]根据题意，由随机变量ξ服从正态分布N(40，σ2)，P(ξ≤30)＝0.2，则可知P(30ξ50)＝1－P(ξ≤30)－P(ξ≥50)＝1－0.2×2＝0.6，故选C．二、填空题3．某厂生产的零件尺寸服从正态分布N(25,0.032)，为使该厂生产的产品有95%以上的合格率，则该厂生产的零件尺寸允许值范围为__(24.94,25.06)__.导学号51124591[解析]正态总体N(25,0.032)在区间(25－2×0.03，25＋2×0.03)内取值的概率在95%以上，故该厂生产的零件尺寸允许值范围为(24.94,25.06)．4．设某城市居民私家车平均每辆车每月汽油费用为随机变量ξ(单位为：元)，经统计得ξ～N(520,14400)，从该城市私家车中随机选取容量为10000的样本，其中每月汽油费用在(400,640)之间的私家车估计有__6826__辆.导学号51124592(附：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σξμ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σξμ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σξμ＋3σ)＝0.9974)[解析]由已知得：μ＝520，σ＝120，∴P(400ξ640)＝P(520－120ξ520＋120)＝0.6826，∴每月汽油费用在(400,640)之间的私家车估计有：0.6826×10000＝6826.三、解答题5．一投资者在两个投资方案中选择一个，这两个投资方案的利润X(万元)分别服从正态分布N(8,32)和N(7,12)，投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量大，那么他应该选择哪一个方案？导学号51124593[解析]对于第一个方案有X～N(8,32)，其中μ＝8，σ＝3，P(X5)＝1－P5X≤112＋P(5X≤11)＝1＋P5X≤112＝1＋0.68262；对于第二个方案有X～N(7,12)，其中μ＝7，σ＝1，P(x5)＝1＋P7－2X≤7＋22＝1＋0.95442.显然第二个方案“利润超过5万元”的概率比较大，故他应该选择第二个方案．6．(2016·天水高二检测)某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩X服从正态分布N(80，σ2)(满分为100分)，已知P(X75)＝0.3，P(X≥95)＝0.1，现从该市高三学生中随机抽取三位同学.导学号51124594(1)求抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[80,85)，[85,95)，[95,100]内各有一位同学的概率；(2)记抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[75,85]的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ)．[解析](1)P(80≤X85)＝12－P(X≤75)＝0.2，P(85≤X95)＝P(X≥85)－P(X≥95)＝P(X75)－P(X≥95)＝0.3－0.1＝0.2，所以所求概率P＝A33×0.2×0.2×0.1＝0.024.(2)P(75≤X≤85)＝1－2P(X75)＝0.4，所以ξ服从二项分布B(3,0.4)，P(ξ＝0)＝0.63＝0.216，P(ξ＝1)＝3×0.4×0.62＝0.432，P(ξ＝2)＝3×0.42×0.6＝0.288，P(ξ＝3)＝0.43＝0.064，所以随机变量ξ的分布列是：ξ0123P0.2160.4320.2880.064E(ξ)＝3×0.4＝1.2(人)．C级能力拔高某砖瓦厂生产的砖的抗断强度X服从正态分布N(30，0.82)，质检人员从该厂某一天生产的1000块砖中随机抽查一块，测得它的抗断强度为27.5，你认为该厂这一天生产的这批砖是否合格？为什么？导学号51124595[解析]解决本题的关键是看随机抽查的一块砖的抗断强度是否符合3σ原则，若符合，则认为这批砖合格，否则不合格．因为μ＝30，σ＝0.8，所以容易计算μ－3σ和μ＋3σ.欲判定这批砖是否合格，关键是看随机抽查的一块砖的抗断强度是在区间(μ－3σ，μ＋3σ]内，还是在区间(μ－3σ，μ＋3σ]外．由于在一次试验中X落在区间(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率为0.9974，故X几乎必然落在上述区间内．于是把μ＝30，σ＝0.8代入，得μ－3σ＝30－3×0.8＝27.6，μ＋3σ＝30＋3×0.8＝32.4，即算出的区间(μ－3σ，μ＋3σ]＝(27.6,32.4]，而27.5∉(27.6,32.4]，所以据此认为这批砖不合格．