2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1课时达标训练：（十二） Word版含解析

课时达标训练（十二）[即时达标对点练]题组1抛物线的几何性质1．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是()A．(6，＋∞)B．[6，＋∞)C．(3，＋∞)D．[3，＋∞)2．已知抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线2x－4y＋11＝0上，则此抛物线的方程是()A．y2＝－11xB．y2＝11xC．y2＝－22xD．y2＝22x题组2抛物线的焦点弦问题3．过抛物线y2＝8x的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为()A．8B．16C．32D．644．过抛物线y2＝2px(p0)的焦点作一直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则kOA·kOB的值为()A．4B．－4C．p2D．－p25．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝________．6．线段AB是抛物线y2＝x的一条焦点弦，且|AB|＝4，则线段AB的中点C到直线x＋12＝0的距离为________．题组3直线与抛物线的位置关系7．已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p0)，则()A．直线与抛物线有一个公共点B．直线与抛物线有两个公共点C．直线与抛物线有一个或两个公共点D．直线与抛物线可能没有公共点8．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A.－12，12B．[－2，2]C．[－1，1]D．[－4，4]9．在抛物线y2＝2x上求一点P.使P到直线x－y＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．10．如图所示，过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，求此抛物线的方程．[能力提升综合练]1．设AB为过抛物线y2＝2px(p0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为()A.p2B．pC．2pD．无法确定2．已知抛物线y2＝2px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－23．过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影为A1、B1，则∠A1FB1等于()A．45°B．90°C．60°D．1204．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝()A.45B.35C．－35D．－455．已知直线y＝k(x＋2)(k0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝________．6．抛物线x2＝2py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线x23－y23＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________．7．已知AB是抛物线y2＝2px(p0)的焦点弦，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，点F是抛物线的焦点．(1)证明：y1y2＝－p2，x1x2＝p24；(2)求1|AF|＋1|BF|的值．8．如图，已知两条抛物线E1：y2＝2p1x(p10)和E2：y2＝2p2x(p20)，过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点．(1)证明：A1B1∥A2B2；(2)过原点O作直线l(异于l1，l2)与E1，E2分别交于C1，C2两点．记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求S1S2的值．答案即时达标对点练1.解析：选D∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，∴p2＝3，即p＝6.又抛物线上的点到准线的距离的最小值为p2，∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞)．2.解析：选C在方程2x－4y＋11＝0中，令y＝0得x＝－112，∴抛物线的焦点为F－112，0，即p2＝112，∴p＝11，∴抛物线的方程是y2＝－22x，故选C.3.解析：选B由抛物线y2＝8x的焦点为(2，0)，得直线的方程为y＝x－2，代入y2＝8x得(x－2)2＝8x，即x2－12x＋4＝0.∴x1＋x2＝12，弦长＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16.4.解析：选BkOA·kOB＝＝y1x1·y2x2＝y1y2x1x2，根据焦点弦的性质x1x2＝p24，y1y2＝－p2，故kOA·kOB＝－p2p24＝－4.5.解析：|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.答案：86.解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由于|AB|＝x1＋x2＋p＝4，∴x1＋x2＝4－12＝72，∴中点C(x0，y0)到直线x＋12＝0的距离为x0＋12＝x1＋x22＋12＝74＋12＝94.答案：947.解析：选C∵直线y＝kx－k＝k(x－1)，∴直线过点(1，0)．又点(1，0)在抛物线y2＝2px的内部．∴当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点．8.解析：选C准线x＝－2，Q(－2，0)，设l：y＝k(x＋2)，由y＝k（x＋2），y2＝8x，得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0.当k＝0时，即交点为(0，0)，当k≠0时，Δ≥0，－1≤k0或0k≤1.综上，k的取值范围是[－1，1]．9.解：法一：设P(x0，y0)是y2＝2x上任一点，则点P到直线l的距离d＝|x0－y0＋3|2＝y202－y0＋32＝||（y0－1）2＋522，当y0＝1时，dmin＝524，∴P12，1.法二：设与抛物线相切且与直线x－y＋3＝0平行的直线方程为x－y＋m＝0，由x－y＋m＝0，y2＝2x，得y2－2y＋2m＝0，∵Δ＝(－2)2－4×2m＝0，∴m＝12.∴平行直线的方程为x－y＋12＝0，此时点到直线的最短距离转化为两平行线之间的距离，则dmin＝3－122＝524，此时点P的坐标为12，1.10.解：过A、B分别作准线的垂线AA′、BD，垂足分别为A′、D，则|BF|＝|BD|，又2|BF|＝|BC|，∴在Rt△BCD中，∠BCD＝30°.又|AF|＝3，∴|AA′|＝3，|AC|＝6，|FC|＝3.∴F到准线距离p＝12|FC|＝32.∴y2＝3x.能力提升综合练1.解析：选C当AB垂直于对称轴时，|AB|取最小值，此时AB即为抛物线的通径，长度等于2p.2.解析：选B抛物线的焦点为Fp2，0，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－p2，即x＝y＋p2，代入y2＝2px得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0，由根与系数的关系得y1＋y22＝p＝2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，所以抛物线方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.3.解析：选B如图，由抛物线定义知|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，所以∠AA1F＝∠AFA1.又∠AA1F＝∠A1FO，所以∠AFA1＝∠A1FO，同理∠BFB1＝∠B1FO.于是∠AFA1＋∠BFB1＝∠A1FO＋∠B1FO＝∠A1FB1，故∠A1FB1＝90°.4.解析：选D由y2＝4x，y＝2x－4得x2－5x＋4＝0，∴x＝1或x＝4.5.解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x10，x20，y10，y20，由y＝k（x＋2），y2＝8x，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，∴x1x2＝4，①∵|FA|＝x1＋p2＝x1＋2，|FB|＝x2＋p2＝x2＋2，且|FA|＝2|FB|，∴x1＝2x2＋2.②由①②得x2＝1，∴B(1，22)，代入y＝k(x＋2)，得k＝223.答案：2236.解析：抛物线的焦点坐标F0，p2，准线方程为y＝－p2.代入x23－y23＝1得|x|＝3＋p24.要使△ABF为等边三角形，则tanπ6＝|x|p＝3＋p24p＝33，解得p2＝36，p＝6.答案：67.解：(1)证明：过焦点Fp2，0的直线AB的方程为y＝kx－p2或x＝p2.当直线AB的方程为y＝kx－p2时，由y＝kx－p2，y2＝2px，消去x，得ky2－2py－kp2＝0.∵AB与抛物线有两个交点，∴k≠0.由韦达定理得y1y2＝－p2.又y21＝2px1，y22＝2px2，∴x1x2＝y212p·y222p＝（y1y2）24p2＝p24.当直线AB的方程为x＝p2时，x1x2＝p24，y1＝p，y2＝－p，∴y1y2＝－p2.(2)设直线AB：y＝kx－p2或x＝p2.当直线AB的方程为y＝kx－p2时，由y2＝2px，y＝kx－p2，消去y，得k2x2－p(k2＋2)x＋k2p24＝0.∵AB与抛物线有两个交点，∴k≠0.∴x1＋x2＝p（k2＋2）k2，x1x2＝p24.又|AF|＝x1＋p2，|BF|＝x2＋p2，∴|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p.|AF|·|BF|＝x1＋p2x2＋p2＝x1x2＋p2(x1＋x2)＋p24＝p2(x1＋x2)＋p22＝p2(x1＋x2＋p)＝p2()|AF|＋|BF|，即|AF|＋|BF|＝2p·|AF|·|BF|，∴1|AF|＋1|BF|＝2p.当直线AB的方程为x＝p2时，x1＝x2＝p2，y1＝p，y2＝－p，∴|AF|＝|BF|＝p，∴1|AF|＋1|BF|＝2p.8.解：(1)证明：设直线l1，l2的方程分别为y＝k1x，y＝k2x(k1，k2≠0)，则由y＝k1x，y2＝2p1x，⇒A12p1k21，2p1k1，由y＝k1x，y2＝2p2x，⇒A22p2k21，2p2k1，同理可得B12p1k22，2p1k2，B22p2k22，2p2k2，所以＝2p1k22－2p1k21，2p1k2－2p1k1＝2p11k22－1k21，1k2－1k1＝2p2k22－2p2k21，2p2k2－2p2k1＝2p21k22－1k21，1k2－1k1，所以A1B1∥A2B2.(2)由(1)知A1B1∥A2B2，同理可得B1C1∥B2C2，A1C1∥A2C2，所以△A1B1C1∽△A2B2C2，故S1S2＝p21p22.