20172018学年高中数学人教A版选修22：课时跟踪检测（七） 函数的最大（小）值与导数 Word

课时跟踪检测（七）函数的最大(小)值与导数层级一学业水平达标1．设M，m分别是函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值，若M＝m，则f′(x)()A．等于0B．小于0C．等于1D．不确定解析：选A因为M＝m，所以f(x)为常数函数，故f′(x)＝0，故选A.2．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是()A．12，－8B．1，－8C．12，－15D．5，－16解析：选Ay′＝6x2－6x－12，由y′＝0⇒x＝－1或x＝2(舍去)．x＝－2时，y＝1；x＝－1时，y＝12；x＝1时，y＝－8.∴ymax＝12，ymin＝－8.故选A.3．函数f(x)＝x4－4x(|x|1)()A．有最大值，无最小值B．有最大值，也有最小值C．无最大值，有最小值D．既无最大值，也无最小值解析：选Df′(x)＝4x3－4＝4(x－1)(x2＋x＋1)．令f′(x)＝0，得x＝1.又x∈(－1,1)且1∉(－1,1)，∴该方程无解，故函数f(x)在(－1,1)上既无极值也无最值．故选D.4．函数f(x)＝2x＋1x，x∈(0,5]的最小值为()A．2B．3C.174D．22＋12解析：选B由f′(x)＝1x－1x2＝x32－1x2＝0，得x＝1，且x∈(0,1)时，f′(x)＜0，x∈(1,5]时，f′(x)＞0，∴x＝1时，f(x)最小，最小值为f(1)＝3.5．函数y＝lnxx的最大值为()A．e－1B．eC．e2D．10解析：选A令y′＝lnx′x－lnxx2＝1－lnxx2＝0⇒x＝e.当x＞e时，y′＜0；当0＜x＜e时，y′＞0，所以y极大值＝f(e)＝e－1，在定义域内只有一个极值，所以ymax＝e－1.6．函数y＝x－x(x≥0)的最大值为__________．解析：y′＝12x－1＝1－2x2x，令y′＝0得x＝14.∵0＜x＜14时，y′＞0；x＞14时，y′＜0.∴x＝14时，ymax＝14－14＝14.答案：147．函数f(x)＝xe－x，x∈[0,4]的最小值为________．解析：f′(x)＝e－x－xe－x＝e－x(1－x)．令f′(x)＝0，得x＝1(e－x＞0)，∴f(1)＝1e＞0，f(0)＝0，f(4)＝4e4＞0，所以f(x)的最小值为0.答案：08．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝________.解析：∵f′(x)＝3x2－3，∴当x＞1或x＜－1时，f′(x)＞0；当－1＜x＜1时，f′(x)＜0.∴f(x)在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增．∴f(x)min＝f(1)＝1－3－a＝－2－a＝n.又∵f(0)＝－a，f(3)＝18－a，∴f(0)＜f(3)．∴f(x)max＝f(3)＝18－a＝m，∴m－n＝18－a－(－2－a)＝20.答案：209．设函数f(x)＝ex－k2x2－x.(1)若k＝0，求f(x)的最小值；(2)若k＝1，讨论函数f(x)的单调性．解：(1)k＝0时，f(x)＝ex－x，f′(x)＝ex－1.当x∈(－∞，0)时，f′(x)0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)的最小值为f(0)＝1.(2)若k＝1，则f(x)＝ex－12x2－x，定义域为R.∴f′(x)＝ex－x－1，令g(x)＝ex－x－1，则g′(x)＝ex－1，由g′(x)≥0得x≥0，所以g(x)在[0，＋∞)上单调递增，由g′(x)0得x0，所以g(x)在(－∞，0)上单调递减，∴g(x)min＝g(0)＝0，即f′(x)min＝0，故f′(x)≥0.所以f(x)在R上单调递增．10．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程为y＝3x＋1.(1)求a，b的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值．解：(1)依题意可知点P(1，f(1))为切点，代入切线方程y＝3x＋1可得，f(1)＝3×1＋1＝4，∴f(1)＝1＋a＋b＋5＝4，即a＋b＝－2，又由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5得，又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，而由切线y＝3x＋1的斜率可知f′(1)＝3，∴3＋2a＋b＝3，即2a＋b＝0，由a＋b＝－2，2a＋b＝0.解得a＝2，b＝－4，∴a＝2，b＝－4.(2)由(1)知f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，f′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x＝23或x＝－2.当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：x－3(－3，－2)－2－2，232323，11f′(x)＋0－0＋f(x)8极大值极小值4∴f(x)的极大值为f(－2)＝13，极小值为f23＝9527，又f(－3)＝8，f(1)＝4，∴f(x)在[－3,1]上的最大值为13.层级二应试能力达标1．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为()A．[0,1)B．(0,1)C．(－1,1)D.0，12解析：选B∵f′(x)＝3x2－3a，令f′(x)＝0，可得a＝x2，又∵x∈(0,1)，∴0＜a＜1，故选B.2．若函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为()A．－10B．－71C．－15D．－22解析：选Bf′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．由f′(x)＝0，得x＝3或x＝－1.又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71.3．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小值时t的值为()A．1B.12C.52D.22解析：选D因为f(x)的图象始终在g(x)的上方，所以|MN|＝f(x)－g(x)＝x2－lnx，设h(x)＝x2－lnx，则h′(x)＝2x－1x＝2x2－1x，令h′(x)＝2x2－1x＝0，得x＝22，所以h(x)在0，22上单调递减，在22，＋∞上单调递增，所以当x＝22时有最小值，故t＝22.4．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是()A．[3，＋∞)B．[－3，＋∞)C．(－3，＋∞)D．(－∞，－3)解析：选B∵f(x)＝x3＋ax－2在[1，＋∞)上是增函数，∴f′(x)＝3x2＋a≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≥－3x2在[1，＋∞)上恒成立，又∵在[1，＋∞)上(－3x2)max＝－3，∴a≥－3.5．设函数f(x)＝12x2ex，若当x∈[－2,2]时，不等式f(x)＞m恒成立，则实数m的取值范围是________．解析：f′(x)＝xex＋12x2ex＝ex2·x(x＋2)，由f′(x)＝0得x＝0或x＝－2.当x∈[－2,2]时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x－2(－2,0)0(0,2)2f′(x)0－0＋f(x)递减递增∴当x＝0时，f(x)min＝f(0)＝0，要使f(x)＞m对x∈[－2,2]恒成立，只需m＜f(x)min，∴m＜0.答案：(－∞，0)6．已知函数y＝－x2－2x＋3在区间[a,2]上的最大值为154，则a＝________.解析：y′＝－2x－2，令y′＝0，得x＝－1，∴函数在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减．若a＞－1，则最大值为f(a)＝－a2－2a＋3＝154，解之得a＝－12a＝－32舍去；若a≤－1，则最大值为f(－1)＝－1＋2＋3＝4≠154.综上知，a＝－12.答案：－127．已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．(1)求f(x)的表达式；(2)求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．解：(1)∵f′(x)＝3ax2＋2x＋b，∴g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.∵g(x)是奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，从而3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－13，b＝0，因此f(x)的表达式为f(x)＝－13x3＋x2.(2)由(1)知g(x)＝－13x3＋2x，∴g′(x)＝－x2＋2，令g′(x)＝0.解得x1＝－2(舍去)，x2＝2，而g(1)＝53，g(2)＝423，g(2)＝43，因此g(x)在区间[1,2]上的最大值为g(2)＝423，最小值为g(2)＝43.8．已知函数f(x)＝lnx＋ax.(1)当a0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在[1，e]上的最小值是32，求a的值．解：函数f(x)＝lnx＋ax的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－ax2＝x－ax2，(1)∵a0，∴f′(x)0，故函数在其定义域(0，＋∞)上单调递增．(2)x∈[1，e]时，分如下情况讨论：①当a1时，f′(x)0，函数f(x)单调递增，其最小值为f(1)＝a1，这与函数在[1，e]上的最小值是32相矛盾；②当a＝1时，函数f(x)在[1，e]上单调递增，其最小值为f(1)＝1，同样与最小值是32相矛盾；③当1ae时，函数f(x)在[1，a)上有f′(x)0，f(x)单调递减，在(a，e]上有f′(x)0，f(x)单调递增，所以，函数f(x)的最小值为f(a)＝lna＋1，由lna＋1＝32，得a＝e.④当a＝e时，函数f(x)在[1，e]上有f′(x)0，f(x)单调递减，其最小值为f(e)＝2，这与最小值是32相矛盾；⑤当ae时，显然函数f(x)在[1，e]上单调递减，其最小值为f(e)＝1＋ae2，仍与最小值是32相矛盾；综上所述，a的值为e.