20172018学年高中数学人教A版选修22：课时跟踪检测（十） 定积分的概念 Word版含解析

课时跟踪检测（十）定积分的概念层级一学业水平达标1．定积分－22f(x)dx(f(x)0)的积分区间是()A．[－2,2]B．[0,2]C．[－2,0]D．不确定解析：选A由定积分的概念得定积分2－2f(x)dx的积分区间是[－2,2]．2．定积分13(－3)dx等于()A．－6B．6C．－3D．3解析：选A由定积分的几何意义知，13(－3)dx表示由x＝1，x＝3，y＝0及y＝－3所围成的矩形面积的相反数，故13(－3)dx＝－6.3．下列命题不正确的是()A．若f(x)是连续的奇函数，则a－af(x)dx＝0B．若f(x)是连续的偶函数，则a－af(x)dx＝20af(x)dxC．若f(x)在[a，b]上连续且恒正，则abf(x)dx＞0D．若f(x)在[a，b]上连续且abf(x)dx＞0，则f(x)在[a，b]上恒正解析：选DA项，因为f(x)是奇函数，图象关于原点对称，所以x轴上方的面积和x轴下方的面积相等，故积分是0，所以A项正确；B项，因为f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，故y轴两侧的图象都在x轴上方或下方且面积相等，故B项正确；由定积分的几何意义知，C项显然正确；D项，f(x)也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f(x)＞0的曲线围成的面积比f(x)＜0的曲线围成的面积大．4．设f(x)＝x2，x≥0，2x，x0，则1－1f(x)dx的值是()A.－11x2dxB.－112xdxC.－11x2dx＋1－12xdxD.－102xdx＋10x2dx解析：选D由定积分性质(3)求f(x)在区间[－1,1]上的定积分，可以通过求f(x)在区间[－1,0]与[0,1]上的定积分来实现，显然D正确，故应选D.5．下列各阴影部分的面积S不可以用S＝ab[f(x)－g(x)]dx求出的是()解析：选D定积分S＝ab[f(x)－g(x)]dx的几何意义是求函数f(x)与g(x)之间的阴影部分的面积，必须注意f(x)的图象要在g(x)的图象上方．对照各选项可知，D项中f(x)的图象不全在g(x)的图象上方．故选D.6．若abf(x)dx＝3，abg(x)dx＝2，则ab[f(x)＋g(x)]dx＝__________.解析：ab[f(x)＋g(x)]dx＝abf(x)dx＋abg(x)dx＝3＋2＝5.答案：57．若abf(x)dx＝1，abg(x)dx＝－3，则ab[2f(x)＋g(x)]dx＝_______.解析：ab[2f(x)＋g(x)]dx＝2abf(x)dx＋abg(x)dx＝2×1－3＝－1.答案：－18．计算：0416－x2dx＝____________.解析：0416－x2dx表示以原点为圆心，半径为4的14圆的面积，∴0416－x2dx＝14π·42＝4π.答案：4π9．化简下列各式，并画出各题所表示的图形的面积．(1)－3－2x2dx＋1－2x2dx；(2)01(1－x)dx＋12(x－1)dx.解：(1)原式＝－31x2dx，如图(1)所示．(2)01(1－x)dx＋12(x－1)dx＝02|1－x|dx，如图(2)所示．10．已知函数f(x)＝x5，x∈[－1，1]，x，x∈[1，π，sinx，x∈[π，3π]，求f(x)在区间[－1,3π]上的定积分．解：由定积分的几何意义知：∵f(x)＝x5是奇函数，故1－1x5dx＝0；π3πsinxdx＝0(如图(1)所示)；1πxdx＝12(1＋π)(π－1)＝12(π2－1)(如图(2)所示)．∴－13πf(x)dx＝－11x5dx＋1πxdx＋－π3πsinxdx＝1πxdx＝12(π2－1)．层级二应试能力达标1．设f(x)是[a，b]上的连续函数，则abf(x)dx－abf(t)dt的值()A．小于零B．等于零C．大于零D．不能确定解析：选Babf(x)dx和abf(t)dt都表示曲线y＝f(x)与x＝a，x＝b及y＝0围成的曲边梯形面积，不因曲线中变量字母不同而改变曲线的形状和位置．所以其值为0.2．(陕西高考)如图所示，图中曲线方程为y＝x2－1，用定积分表示围成封闭图形(阴影部分)的面积是()A.02(x2－1)dxB.01(x2－1)dxC.02|x2－1|dxD.01(x2－1)dx＋12(x2－1)dx解析：选C由定积分的几何意义和性质可得：图中围成封闭图形(阴影部分)的面积S＝01(1－x2)dx＋12(x2－1)dx＝02|x2－1|dx，故选C.3．设a＝01x13dx，b＝01x2dx，c＝01x3dx，则a，b，c的大小关系是()A．c＞a＞bB．a＞b＞cC．a＝b＞cD．a＞c＞b解析：选B根据定积分的几何意义，易知01x3dx＜01x2dx＜01x13dx，即a＞b＞c，故选B.4．已知t0，若0t(2x－2)dx＝8，则t＝()A．1B．－2C．－2或4D．4解析：选D作出函数f(x)＝2x－2的图象与x轴交于点A(1,0)，与y轴交于点B(0，－2)，易求得S△OAB＝1，∵0t(2x－2)dx＝8，且01(2x－2)dx＝－1，∴t1，∴S△AEF＝12|AE||EF|＝12×(t－1)(2t－2)＝(t－1)2＝9，∴t＝4，故选D.5．定积分01(2＋1－x2)dx＝________.解析：原式＝012dx＋011－x2dx.因为012dx＝2，011－x2dx＝π4，所以01(2＋1－x2)dx＝2＋π4.答案：2＋π46．已知f(x)是一次函数，其图象过点(3,4)且01f(x)dx＝1，则f(x)的解析式为______．解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，∵f(x)图象过(3,4)点，∴3a＋b＝4.又01f(x)dx＝01(ax＋b)dx＝a01xdx＋01bdx＝12a＋b＝1.解方程组3a＋b＝4，12a＋b＝1，得a＝65，b＝25.∴f(x)＝65x＋25.答案：f(x)＝65x＋257．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，用定积分法求汽车在这一分钟内行驶的路程．解：依题意，汽车的速度v与时间t的函数关系式为v(t)＝32t，0≤t20，50－t，20≤t40，10，40≤t≤60.所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为s＝∫600v(t)dt＝∫20032tdt＋2040(50－t)dt＋406010dt＝300＋400＋200＝900(米)．8．求证：12＜01xdx＜1.证明：如图，01xdx表示阴影部分面积，△OAB的面积是12，正方形OABC的面积是1，显然，△OAB的面积＜阴影部分面积＜正方形OABC的面积，即12＜01xdx＜1.