20172018学年高中数学人教A版选修22：课时跟踪检测（五） 函数的单调性与导数 Word版含解

课时跟踪检测（五）函数的单调性与导数层级一学业水平达标1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是()A．y＝sinxB．y＝xexC．y＝x3－xD．y＝lnx－x解析：选BB中，y′＝(xex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)＞0在(0，＋∞)上恒成立，∴y＝xex在(0，＋∞)上为增函数．对于A、C、D都存在x＞0，使y′＜0的情况．2．若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是()A.13，＋∞B.－∞，13C.13，＋∞D.－∞，13解析：选Cy′＝3x2＋2x＋m，由条件知y′≥0在R上恒成立，∴Δ＝4－12m≤0，∴m≥13.3．函数y＝x4－2x2＋5的单调递减区间为()A．(－∞，－1)和(0,1)B．[－1,0]和[1，＋∞)C．[－1,1]D．(－∞，－1]和[1，＋∞)解析：选Ay′＝4x3－4x，令y′0，即4x3－4x0，解得x－1或0x1，所以函数的单调递减区间为(－∞，－1)和(0,1)，故应选A.4．函数y＝xlnx在(0,5)上的单调性是()A．单调递增B．单调递减C．在0，1e上单调递减，在1e，5上单调递增D．在0，1e上单调递增，在1e，5上单调递减解析：选C由已知得函数的定义域为(0，＋∞)．∵y′＝lnx＋1，令y′＞0，得x＞1e.令y′＜0，得x＜1e.∴函数y＝xlnx在0，1e上单调递减，在1e，5上单调递增．5．若函数y＝a(x3－x)的单调减区间为－33，33，则a的取值范围是()A．(0，＋∞)B．(－1,0)C．(1，＋∞)D．(0,1)解析：选Ay′＝a(3x2－1)＝3ax－33x＋33.当－33＜x＜33时，x－33x＋33＜0，要使y＝a(x3－x)在－33，33上单调递减，只需y′＜0，即a＞0.6．函数f(x)＝cosx＋32x的单调递增区间是________．解析：因为f′(x)＝－sinx＋32＞0，所以f(x)在R上为增函数．答案：(－∞，＋∞)7．若函数y＝13ax3－12ax2－2ax(a≠0)在[－1,2]上为增函数，则a∈________.解析：y′＝ax2－ax－2a＝a(x＋1)(x－2)0，∵当x∈(－1,2)时，(x＋1)(x－2)0，∴a0.答案：(－∞，0)8．若函数y＝－43x3＋ax有三个单调区间，则a的取值范围是.解析：∵y′＝－4x2＋a，且y有三个单调区间，∴方程y′＝－4x2＋a＝0有两个不等的实根，∴Δ＝02－4×(－4)×a0，∴a0.答案：(0，＋∞)9．已知函数f(x)＝13x3＋ax2＋bx，且f′(－1)＝－4，f′(1)＝0.(1)求a和b；(2)试确定函数f(x)的单调区间．解：(1)∵f(x)＝13x3＋ax2＋bx，∴f′(x)＝x2＋2ax＋b，由f′－1＝－4，f′1＝0，得1－2a＋b＝－4，1＋2a＋b＝0.解得a＝1，b＝－3.(2)由(1)得f(x)＝13x3＋x2－3x.f′(x)＝x2＋2x－3＝(x－1)(x＋3)．由f′(x)0得x1或x－3；由f′(x)0得－3x1.∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－3)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－3,1)．10．已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex.设f(x)在区间[－1,1]上是单调函数，求a的取值范围．解：f′(x)＝(2x－2a)ex＋(x2－2ax)ex＝ex[x2＋2(1－a)x－2a]．令f′(x)＝0，即x2＋2(1－a)x－2a＝0.解得x1＝a－1－1＋a2，x2＝a－1＋1＋a2，令f′(x)＞0，得x＞x2或x＜x1，令f′(x)＜0，得x1＜x＜x2.∵a≥0，∴x1－1，x2≥0.由此可得f(x)在[－1,1]上是单调函数的充要条件为x2≥1，即a－1＋1＋a2≥1，解得a≥34.故所求a的取值范围为34，＋∞.层级二应试能力达标1.已知函数f(x)＝x＋lnx，则有()A．f(2)f(e)f(3)B．f(e)f(2)f(3)C．f(3)f(e)f(2)D．f(e)f(3)f(2)解析：选A在(0，＋∞)内，f′(x)＝12x＋1x0，所以f(x)在(0，＋∞)内是增函数，所以有f(2)f(e)f(3)．2.设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能的是()解析：选C由f′(x)的图象知，x∈(－∞，0)时，f′(x)0，f(x)为增函数，x∈(0,2)时，f′(x)0，f(x)为减函数，x∈(2，＋∞)时，f′(x)0，f(x)为增函数．只有C符合题意，故选C.3．(全国Ⅱ卷)若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)内单调递增，则k的取值范围是()A．(－∞，－2]B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)D．[1，＋∞)解析：选D因为f(x)＝kx－lnx，所以f′(x)＝k－1x.因为f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x1时，f′(x)＝k－1x≥0恒成立，即k≥1x在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x1，所以01x1，所以k≥1.故选D.4．设函数F(x)＝fxex是定义在R上的函数，其中f(x)的导函数f′(x)满足f′(x)f(x)对于x∈R恒成立，则()A．f(2)e2f(0)，f(2016)e2016f(0)B．f(2)e2f(0)，f(2016)e2016f(0)C．f(2)e2f(0)，f(2016)e2016f(0)D．f(2)e2f(0)，f(2016)e2016f(0)解析：选C∵函数F(x)＝fxex的导数F′(x)＝f′xex－fxexex2＝f′x－fxex0，∴函数F(x)＝fxex是定义在R上的减函数，∴F(2)F(0)，即f2e2f0e0，故有f(2)e2f(0)．同理可得f(2016)e2016f(0)．故选C.5．已知函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为____________．解析：设g(x)＝f(x)－2x－4，则g′(x)＝f′(x)－2.∵对任意x∈R，f′(x)＞2，∴g′(x)＞0.∴g(x)在R上为增函数．又g(－1)＝f(－1)＋2－4＝0，∴x＞－1时，g(x)＞0.∴由f(x)＞2x＋4，得x＞－1.答案：(－1，＋∞)6．若f(x)＝－12x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是_____________．解析：∵f(x)在(－1，＋∞)上为减函数，∴f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立，∵f′(x)＝－x＋bx＋2，∴－x＋bx＋2≤0，∵b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立，g(x)＝x(x＋2)＝(x＋1)2－1，∴g(x)min＝－1，∴b≤－1.答案：(－∞，－1]7．已知x＞0，证明不等式ln(1＋x)＞x－12x2成立．证明：设f(x)＝ln(1＋x)－x＋12x2，其定义域为(－1，＋∞)，则f′(x)＝11＋x－1＋x＝x21＋x.当x＞－1时，f′(x)＞0，则f(x)在(－1，＋∞)内是增函数．∴当x＞0时，f(x)＞f(0)＝0.∴当x＞0时，不等式ln(1＋x)＞x－12x2成立．8．已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．(2)证明：f(x)＝x3－ax－1的图象不可能总在直线y＝a的上方．解：(1)已知函数f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－a，由题意知3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，∴a≥3x2在x∈(－1,1)上恒成立．但当x∈(－1,1)时，0＜3x2＜3，∴a≥3，即当a≥3时，f(x)在(－1,1)上单调递减．(2)证明：取x＝－1，得f(－1)＝a－2＜a，即存在点(－1，a－2)在f(x)＝x3－ax－1的图象上，且在直线y＝a的下方．即f(x)的图象不可能总在直线y＝a的上方．