函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用练习题

§4.4函数y＝Asin(ωx＋)的图象及应用一、选择题1．已知函数f(x)＝sinωx＋π3(ω0)的最小正周期为π，则该函数的图象()A．关于点π3，0对称B．关于直线x＝π4对称C．关于点π4，0对称D．关于直线x＝π3对称解析由已知，ω＝2，所以f(x)＝sin2x＋π3，因为fπ3＝0，所以函数图象关于点π3，0中心对称，故选A.2.要得到函数cos(21)yx的图象，只要将函数cos2yx的图象（）A.向左平移1个单位B.向右平移1个单位C.向左平移12个单位D.向右平移12个单位解析因为1cos(21)cos(2()2yxx,所以将cos2yx向左平移12个单位,故选C.3．若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R(其中ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期是π，且f(0)＝3，则()．A．ω＝12，φ＝π6B．ω＝12，φ＝π3C．ω＝2，φ＝π6D．ω＝2，φ＝π3解析由T＝2πω＝π，∴ω＝2.由f(0)＝3⇒2sinφ＝3，∴sinφ＝32，又|φ|＜π2，∴φ＝π3.4．将函数y＝f(x)·sinx的图象向右平移π4个单位后，再作关于x轴对称变换，得到函数y＝1－2sin2x的图象，则f(x)可以是()．A．sinxB．cosxC．2sinxD．2cosx解析运用逆变换方法：作y＝1－2sin2x＝cos2x的图象关于x轴的对称图象得y＝－cos2x＝－sin2x＋π4的图象，再向左平移π4个单位得y＝f(x)·sinx＝－sin2x＋π2＝sin2x＝2sinxcosx的图象．∴f(x)＝2cosx.5．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)(A0，ω0,0φπ2)的图象如图所示，则当t＝1100秒时，电流强度是()A．－5安B．5安C．53安D．10安解析：由函数图象知A＝10，T2＝4300－1300＝1100.∴T＝150＝2πω，∴ω＝100π.∴I＝10sin(100πt＋φ)．又∵点1300，10在图象上，∴10＝10sin100π×1300＋φ∴π3＋φ＝π2，∴φ＝π6，∴I＝10sin100πt＋π6.当t＝1100时，I＝10sin100π×1100＋π6＝－5.6．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝π2时，f(x)取得最大值，则()．A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数解析∵f(x)的最小正周期为6π，∴ω＝13，∵当x＝π2时，f(x)有最大值，∴13×π2＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，φ＝π3＋2kπ(k∈Z)，∵－π＜φ≤π，∴φ＝π3.∴f(x)＝2sinx3＋π3，由此函数图象易得，在区间[－2π，0]上是增函数，而在区间[－3π，－π]或[3π，5π]上均不是单调的，在区间[4π，6π]上是单调增函数．7．设函数f(x)＝cosωx(ω＞0)，将y＝f(x)的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于()．A.13B．3C．6D．9解析依题意得，将y＝f(x)的图象向右平移π3个单位长度后得到的是fx－π3＝cosωx－π3＝cosωx－ωπ3的图象，故有cosωx＝cosωx－ωπ3，而cosωx＝cos2kπ＋ωx－ωπ3(k∈Z)，故ωx－ωx－ωπ3＝2kπ(k∈Z)，即ω＝6k(k∈Z)，∵ω＞0，因此ω的最小值是6.二、填空题8.将函数y＝sin(ωx＋φ)ω0，π2φπ的图象，向右最少平移4π3个单位长度，或向左最少平移2π3个单位长度，所得到的函数图象均关于原点中心对称，则ω＝________.解析因为函数的相邻两对称轴之间距离或相邻两对称点之间距离是函数周期的一半，则有T2＝4π3－－2π3＝2π，故T＝4π，即2πω＝4π，ω＝12.答案129．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，则ω＝________.解析：由已知两相邻最高点和最低点的距离为22，而f(x)max－f(x)min＝2，由勾股定理可得T2＝22－22＝2，∴T＝4，∴ω＝2πT＝π2.10．已知函数f(x)＝3sinωx－π6(ω＞0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x∈0，π2，则f(x)的取值范围是________．解析由题意知ω＝2，∴f(x)＝3sin2x－π6，当x∈0，π2时，2x－π6∈－π6，56π，∴f(x)的取值范围是－32，3.11．在函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的一个周期内，当x＝π9时有最大值12，当x＝4π9时有最小值－12，若φ∈0，π2，则函数解析式f(x)＝________.解析首先易知A＝12，由于x＝π9时f(x)有最大值12，当x＝4π9时f(x)有最小值－12，所以T＝4π9－π9×2＝2π3，ω＝3.又12sin3×π9＋φ＝12，φ∈0，π2，解得φ＝π6，故f(x)＝12sin3x＋π6.12．设函数y＝sin(ωx＋φ)ω＞0，φ∈－π2，π2的最小正周期为π，且其图象关于直线x＝π12对称，则在下面四个结论中：①图象关于点π4，0对称；②图象关于点π3，0对称；③在0，π6上是增函数；④在－π6，0上是增函数．以上正确结论的编号为________．解析∵y＝sin(ωx＋φ)最小正周期为π，∴ω＝2ππ＝2，又其图象关于直线x＝π12对称，∴2×π12＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，∴φ＝kπ＋π3，k∈Z.由φ∈－π2，π2，得φ＝π3，∴y＝sin2x＋π3.令2x＋π3＝kπ(k∈Z)，得x＝kπ2－π6(k∈Z)．∴y＝sin2x＋π3关于点π3，0对称．故②正确．令2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，得kπ－5π12≤x≤kπ＋π12(k∈Z)．∴函数y＝sin2x＋π3的单调递增区间为kπ－5π12，kπ＋π12(k∈Z)．∵－π6，0kπ－5π12，kπ＋π12(k∈Z)．∴④正确．三、解答题13．已知函数f(x)＝3sin2x＋2cos2x.(1)将f(x)的图象向右平移π12个单位长度，再将周期扩大一倍，得到函数g(x)的图象，求g(x)的解析式；(2)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间．解析(1)依题意f(x)＝3sin2x＋2·cos2x＋12＝3sin2x＋cos2x＋1＝2sin2x＋π6＋1，将f(x)的图象向右平移π12个单位长度，得到函数f1(x)＝2sin2x－π12＋π6＋1＝2sin2x＋1的图象，该函数的周期为π，若将其周期变为2π，则得g(x)＝2sinx＋1.(2)函数f(x)的最小正周期为T＝π，当2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2(k∈Z)时，函数单调递增，解得kπ－π3≤x≤kπ＋π6(k∈Z)，∴函数的单调递增区间为kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)．14．已知函数f(x)＝23·sinx2＋π4cosx2＋π4－sin(x＋π)．(1)求f(x)的最小正周期；(2)若将f(x)的图象向右平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值．解析(1)因为f(x)＝3sinx＋π2＋sinx＝3cosx＋sinx＝232cosx＋12sinx＝2sinx＋π3，所以f(x)的最小正周期为2π.(2)∵将f(x)的图象向右平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，∴g(x)＝fx－π6＝2sinx－π6＋π3＝2sinx＋π6.∵x∈[0，π]，∴x＋π6∈π6，7π6，∴当x＋π6＝π2，即x＝π3时，sinx＋π6＝1，g(x)取得最大值2.当x＋π6＝7π6，即x＝π时，sinx＋π6＝－12，g(x)取得最小值－1.【点评】解决三角函数的单调性及最值值域问题主要步骤有：第一步：三角函数式的化简，一般化成y＝Aωx＋φ＋h或y＝Aωx＋φ＋h的形式.第二步：根据sinx、cosx的单调性解决问题，将“ωx＋φ”看作一个整体，转化为不等式问题.第三步：根据已知x的范围，确定“ωx＋φ”的范围.第四步：确定最大值或最小值.第五步：明确规范表述结论.15．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的部分图象如图所示．(1)求f(x)的解析式；(2)设g(x)＝fx－π122，求函数g(x)在x∈－π6，π3上的最大值，并确定此时x的值．解析(1)由题图知A＝2，T4＝π3，则2πω＝4×π3，∴ω＝32.又f－π6＝2sin32×－π6＋φ＝2sin－π4＋φ＝0，∴sinφ－π4＝0，∵0＜φ＜π2，∴－π4＜φ－π4＜π4，∴φ－π4＝0，即φ＝π4，∴f(x)的解析式为f(x)＝2sin32x＋π4.(2)由(1)可得fx－π12＝2sin32x－π12＋π4＝2sin32x＋π8，∴g(x)＝fx－π122＝4×1－cos3x＋π42＝2－2cos3x＋π4，∵x∈－π6，π3，∴－π4≤3x＋π4≤5π4，∴当3x＋π4＝π，即x＝π4时，g(x)max＝4.16．已知直线y＝2与函数f(x)＝2sin2ωx＋23sinωxcosωx－1(ω0)的图象的两个相邻交点之间的距离为π.(1)求f(x)的解析式，并求出f(x)的单调递增区间；(2)将函数f(x)的图象向左平移π4个单位长度得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的最大值及g(x)取得最大值时x的取值集合．解析(1)f(x)＝2sin2ωx＋23sinωxcosωx－1＝1－cos2ωx＋3sin2ωx－1＝2sin2ωx－π6，由题意可知函数的最小正周期T＝2π2ω＝π(ω0)，所以ω＝1，所以f(x)＝2sin2x－π6，令2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2其中k∈Z，解得kπ－π6≤x≤kπ＋π3，其中k∈Z，即f(x)的递增区间为kπ－π6，kπ＋π3，k∈Z.(2)g(x)＝fx＋π4＝2sin2x＋π4－π6＝2sin2x＋π3，则g(x)的最大值为2，此时有2sin2x＋π3＝2，即sin2x＋π3＝1，即2x＋π3＝2kπ＋π2，其中k∈Z，解得x＝kπ＋π12，k∈Z，所以当g(x)取得最大值时x的取值集合为xx＝kπ＋π12，k∈Z.