数值分析小论文数值分析实验

题目：温度沿传热杆变化规律的研究算法：解线性方程组的直接解法组号：22组员：解振，蔡传辉，王小兵，谢向向，商鹏，薛洪来，孔杰，张玉柱温度沿传热杆变化规律的研究解振，王小兵，谢向向，蔡传辉，商鹏（河南理工大学安全科学与工程学院,河南焦作454003）摘要：为了研究矿井发生火灾时距离火源的距离与温度的变化规律，由于问题比较复杂，我们不做复杂讨论，仅把问题简化为解决热量流经不绝热的细长杆，同时向杆内以及周围的空气中传播的问题，我们利用有限差分方法将微积分方程转化为三对角线性代数方程组，然后利用线性方程组直接求解的方法进行求解。最后得出温度沿热杆变化规律的图形，温度沿着杆随距离的变化几乎成线性关系。关键词：矿井火灾；不绝热细杆；温度变化规律；线性方程组ThestudyoftemperaturevariationalongtheheattransferpoleXIEZhen,WANGXiao-bing,XIEXiang-xiang,CAIChuan-hui,SHANGPeng(SchoolofSafetyScienceandEngineering,HenanPolytechnicUniversity,Jiaozuo454003,China)Abstract:Inordertostudytheoccurrenceoffireminethedistancefromthefiresourceandthetemperaturevariation,sincetheissueismorecomplicated,wedonotdiscussthecomplex,onlytosimplifytheproblemtosolvetheheatflowthroughthenon-adiabaticslenderrod,therodinandaroundthesametimeair-borneproblems,Weusethefinitedifferencemethodcalculusequationsintotridiagonallinearalgebraicequations,andsolvinglinearequations,directmethodstosolveit.Theconclusionisthatthetemperaturevariationalongthehotbargraph,thechangeswithdistancealmostlinearrelationship.Keyword:Minefire;Notinsulatedrod;Thetemperaturevariation;Linearequations;0．问题背景在工程技术问题上通常温度是个很重要的数据，矿井中温度的变化，发生火灾时距离火源的距离和温度的变化规律，矿井火灾往往会造成巨大的财产损失和人员伤亡，这是由于火源产生的火焰、高温气体，有毒气体，以及热辐射热传导效应都极具危险性。近年来，随着我国国民经济对于能源的需求越来越大，煤炭产量逐年提高，矿井火灾时有发生。研究温度传导规律对于有效地防治矿井火灾事故，减少火灾发生之后的人员伤亡财产损失具有一定的意义。1．问题分析及模型为了研究矿井发生火灾时火源的距离与温度的变化规律，由于问题比较复杂，工作量非常大，在矿井中不易模拟，我们在这里不做复杂讨论，仅研究其中一个小规律，把问题简化为解决热量流经不绝热的细长杆，同时向杆内以及周围的空气中传播的问题。这里的杆相当于介质，而空气在矿井中也是一种温度传播的介质，虽不同，但这里仅类比的探讨一个小规律。对分布式系统建模时，可能会得到线性代数方程。例如，图\中的细长杆位于两面墙之间，墙的温度均为常数。热量流经细长杆，同时向杆内以及周围的空气中传播。当系统达到稳态时，根据热量守恒可写出该系统所满足的微分方程：0)(Th'dxda22TT(1.1)作者简介：解振（1988－），男，河南永城人，硕士研究生，主要从事矿业工程技术研究。邮箱：[e-mail]其中T=温度，x=沿着杆的距离（m），h'=杆和周边空气之间的传热系数（2-m），aT=空气的温度（C0)给定参数，强制函数和边界条件，可以利用微积分求出解析解。例如，若h'=0.01，aT=20，T（0)=40,T(10)=200,解为：20e4523.53-e4523.73x1.0-x1.0T（1.2）虽然这里的问题可以通过微积分求解，但是微积分无法解决所有的这类问题。此时，数值方法就显得特别有用了。在本例中，我们利用有限差分方法将微积分方程转化为三对角线性代数方程组，然后利用本章介绍的数值方法进行求解。解：假设杆由一组节点表示，则方程（1.1）可转化为一组线性代数方程。如图，杆被表示成6个等距节点。由于杆的总长为10，所以结点间距为x=2。(一根不绝热的均匀杆位于两墙之间，两面墙的温度均为常数但各不相同。系统的有限差分表示需要用到4个内点)由于式（1.1）中含有二阶导数，所以求解它必须用到微积分。通过有限差分可以将导数近似的表示为代数形式。例如，各点处的二阶导数可以近似为211222dxTTTdxTiii其中Ti表示结点i处的温度。将上式近似表示式代入式（1.1）得到0)('2211TiTahxTTTiii合并同类项将各参数的取值代入得8.0-04.2-1-ii1-iTTT于是，微分方程（1.1）被转化成一个代数方程。在每个内部结点处写出上式得8.004.2210TTTT0=40012345Ta=20x=0x=10T5=200Ta=208.004.2321TTT8.004.2432TTT8.004.2543TTT2.解线性方程组的直接解法原理直接法就是经过有限步运算即可求得精确解的方法。设有线性方程组nnnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa.........2212222222111212111（1）下面来讨论一般的解n阶方程组的gauss消去法。将（1）式记作)1()1(bxA其中bbaaAjiij)1()1()1(),()(第一次消元.设011)1(a，首先对行计算乘数)1(11)1(/aamilil（i=2,3…n）,用1im乘以原式的第一个方程，加到i（i=2,3…n）个方程上，消去式子的第二个方程直到第n个方程中的未知数1x，得与式子等价的方程组)()(2)2(2)2(22)1(1)1(12)1(11...0.....0...nnnnnnnaaaaaaanxxx..21=)2()2(2)1(1..nbbb（2）简记作)2()2(bxA，其中)1(11)1()2()1()1()2(,bmbbamaaiiiijijijji（ij=2,3,…n）(2)一般第k11nk次消元。设第k-1步计算已经完成，即已计算好与原式等价的方程组)()(kkbxA，（3）且已消去未知数1321...,,,kxxxx，其中)k(A具有如下形式：)()()()2(2)2(22)1(1)1(12)1(11)k(..................knnknkkknkkknnaaaaaaaaaA设0)(xAkkk，计算乘数)()(/kkkkikikaam（i，j=k+1，…,n）,用ikm乘以（3）的第k个方程加上第i（i=k+1，…,n）个方程，消去第k+1个方程直到第n个方程的未知数xk，得到与式（1）等价的方程组)1()1(kkbxA。)1(kA元素的计算公式为),1,(),1,()()()1()()()1(nkjibmbbnkjiamaakkjikkijkijkkjikkijkij显然)1(kA的第1行到第k行与)(kA相同继续这一过程，直到完成第n-1次消元。最后得到与原方程组等价的三角方程组)()(nnbxA3.算法的Matlab实现3.1实验数据已知端点处的温度固定：T0=40和T5=200，将其代入并移至方程组右端，得到含有4个未知量的4个方程，其矩阵形式为8.2008.08.08.4004.2100104.2100104.2100104.24321TTTT这样，通过等价交换，将最初的微分方程转化为了一个线性代数方程组。因此，可以求出温度值。例如，利用MATLAB写出如下代码。3.2Matlab程序代码A=[2.04-100-12.04-100-12.04-100-12.04];b=[40.80.80.8200.8]';A\bT=(A\b)'T=65.969893.7785124.5382159.4795绘制结果的图形，并与式（2）给出的解析解进行比较T=[4065.969893.7785124.5382159.4795200];x=[0:2:10];xanal=[0:2:10]TT=@(x)73.4523*exp(0.1*xanal)-53.4523*exp(-0.1*xanal)+20;Tanal=TT(xanal);plot(x,T,'o',xanal,Tanal)4．计算结果及分析4.1计算结果如图所示，由上述程序利用matlab软件得到下面图像，从图像中可以清楚的看到温度沿传热杆变化的图形。数值解与微分解所得到的解析解非常接近。图中给出了解析解（实线）和数值解（圆圈）。4.2结果分析由上述程序利用matlab软件得到图像，从图像中可以清楚的看到温度沿传热杆变化的图形。数值解与微分解所得到的解析解非常接近。图中给出了解析解（实线）和数值解（圆圈）。模型仅是接近矿井实际情况，跟实际情况相比肯定要存在很大误差，由于问题比较复杂，只是研究相关近似规律，以便对矿井火灾的火源温度传播温度与距离直接的关系以得到直观的认识。5结论本文解线性方程组的直接解法，得出了得出了温度与传播距离的关系，我们从图像中可以看出，温度沿着杆几乎随距离的变化成线性关系，温度变化几乎是一条直线，一次函数。由此我们可以知道如两物体之间有热传导细杆，当温度平衡时，细杆的温度与距两热源的距离成比例关系。在矿井发生火灾时火源的距离与温度的变化规律，最后可以类比温度沿热杆变化规律，温度沿着火源随距离的变化而几乎成线性关系下降，即远离火源越远温度越低，靠近火源温度越高，而且几乎是线性关系。这对认识火源的危险性及防范其危害具有一定的意义。但当火源温度达到500度甚至更高时，巷道复杂程度不同，最后得出的规律和结论有可能不同，需进一步探讨。参考文献[1]李庆扬，王能超，易大义．数值分析[M]．武汉：华中科技大学出版社，2006．[2]林柏泉，崔恒信．矿井瓦斯防治理论与技术[M]．徐州：中国矿业大学出版社，1998．[3]线性代数实践及MATLAB入门[M]．北京：电子工业出版社，2009．[4]MATLAB2010从入门到精通[M]．北京：电子工业出版社，2011．[5]数学建模案例选集[M]．北京：高等教育出版社，2006．