九年级下册《圆》知识点总结

孟庄中心校九年级数学组编写人：王爱莲审核人：陈祥玉圆1．圆的认识（1）以点O为圆心的圆叫作“圆O”，记为“⊙O”。（2）线段OA、OB、OC都是圆的半径，线段AC为直径。（3）连结圆上任意两点之间的线段叫做弦。直径是圆中最长的弦。（4）圆上任意两点间的部分叫做弧。小于半圆周的圆叫做劣弧。大于半圆周的圆弧叫做优弧。（5）圆心角：顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角。如∠AOB、∠AOC、∠BOC就是圆心角。2．圆的对称性（1）圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。（2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB是直径②ABCD③CEDE④弧BC弧BD⑤弧AC弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在⊙O中，∵AB∥CD∴弧AC弧BD3.圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。即：①AOBDOE；②ABDE；③OCOF；④弧BA弧BD上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，4．圆周角（1）圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角。（2）半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。90°的圆周角所对的弦是圆的直径。（3）同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。（4）同弧（或等弧）所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等。FEDCBAOOEDCBAOCDABCBAODCBAOCBAO孟庄中心校九年级数学组编写人：王爱莲审核人：陈祥玉（5）若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在△ABC中，∵OCOAOB∴△ABC是直角三角形或90C注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。5．点与圆的位置关系设⊙O的半径为r，点圆心O的距离为d，则（1）点在圆外dr（2）点在圆上dr（3）点在圆内dr6．（1）过一点可以画无数个圆；过两点可以画无数个圆，圆心在两点连线的垂直平分线上；过不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆。（2）三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。这个三角形叫做这个圆的内接三角形。三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。（3）一个三角形的外接圆是唯一的。7．直线与圆的位置关系（1）如果一条直线与一个圆没有公共点，那么就说这条直线与这个圆相离。（2）如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆相切。此时这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点．（3）如果一条直线与一个圆有两个公共点，那么就说这条直线与这个圆相交，此时这条直线叫做圆的割线．如上图，设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，从图中可以看出：若dr直线l与⊙O相离；若dr直线l与⊙O相切；若dr直线l与⊙O相交；8．切线（1）判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。即：∵MNOA且MN过半径OA外端∴MN是⊙O的切线CBAOrddCBAONMAO孟庄中心校九年级数学组编写人：王爱莲审核人：陈祥玉证明切线常用的方法：1.连半径，证垂直；2.作垂直，证半径。（2）性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。（3）切线长：切线上某一点与切点之间的线段的长.性质：从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角。即：∵PA、PB是的两条切线∴PAPB，PO平分BPA.（4）三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆。三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心。这个三角形叫做这个圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等。9.圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补.即：在⊙O中，∵四边形ABCD是内接四边形∴180CBAD180BD10．圆和圆的位置关系1）两个圆没有公共点，那么就说两个圆相离，其中（1）又叫做外离，（2）、（3）又叫做内含。（3）中两圆的圆心相同，这两个圆还可以叫做同心圆。2）如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，如其中（4）又叫做外切，（5）又叫做内切。3）如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交，如（6）所示。（1）两圆外离dRr；（2）两圆外切dRr；（3）两圆外离RrdRr；（4）两圆外离dRr；（5）两圆外离0dRrPBAOEDCBACOBA孟庄中心校九年级数学组编写人：王爱莲审核人：陈祥玉11.圆内正多边形的计算（1）正三角形在⊙O中△ABC是正三角形，有关计算在RtBOD中进行：::1:3:2ODBDOB；（2）正四边形::1:1:2OEAEOA：（3）正六边形::1:3:2ABOBOA.12．圆中的计算问题（1）弧长的计算公式为：180nrl（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。扇形面积的计算公式：213602nrSlrn：圆心角R：扇形多对应的圆的半径l：扇形弧长S：扇形面积（3）圆锥的母线：把圆锥底面圆周上的任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线。圆锥的高：连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高.（4）圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长，圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径。圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积，即S=ra圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和.即SSS侧表底=2rararhDCBAOECBADOBAO