2020年江苏省高考数学试卷及答案详解-

试卷第1页，总23页2020年江苏省高考数学试卷一、填空题1.已知集合𝐵={0,2,3}，𝐴={−1,0,1,2}，则𝐴∩𝐵=________.2.已知𝑖是虚数单位，则复数𝑧=(1+𝑖)(2−𝑖)的实部是________.3.已知一组数据4，2𝑎，3−𝑎，5，6的平均数为4，则𝑎的值是________.4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是________.5.下图是一个算法流程图，若输出𝑦值为−2，则输入𝑥的值是________.6.在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，若双曲线𝑥2𝑎2−𝑦25=1(𝑎0)的一条渐近线方程为𝑦=√52𝑥，则该双曲线的离心率是________.7.已知𝑦=𝑓(𝑥)是奇函数，当𝑥≥0时，𝑓(𝑥)=𝑥23，则𝑓(−8)的值是________.8.已知sin2(𝜋4+𝛼)=23，则sin2𝛼的值是________.9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正试卷第2页，总23页六边形边长为2𝑐𝑚，高为2𝑐𝑚，内孔半径为0.5𝑐𝑚，则此六角螺帽毛坯的体积是________𝑐𝑚2.10.将函数𝑦=3sin(2𝑥+𝜋4)的图象向右平移𝜋6个单位长度，则平移后的图象中与𝑦轴最近的对称轴的方程是________.11.设{𝑎𝑛}是公差为𝑑的等差数列，{𝑏𝑛}是公比为𝑞的等比数列.已知{𝑎𝑛+𝑏𝑛}的前𝑛项和𝑆𝑛=𝑛2−𝑛+2𝑛−1(𝑛∈N∗)，则𝑑+𝑞的值是________.12.已知5𝑥2𝑦2+𝑦4=1(𝑥,𝑦∈R)，则𝑥2+𝑦2的最小值是________.13.在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=4，𝐴𝐶=3，∠𝐵𝐴𝐶=90∘，𝐷在边𝐵𝐶上，延长𝐴𝐷到𝑃，使得𝐴𝑃=9.若𝑃𝐴→=𝑚𝑃𝐵→+(32−𝑚)𝑃𝐶→(𝑚为常数），则𝐶𝐷的长度是________.14.在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，已知𝑃(√32,0)，𝐴，𝐵是圆𝐶:𝑥2+(𝑦−12)2=36上的两个动点，满足𝑃𝐴=𝑃𝐵，则△𝑃𝐴𝐵面积的最大值是________.二、解答题15.在三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，𝐴𝐵⊥𝐴𝐶，𝐵1𝐶⊥平面𝐴𝐵𝐶，𝐸，𝐹分别是𝐴𝐶，𝐵1𝐶的中点．(1)求证：𝐸𝐹//平面𝐴𝐵1𝐶1；(2)求证：平面𝐴𝐵1𝐶⊥平面𝐴𝐵𝐵1.试卷第3页，总23页16.在△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴，𝐵，𝐶的对边分别为𝑎，𝑏，𝑐，己知𝑎=3，𝑐=√2，∠𝐵=45∘.(1)求sin𝐶的值；(2)在边𝐵𝐶上取一点𝐷，使得cos∠𝐴𝐷𝐶=−45，求tan∠𝐷𝐴𝐶的值.17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底𝑂在水平线𝑀𝑁上，桥𝐴𝐵与𝑀𝑁平行，𝑂𝑂′为铅垂线（𝑂′在𝐴𝐵上）．经测量，左侧曲线𝐴𝑂上任一点𝐷到𝑀𝑁的距离ℎ1（米）与𝐷到𝑂𝑂′的距离𝑎（米）之间满足关系式ℎ1=140𝑎2；右侧曲线𝐵𝑂上任一点𝐹到𝑀𝑁的距离ℎ2（米）与𝐹到𝑂𝑂′的距离𝑏（米）之间满足关系式ℎ2=−1800𝑏3+6𝑏．已知点𝐵到𝑂𝑂′的距离为40米．(1)求桥𝐴𝐵的长度；(2)计划在谷底两侧建造平行于𝑂𝑂′的桥墩𝐶𝐷和𝐸𝐹.且𝐶𝐸为80米，其中𝐶，𝐸在𝐴𝐵上（不包括端点）.桥墩𝐸𝐹每米造价𝑘（万元），桥墩𝐶𝐷每米造价32𝑘（万元）(𝑘0)，问𝑂′𝐸为多少米时，桥墩𝐶𝐷与𝐸𝐹的总造价最低？18.在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，已知椭圆𝐸:𝑥24+𝑦23=1的左、右焦点分别为𝐹1，𝐹2，点𝐴在椭圆𝐸上且在第一象限内，𝐴𝐹2⊥𝐹1𝐹2，直线𝐴𝐹1与椭圆𝐸相交于另一点𝐵．(1)求△𝐴𝐹1𝐹2的周长；试卷第4页，总23页(2)在𝑥轴上任取一点𝑃，直线𝐴𝑃与椭圆𝐸的右准线相交于点𝑄，求𝑂𝑃→⋅𝑄𝑃→的最小值；(3)设点𝑀在椭圆𝐸上，记△𝑂𝐴𝐵与△𝑀𝐴𝐵的面积分别为𝑆1，𝑆2，若𝑆2=3𝑆1，求点𝑀的坐标．19.已知关于𝑥的函数𝑦=𝑓(𝑥)，𝑦=𝑔(𝑥)与ℎ(𝑥)=𝑘𝑥+𝑏(𝑘,𝑏∈𝐑)在区间𝐷上恒有𝑓(𝑥)≥ℎ(𝑥)≥𝑔(𝑥).(1)若𝑓(𝑥)=𝑥2+2𝑥，𝑔(𝑥)=−𝑥2+2𝑥，𝐷=(−∞,+∞)，求ℎ(𝑥)的表达式；(2)若𝑓(𝑥)=𝑥2−𝑥+1，𝑔(𝑥)=𝑘ln𝑥，ℎ(𝑥)=𝑘𝑥−𝑘，𝐷=(0,+∞)，求𝑘的取值范围；(3)若𝑓(𝑥)=𝑥4−2𝑥2，𝑔(𝑥)=4𝑥2−8，ℎ(𝑥)=4(𝑡3−𝑡)𝑥−3𝑡4+2𝑡2(0|𝑡|≤√2)，𝐷=[𝑚,𝑛]⊂[−√2,√2]，求证：𝑛−𝑚≤√7.20.已知数列{𝑎𝑛}(𝑛∈N∗)的首项𝑎1=1，前𝑛项和为𝑆𝑛.设𝜆和𝑘为常数，若对一切正整数𝑛，均有𝑆𝑛+11𝑘−𝑆𝑛1𝑘=𝜆𝑎𝑛+11𝑘成立，则称此数列为“𝜆−𝑘”数列.(1)若等差数列是“𝜆−1”数列，求𝜆的值；(2)若数列{𝑎𝑛}是“√33−2”数列，且𝑎𝑛0，求数列{𝑎𝑛}的通项公式；(3)对于给定的𝜆，是否存在三个不同的数列{𝑎𝑛}为“𝜆−3”数列，且𝑎𝑛≥0？若存在，求出𝜆的取值范围；若不存在，说明理由.试卷第5页，总23页参考答案与试题解析2020年江苏省高考数学试卷一、填空题1.【答案】{0,2}【考点】交集及其运算【解析】集合论中，设𝐴，𝐵是两个集合，由所有属于集合𝐴且属于集合𝐵的元素组成的集合，叫做集合𝐴与集合𝐵的交集，记作𝐴∩𝐵．【解答】解：集合𝐵={0,2,3}，𝐴={−1,0,1,2}，则𝐴∩𝐵={0,2}.故答案为：{0,2}.【点评】此题暂无点评2.【答案】3【考点】复数代数形式的混合运算复数的基本概念【解析】此题暂无解析【解答】解：𝑧=(1+𝑖)(2−𝑖)=3+𝑖，则实部为3.故答案为：3.【点评】此题暂无点评3.【答案】2【考点】众数、中位数、平均数【解析】此题暂无解析【解答】解：由4+2𝑎+(3−𝑎)+5+65=4，可知𝑎=2.故答案为：2.试卷第6页，总23页【点评】此题暂无点评4.【答案】19【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】此题暂无解析【解答】解：总事件数为6×6=36，满足条件的事件为(1, 4)，(2, 3)，(3, 2)，(4, 1)为共4种，则点数和为5的概率为436=19.故答案为：19.【点评】此题暂无点评5.【答案】−3【考点】程序框图【解析】此题暂无解析【解答】解：由题可知当𝑦=−2时，当𝑥0时，𝑦=2𝑥=−2，无解；当𝑥0时，𝑦=𝑥+1=−2，解得：𝑥=−3.故答案为：−3.【点评】此题暂无点评6.【答案】32【考点】双曲线的渐近线双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】解：由𝑥2𝑎2−𝑦25=1得渐近线方程为𝑦=±√5𝑎𝑥.∵𝑎0，试卷第7页，总23页∴𝑎=2，∴𝑐2=𝑎2+5=9，∴𝑐=3，∴离心率𝑒=𝑐𝑎=32.故答案为：32.【点评】此题暂无点评7.【答案】−4【考点】函数奇偶性的性质函数的求值【解析】此题暂无解析【解答】解：𝑦=𝑓(𝑥)是奇函数，当𝑥≥0时，𝑓(𝑥)=𝑥23，则𝑓(−8)=−𝑓(8)=−823=−4.故答案为：−4.【点评】此题暂无点评8.【答案】13【考点】二倍角的余弦公式运用诱导公式化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：因为sin2(𝜋4+𝛼)=23，由sin2(𝜋4+𝛼)=12[1−cos(𝜋2+2𝛼)]=12(1+sin2𝛼)=23，解得sin2𝛼=13.故答案为：13.【点评】试卷第8页，总23页此题暂无点评9.【答案】12√3−𝜋2【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】解：记此六角螺帽毛坯的体积为𝑉，正六棱柱的体积为𝑉1，内孔的体积为𝑉2，则𝑉1=6×12×2×2×sin60∘×2=12√3，𝑉2=𝜋×(0.5)2×2=𝜋2，所以𝑉=𝑉1−𝑉2=12√3−𝜋2.故答案为：12√3−𝜋2.【点评】此题暂无点评10.【答案】𝑥=−5𝜋24【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换正弦函数的对称性【解析】此题暂无解析【解答】解：因为𝑓(𝑥)=3sin(2𝑥+𝜋4)，将函数𝑓(𝑥)=3sin(2𝑥+𝜋4)的图象向右平移𝜋6个单位长度得：𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥−𝜋6)=3sin(2𝑥−𝜋3+𝜋4)=3sin(2𝑥−𝜋12)，则𝑦=𝑔(𝑥)的对称轴为2𝑥−𝜋12=𝜋2+𝑘𝜋,𝑘∈𝐙，即𝑥=7𝜋24+𝑘𝜋2,𝑘∈𝐙.当𝑘=0时，𝑥=7𝜋24，当𝑘=−1时，𝑥=−5𝜋24，所以平移后的图象中与𝑦轴最近的对称轴的方程是𝑥=−5𝜋24.试卷第9页，总23页故答案为：𝑥=−5𝜋24.【点评】此题暂无点评11.【答案】4【考点】等差数列与等比数列的综合数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】解：因为{𝑎𝑛+𝑏𝑛}的前𝑛项和为：𝑆𝑛=𝑛2−𝑛+2𝑛−1(𝑛∈N∗)，当𝑛=1时，𝑎1+𝑏1=1，当𝑛≥2时，𝑎𝑛+𝑏𝑛=𝑆𝑛−𝑆𝑛−1=2𝑛−2+2𝑛−1，所以当𝑛≥2时，𝑎𝑛=2(𝑛−1)，𝑏𝑛=2𝑛−1，且当𝑛=1时，𝑎1+𝑏1=0+1=1成立，则𝑑=𝑎2−𝑎1=2−0=2，𝑞=𝑏2𝑏1=21=2，则𝑑+𝑞=4.故答案为：4.【点评】此题暂无点评12.【答案】45【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：4=(5𝑥2+𝑦2)⋅4𝑦2≤[(5𝑥2+𝑦2)+4𝑦22]2=254(𝑥2+𝑦2)2，故𝑥2+𝑦2≥45，当且仅当5𝑥2+𝑦2=4𝑦2=2，即𝑥2=310，𝑦2=12时取(𝑥2+𝑦2)min=45.故答案为：45.试卷第10页，总23页【点评】此题暂无点评13.【答案】185【考点】二倍角的正弦公式正弦定理向量的共线定理【解析】此题暂无解析【解答】解：由向量系数𝑚+(32−𝑚)=32为常数，结合等和线性质可知|𝑃𝐴→||𝑃𝐷→|=321，故𝑃𝐷=23𝑃𝐴=6，𝐴𝐷=𝑃𝐴−𝑃𝐷=3=𝐴𝐶，故∠𝐶=∠𝐶𝐷𝐴，故∠𝐶𝐴𝐷=𝜋−2𝐶.在△𝐴𝐵𝐶中，cos𝐶=𝐴𝐶𝐵𝐶=35.在△𝐴𝐷𝐶，由正弦定理𝐶𝐷sin∠𝐶𝐴𝐷=𝐴𝐷sin𝐶，即𝐶𝐷=sin(𝜋−2𝐶)sin𝐶⋅𝐴𝐷=sin2𝐶sin𝐶⋅𝐴𝐷=2𝐴𝐷cos𝐶=2×35×3=185.故答案为：185.【点评】此题暂无点评14.【答案】10√5【考点】与圆有关的最值问题利用导数研究函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，作𝑃𝐶所在直径𝐸𝐹，交𝐴𝐵于点𝐷，试卷第11页，总23页∵𝑃𝐴=𝑃𝐵，𝐶𝐴=𝐶𝐵=𝑅=6，∴𝑃𝐶⊥𝐴𝐵.∵𝐸𝐹为直径，要使面积𝑆△𝑃𝐴𝐵最大，则𝑃，𝐷位于C点两侧，并设𝐶𝐷=𝑥，计算可知𝑃𝐶=1，故𝑃𝐷=1+𝑥, 𝐴𝐵=2𝐵𝐷=2√36−𝑥2，故𝑆△𝑃𝐴𝐵=12𝐴𝐵⋅𝑃𝐷=(1+𝑥)⋅√36−𝑥2.令𝑥=6