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第1页(共22页)2015-2016学年江西省新余市高三(上)期末数学试卷(理科)一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x|2x>1},B={x|x<1},则A∩B=()A.{x|x>1}B.{x|x>0}C.{x|0<x<1}D.{x|x<1}2.设i是虚数单位,是复数z的共轭复数.若复数z满足(2﹣5i)=29,则z=()A.2﹣5iB.2+5iC.﹣2﹣5iD.﹣2+5i3.已知命题p:“存在x0∈[1,+∞),使得(log23)≥1”,则下列说法正确的是()A.p是假命题;¬p“任意x∈[1,+∞),都有(log23)x<1”B.p是真命题;¬p“不存在x0∈[1,+∞),使得(log23)<1”C.p是真命题;¬p“任意x∈[1,+∞),都有(log23)x<1”D.p是假命题;¬p“任意x∈(﹣∞,1),都有(log23)x<1”4.设随机变量ξ~N(μ,σ2),且P(ξ<﹣1)=P(ξ>2)=0.3,则P(ξ<2μ+1)=()A.0.4B.0.5C.0.6D.0.75.已知三棱锥的主视图与俯视图如图,俯视图是边长是2的正三角形,那么该三棱锥的左视图可能为()A.B.C.D.6.如图给出的是计算+++…+的值的一个程序框图,则判断框内可填入的条件是()A.i≤1006B.i≤1007C.i>1007D.i>1006第2页(共22页)7.已知x,y满足,且z=2x+y最大值是最小值的2倍,则a的值是()A.2B.C.D.8.函数f(x)=sin(ωx+φ)(其中|φ|<)的图象如图所示,为了得到y=sinωx的图象,只需把y=f(x)的图象上所有点()A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度9.已知向量,是单位向量,若=0,且|﹣|+|﹣2|=,则|+|的取值范围是()A.[,5]B.[,]C.[,]D.[,]10.已知点A、B、C、D在同一球面上,AB=3,BC=4,AC=5,若四面体ABCD体积的最大值为10,则这个球的表面积为()A.B.C.D.11.设双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P是以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的一个交点,连接PF2并延长,与双曲线交于点Q,若|PF1|=|QF2|,则直线PF2的斜率为()A.﹣2B.﹣3C.﹣1D.﹣12.已知函数f(x)=x﹣lnx+k,在区间[,e]上任取三个数a,b,c,均存在以f(a),f(b),f(c)为边长的三角形,则k的取值范围是()A.(﹣1,+∞)B.(﹣∞,﹣1)C.(﹣∞,e﹣3)D.(e﹣3,+∞)二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.设X是离散型随机变量,其分布列为其中a≠0,b≠0,则+的最小值为X012Pab第3页(共22页)14.若函数f(x)=的图象关于y轴对称,则a的值为.15.已知(1﹣x﹣2y)5的展开式中不含x项的系数的和为m,则xmdx=.16.已知等差数列{an}中,a16=,若函数f(x)=sin2x﹣2cos2,cn=f(an),则数列{cn}的前31的和为.三、解答题(共5小题,满分60分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)17.如图,在四边形ABCD中,AB=4,BC=,CD=,∠A=,cos∠ADB=.(1)求BD得长;(2)求∠ABC+∠ADC的值.18.某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量(单位:箱)的数据中分别随机抽取100个,并按[0,10],(10,20],(20,30],(30,40],(40,50]分组,得到频率分布直方图如图:假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立.(Ⅰ)写出频率分布直方图(甲)中的a的值;记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量(单位:箱)的方差分别为,,试比较与的大小;(只需写出结论)(Ⅱ)估计在未来的某一天里,甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率;(Ⅲ)设X表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数,以日销售量落入各组的频率作为概率,求X的数学期望.第4页(共22页)19.如图,四棱锥P﹣ABCD中,平面PAC⊥底面ABCD,BC=CD=AC=2,(1)证明:AP⊥BD.(2)若AP=,且三棱锥B﹣APC的体积为2时,求二面角A﹣BP﹣C的余弦值.20.设抛物线C1:y2=4x的准线与x轴交于点F1,焦点为F2,椭圆C2以F1,F2为焦点且椭圆C2上的点到F1的距离的最大值为3.(1)求椭圆的标准方程;(2)直线l经过椭圆C2的右焦点F2,与抛物线C1交于A1、A2两点,与椭圆C2交于B1、B2两点,当以B1B2为直径的圆经过F1时,求|A1A2|的长;(3)若M是椭圆上的动点,以M为圆心,MF2为半径作⊙M是否存在定圆⊙N,使得⊙M与⊙N恒相切,若存在,求出⊙N的方程;若不存在,请说明理由.21.已知函数f(x)=ex﹣kx(x∈R)(Ⅰ)若k=e,试确定函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若k>0且对任意x∈R,f(|x|)>0恒成立,试确定实数k的取值范围;(Ⅲ)设函数F(x)=f(x)+f(﹣x),求证:F(1)•F(2)…F(n)>(en+1)+2)(n∈N*).选做题(请从22,23,24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分)[选修4-1:几何证明选讲](共1小题,满分10分)22.选修4﹣1:几何证明选讲如图,已知C点在⊙O直径的延长线上,CA切⊙O于A点,DC是∠ACB的平分线,交AE于F点,交AB于D点.第5页(共22页)(1)求∠ADF的度数;(2)若AB=AC,求AC:BC.[选修4-4:坐标系与参数方程]23.在极坐标系中,已知圆C的圆心C(,),半径r=.(Ⅰ)求圆C的极坐标方程;(Ⅱ)若α∈[0,),直线l的参数方程为(t为参数),直线l交圆C于A、B两点,求弦长|AB|的取值范围.[选修4-5:不等式选讲]24.设函数f(x)=|2x+1|,x∈R(1)求不等式|f(x)﹣2|≤5的解集;(2)若g(x)=的定义域为R,求实数m的取值范围.第6页(共22页)2015-2016学年江西省新余市高三(上)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x|2x>1},B={x|x<1},则A∩B=()A.{x|x>1}B.{x|x>0}C.{x|0<x<1}D.{x|x<1}【考点】交集及其运算.【分析】解指数不等式可以求出集合A,进而根据集合交集及其运算,求出A∩B.【解答】解:∵集合B={x|2x>1}=(0,+∞),又B={x|x<1},故A∩B={x|0<x<1}故选C.2.设i是虚数单位,是复数z的共轭复数.若复数z满足(2﹣5i)=29,则z=()A.2﹣5iB.2+5iC.﹣2﹣5iD.﹣2+5i【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】把已知的等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【解答】解:由(2﹣5i)=29,得=2+5i.∴.故选:A.3.已知命题p:“存在x0∈[1,+∞),使得(log23)≥1”,则下列说法正确的是()A.p是假命题;¬p“任意x∈[1,+∞),都有(log23)x<1”B.p是真命题;¬p“不存在x0∈[1,+∞),使得(log23)<1”C.p是真命题;¬p“任意x∈[1,+∞),都有(log23)x<1”D.p是假命题;¬p“任意x∈(﹣∞,1),都有(log23)x<1”【考点】特称命题;命题的否定.【分析】先根据指数函数的性质即可判断命题p的真假,再根据命题的否定即可得到结论.【解答】解:命题p:“存在x0∈[1,+∞),使得(log23)≥1”,因为log23>1,所以(log23)≥1成立,故命题p为真命题,则¬p“任意x∈[1,+∞),都有(log23)x<1”故选:C第7页(共22页)4.设随机变量ξ~N(μ,σ2),且P(ξ<﹣1)=P(ξ>2)=0.3,则P(ξ<2μ+1)=()A.0.4B.0.5C.0.6D.0.7【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.【分析】随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),且P(ξ<﹣1)=P(ξ>2)=0.3,到曲线关于x=0.5对称,利用P(ξ>2)=0.3,根据概率的性质得到结果.【解答】解:∵随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),且P(ξ<﹣1)=P(ξ>2)=0.3,∴曲线关于x=0.5对称,∵P(ξ>2)=0.3,∴P(ξ<2μ+1)=P(ξ<2)=0.7,故选:D.5.已知三棱锥的主视图与俯视图如图,俯视图是边长是2的正三角形,那么该三棱锥的左视图可能为()A.B.C.D.【考点】简单空间图形的三视图.【分析】由已知中三棱锥的主视图与俯视图,画出三棱锥的直观图,进而可判断出该三棱锥的左视图.【解答】解:由已知中三棱锥的主视图与俯视图,可得三棱锥的直观图如下图所示:其顶点P在B的正上方,则该三棱锥的左视图为一个两直角边分别为和2的直角三角形,故选:B第8页(共22页)6.如图给出的是计算+++…+的值的一个程序框图,则判断框内可填入的条件是()A.i≤1006B.i≤1007C.i>1007D.i>1006【考点】循环结构.【分析】由题意是判断框中的条件满足,所以框图依次执行循环,框图执行第一次循环后,S的值为,执行第二次循环后,s的值为+,满足+++…+,框图应执行1007次循环,i的值为1008,判断框中的条件应该不满足,算法结束,由此得出判断框中的条件.【解答】解:执行程序框图,有s=0,第1次循环:i=1,s=,第2次循环:i=2,s=+,第3次循环:i=3,s=++,…第1007次循环:i=1007,s=+++…+,i=1008,不满足条件,退出循环,输出s的值,所以i≤1007或i<1008.故选:B.7.已知x,y满足,且z=2x+y最大值是最小值的2倍,则a的值是()A.2B.C.D.【考点】简单线性规划.第9页(共22页)【分析】作出可行域,变形目标函数,平移直线y=﹣2x可得最值,进而可得a的方程,解方程可得a值.【解答】解:作出所对应的可行域(如图△ABC),变形z=2x+y可得y=﹣2x+z,平移直线y=﹣2x可知,当直线经过点A(a,a)时直线截距最小,z取最小值3a;当直线经过点B(1,1)时直线截距最大,z取最大值3,由题意可得3=2×3a,解得a=,故选:D.8.函数f(x)=sin(ωx+φ)(其中|φ|<)的图象如图所示,为了得到y=sinωx的图象,只需把y=f(x)的图象上所有点()A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.【分析】根据周期求出ω,再由五点法作图求出∅,从而得到函数f(x)=sin2(x+),故把y=f(x)的图象向右平移个单位长度可得y=sinωx的图象,从而得出结论.【解答】解:由题意可得×=﹣=,∴ω=2.第10页(共22页)再由五点法作图可得2×+∅=π,∴∅=,故函数f(x)=sin(ωx+ϕ)=sin(2x+)=sin2(x+).故把y=f(x)的图象向右平移个单位长度可得y=sinωx的图象,故选A.9.已知向量,是单位向量,若=0,且|﹣|+|﹣2|=,则|+|的取值范围是()A.[,5]B.[,]C.[,]D.[,]【考点】平面向量数量积的运算.【分析】向量,是单位向量,=0,取=(1,0),=(0,1).设=(x,y)=,根据|﹣|+|﹣2|=,可得+=,设A(1,0),B(0,2).则|AB|=,可得点P在线段AB上.可得y=2﹣2x(0≤x≤1).代入|+|===f(x),利用二次函数的单调性即可得出.【解答】解:∵向量,是单位向量,=0,取=(1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