陕西省汉中市2016届高三(上)期末数学试卷(理)含答案解析

第1页（共20页）2015-2016学年陕西省汉中市高三（上）期末数学试卷（理科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z1=1+i，z2=3﹣2i，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A．58B．88C．143D．1763．两向量，则在方向上的投影为（）A．（﹣1，﹣15）B．（﹣20，36）C．D．4．已知命题p：0＜a＜4，命题q：函数y=ax2﹣ax+1的值恒为正，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．函数y=esinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B．C．D．6．已知某名校高三学生有2000名，在某次模拟考试中数学成绩ζ服从正态分布N，已知P=0.45，若年段按分层抽样的方式从中抽出100份试卷进行分析研究，则应从140分以上的试卷中抽（）A．4份B．5份C．8份D．10份7．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A．πB．6πC．πD．π第2页（共20页）8．若椭圆和双曲线C：2x2﹣2y2=1有相同的焦点，且该椭圆经过点，则椭圆的方程为（）A．B．C．D．9．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为得到g（x）=cosωx的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度10．设a=dx，则二项式（x2﹣）5的展开式中x的系数为（）A．40B．﹣40C．80D．﹣8011．若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为（）A．3B．2C．2D．312．设函数f（x）=（其中a∈R）的值域为S，若[1，+∞）⊆S，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．[1，]∪（，2]C．（﹣∞，）∪[1，2]D．（，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为．14．点M到F（4，0）距离比它到直线x+6=0距离小2，则M的轨迹方程为．15．设等比数列{an}的公比为q，若Sn，Sn﹣1，Sn+1成等差数列，则=．16．某工厂接到一任务，需加工6000个P型零件和2000个Q型零件．这个厂有214名工人，他们每一个人用以加工5个P型零件的时间可以加工3个Q型零件，将这些工人分成两组同时工作，每组加工一种型号的零件．为了在最短时间内完成这批任务，则加工P型零件的人数为人．第3页（共20页）三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=2cosxsin（x+）．（I）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=1，sinB=2sinA，且△ABC的面积为2，求c的值．18．如图在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，BC=，AB=CC1=2，∠BCC1=，点E在棱BB1上．（1）求C1B的长，并证明C1B⊥平面ABC；（2）若BE=λBB1，试确定λ的值，使得二面角A﹣C1E﹣C的余弦值为．19．为弘扬民族古典文化，市电视台举行古诗词知识竞赛，某轮比赛由节目主持人随机从题库中抽取题目让选手抢答，回答正确将给该选手记正10分，否则记负10分．根据以往统计，某参赛选手能答对每一个问题的概率均为；现记“该选手在回答完n个问题后的总得分为Sn”．（1）求S6=20且Si≥0（i=1，2，3）的概率；（2）记X=|S5|，求X的分布列，并计算数学期望E（X）．20．已知直线l：，圆O：x2+y2=5，椭圆E：（a＞b＞0）的离心率，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等．（1）求椭圆E的方程；（2）过圆O上任意一点作两条直线与椭圆E分别只有唯一一个公共点，求证：这两直线斜率之积为定值．21．已知函数f（x）=ax3+2x﹣a，（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若a=n且n∈N*，设xn是函数fn（x）=nx3+2x﹣n的零点．（i）证明：n≥2时存在唯一xn且；（ii）若bn=（1﹣xn）（1﹣xn+1），记Sn=b1+b2+…+bn，证明：Sn＜1．第4页（共20页）请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.《选修4-1：几何证明选讲》22．在△ABC中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D．（1）求证：；（2）若AC=3，求AP•AD的值．《选修4-4：坐标系与参数方程》23．在平面直角坐标系xoy中，已知曲线，以平面直角坐标系xoy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（2cosθ﹣sinθ）=6．将曲线C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线C2，试写出直线l的直角坐标方程和曲线C2的参数方程．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．第5页（共20页）2015-2016学年陕西省汉中市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z1=1+i，z2=3﹣2i，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】直接利用复数代数形式的除法运算化简，得到复数对应的点，则答案可求．【解答】解：∵z1=1+i，z2=3﹣2i，∴===﹣i．∴在复平面内对应的点为（，﹣），∴在复平面内对应的点位于第四象限．故选：D．2．在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A．58B．88C．143D．176【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【分析】根据等差数列的定义和性质得a1+a11=a4+a8=16，再由S11=运算求得结果．【解答】解：∵在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，∴a1+a11=a4+a8=16，∴S11==88，故选B．3．两向量，则在方向上的投影为（）A．（﹣1，﹣15）B．（﹣20，36）C．D．【考点】平面向量数量积的运算．第6页（共20页）【分析】利用平面向量的数量积、向量的投影定义即可得出．【解答】解：∵，∴=4×（﹣5）+（﹣3）×（﹣12）=16，==13，∴在方向上的投影为=，故选：C．4．已知命题p：0＜a＜4，命题q：函数y=ax2﹣ax+1的值恒为正，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】对于命题q：当a=0时，函数y=ax2﹣ax+1=1，恒为正，满足条件；当a≠0时，可得，解得a．即可判断出．【解答】解：对于命题q：当a=0时，函数y=ax2﹣ax+1=1，恒为正，满足条件；当a≠0时，可得，解得0＜a＜4．∴p是q的充分不必要条件．故选：A．5．函数y=esinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B．C．D．【考点】抽象函数及其应用．【分析】先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数，从而排除A、D两个选项，再看此函数的最值情况，即可作出正确的判断．【解答】解：由于f（x）=esinx，∴f（﹣x）=esin（﹣x）=e﹣sinx∴f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），故此函数是非奇非偶函数，排除A，D；又当x=时，y=esinx取得最大值，排除B；故选：C．第7页（共20页）6．已知某名校高三学生有2000名，在某次模拟考试中数学成绩ζ服从正态分布N，已知P=0.45，若年段按分层抽样的方式从中抽出100份试卷进行分析研究，则应从140分以上的试卷中抽（）A．4份B．5份C．8份D．10份【考点】分层抽样方法．【分析】根据考试的成绩ξ服从正态分布N．得到考试的成绩ξ关于ξ=120对称，根据P=0.45，得到P（ξ＞140）=0.05，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数．【解答】解：由题意，考试的成绩ξ服从正态分布N．∴考试的成绩ξ关于ξ=120对称，∵P=0.45，∴P=2×0.45=0.9，∴P（ξ＞140）=P（ξ＜100）=（1﹣0.45×2）=0.05，∴该班数学成绩在140分以上的人数为0.05×100=5．故选：B．7．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A．πB．6πC．πD．π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体是由上半部分为半圆锥，下半部分为半圆柱组成的几何体，根据三视图的数据求半圆柱与半圆锥的体积，再相加．【解答】解：由三视图知几何体是由上半部分为半圆锥，下半部分为半圆柱组成的几何体，根据图中数据可知圆柱与圆锥的底面圆半径为2，圆锥的高为2，圆柱的高为1，∴几何体的体积V=V半圆锥+V半圆柱=××π×22×2+×π×22×1=．故选C．8．若椭圆和双曲线C：2x2﹣2y2=1有相同的焦点，且该椭圆经过点，则椭圆的方程为（）第8页（共20页）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】求得双曲线的焦点坐标，可得椭圆的c=1，再由椭圆的定义，运用两点的距离公式计算可得a=2，由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程．【解答】解：双曲线C：2x2﹣2y2=1的焦点为（﹣1，0），（1，0），即有椭圆的c=1，由椭圆的定义可得2a=+=4，解得a=2，b==，即有椭圆的方程为+=1．故选：B．9．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为得到g（x）=cosωx的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数的图象求出函数的周期，然后求出ω，通过函数图象经过的特殊点求出φ，由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可得解．【解答】解：由函数的图象可知函数的周期为：T=4×（﹣）=π，所以ω==2，因为函数的图象经过（，0），所以：sin（2×+φ）=kπ，k∈Z，可解得：φ=kπ﹣，k∈Z由于：|φ|＜，可得：φ=，所以：f（x）=sin（2x+）=cos[﹣（2x+）]=cos2（x﹣），g（x）=cos2x，第9页（共20页）所以，要得到g（x）=cosωx的图象，则只要将f（x）的图象向左平移个单位长度即可．故选：B．10．设a=dx，则二项式（x2﹣）5的展开式中x的系数为（）A．40B．﹣40C．80D．﹣80【考点】二项式系数的性质．【分析】先求出定积分a的值，再利用二项展开式的通项公式，令x的指数等于1，求出r的值，即可计算结果．【解答】解：∵a=dx=lnx=lne2﹣ln1=2﹣0=2，∴（x2﹣）5=（x2﹣）5的展开式的通项公式为：Tr+1=•x2（5﹣r）•=•（﹣2）r•x10﹣3r，令10﹣3r=1，解得r=3，∴（x2﹣）5的展开式中含x项的系数为•（﹣2）3=﹣80．故选：D．11．若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为（）A．3B．2C．2D．3【考点】棱锥的结构特征．【分析】由四棱锥的体积为9可得到底面边长a与高h的关系，作出图形，则球心O在棱锥的高或高的延长线上，分两种情况根据勾股定理列出方程，解出球的半径R的表达式，将问题转化为求R何时取得最小值的问题．【解答】解：设底面边长AB=a，棱锥的高SM=h，∵V棱锥S﹣ABCD=