第二单元测试卷

圆锥曲线单元测试卷时间：120分钟，满分150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的.1.★若抛物线24yx上一点P到焦点F的距离是10，则P点的坐标是（）A．9,6B．9,6C．6,9D．6,92.★★点,Pmn在圆221xy上运动，则点,2Qmnmn运动的轨迹方程是（）A．21(2)yxxB．21(2)xyxC．22212xyxyxD．212xyxyx3.★★★若椭圆221mxny与直线10xy交于,AB两点，过原点与线段AB的中点的直线的斜率为22，则nm的值为（）A．22B．2C．32D．294.★★★双曲线的离心率2e，虚轴长为6，12,FF是它的左右右焦点，若过1F的直线与双曲线交于,AB两点，且22,,AFABBF成等差数列，则AB的长为（）A．83B．6C．43D．235.★★设1k，则关于,xy的方程222211kxyk所表示的是（）A．长轴在y轴上的椭圆B．长轴在x轴上的椭圆C．实轴在y轴上的双曲线D．实轴在x轴上的双曲线6.★★如果方程222xky表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是（）A．0,B．0,2C．1,D．0,17.★★双曲线221916xy的一个焦点到一条渐近线的距离等于（）A．3B．3C．4D．28.★★★椭圆221369xy的弦被点4,2平分，则此弦所在的直线方程是（）A．20xyB．24xyC．2314xyD．28xy9.★★★已知动点,Pxy满足22101234xyxy，则P点的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．两相交直线10.★★★若方程22125xymm表示双曲线，则m的取值范围是（）A．22mB．5mC．225mm或D．全体实数11.★★★过抛物线22(0)ypxp的焦点F作倾斜角为0135的直线，交抛物线于,AB两点，则OAB的面积为（）A．222pB．22pC．2pD．22p12.★★★已知椭圆的一个焦点和对应的准线分别是抛物线22yx的焦点与准线，则椭圆短轴的右端点的轨迹方程是（）A．21(0)2xyxB．22(1)(0)xyxC．211(0)48xyxD．211(0)24xyx二、填空题：本大题共4小题，第小题5分，共20分13.★★★若方程22214xkykk()kR的曲线是椭圆，则k的取值范围是。14.★★★椭圆221123xy的一个焦点为1F，点P在椭圆上，如果线段1PF的中点M在y轴上，则M点的纵坐标是。15.★★若椭圆的两个焦点为11,0F，21,0F，长轴长为10，则椭圆的方程为。16.★★★给出如下四个命题：①方程22210xyx表示的图形是圆；②椭圆椭圆22132xy的离心率53e；③抛物线22xy的准线的方程是18x；④双曲线2214925yx的渐近线方程是57yx。其中所有不正确命题的序号是。三、解答题：本大题6小题，共70分17.★★★（本题满分10分）已知抛物线22ypx，过焦点F的弦的倾斜角为0且与抛物线交于,AB，求弦长AB。18.★★★求证：以抛物线的一条焦点弦为直径的圆必与其准线相切。19.★★★★（本题满分10分）椭圆221164xy的焦点为12,FF，点P为其上的动点，当12FPF为钝角时，求P点的横坐标的取值范围。20.★★★★（本题满分12分）椭圆22221(0)xyabab上有一个动点，若A为长轴的右端点，B为短轴的上端点，求四边形OAPB的面积的最大值及此时的点P的坐标。21.★★★★★（本题满分12分）(本小题满分12分)直线1yax与双曲线2231xy相交于点,AB，问是否存在这样的实数a，使得,AB关于直线2yx对称？如果存在，求出实数a，如果不存在，请说明理由。22.★★★★★(本小题满分14分)已知,AB是椭圆22221(0)xyabab的一条弦，2,1M是AB的中点，以M为焦点，以椭圆的右准线为相应准线的双曲线与直线AB交于4,1N，（1）设双曲线的离心率为e，试将e表示为椭圆的半长轴长的函数；（2）当椭圆的离心率是双曲线的离心率的倒数时，求椭圆的方程；（3）求出椭圆的长轴长的取值范围。答案部分：1．解析：设00,Pxy，则0110x，09x，06y。故选B。2．解析：点,Pmn在圆221xy上，所以221mn，设点Q的坐标为,xy，则2xmnymn，解出,mn代入221mn化简得21(2)xyx。故选B。3．解析：设1122(,),(,)AxyBxy，AB的中点为00,Mxy，1201201yymxxxny，而0022yx，故0022mynx。故选A。4．解析：由双曲线的离心率2e，虚轴长为6，得半实轴长3a，212BFBFa，由22,,AFABBF成等差数列知222ABAFBF。所以4ABa43。故选C。5．解析：化曲线的方程为标准形式，因为1k，故选C。6．解析：方程222xky表示焦点在y轴上的椭圆，所以22k，解得01k。故选D。7．解析：焦点为5,0F，渐近线为43yx，距离22034413d。故选C。8．解析：利用点差法可求出直线的斜率为12k，再用直线的点斜式求出方程即可。选D。9．解析：由22101234xyxy得222212134434xyxy，即点,Pxy到点1,2的距离和到直线340xy的距离之比为12，故选A。10．解析：方程22125xymm表示双曲线，所以250mm，解得225mm或。故选C。11．解析：弦AB的方程2pyx，把它与22(0)ypxp联立得关于y的一元二次方程，注意到124ABOpSyy，用韦达定理可以求得结果。选A。12．解析：抛物线的焦点10,8F，准线为18y，设椭圆短轴的右端点为,Mxy，0x，则中心为'0,Oy，然后由椭圆的离心率e的几何意义和椭圆的定义求解，故选C。13．解析：将原方程变形为：2211412xykkkk，表示椭圆。则41011021412kkkkkkkk，所以2334kk或，所以填2,33,4。14．解析：∵212a，23b，3c，∴点1F的坐标为3,0，设点P的坐标为11(,)xy，M点的坐标为0,y，则由中点坐标公式得311,2yxmy，把31xm代入椭圆方程，得132y，所以点M的纵坐标为34y。15．解析：∵1C，210A，∴5A，∴22224bac，所以椭圆的方程为2212524xy。16．解析：①②④。①表示的图形是一个点1,0；②33e；④渐近线的方程为75yx。17．解析：设AB的方程为cot2pxy代入22ypx，得222cot0ypyp。设1122(,),(,)AxyBxy，则22221cot4cot4ABpp22221cotsinpp。18．解析：证明：设AB为抛物线22(0)ypxp上的任一条焦点弦，C为AB的中点，过,,ABC分别向准线l作垂线，垂足分别为,,MND，由抛物线的定义知,AFAMBFBN，于是2rABAFBF2AMBNCD，∴CDr，又CDl，所以l是以AB为直径的圆的切线。19．解析：设00,Pxy，椭圆的焦点的坐标为123,0F，223,0F，由余弦定理得22212121212cos02PFPFFFFPFPFPF，∴22222000022220000232343022323xyxyxyxy，∴2222200002323430xyxy，又由22001164xy得2200164xy，代入解得0446633x。20．解析：设cos,sinPab，则OPAOPBSSS四边形OAPB1sincos2ab2sin24ab。∴当4时，四边形的面积取得最大值22ab，此时，22,22Pab。21．解析：假设存在实数a满足题意，则直线AB与直线2yx垂直，故12a，又设1122(,),(,)AxyBxy在双曲线上，故221131,xy222231xy，两式相减得：1212121231xxyyxxyy，设00,Mxy是,AB的中点，则12120022xxyyxy，则M在直线2yx上，则002yx，故0000233322xxayy，而12a且32a是不可能的，所以假设不成立。即不存在。22．解析：（1）设1122(,),(,)AxyBxy，则124xx，122yy，∵,AB在椭圆上，∴22112222222211xyabxyab，两式相减得：12121212220xxxxyyyyab，∴2122122ABMNyybkkxxa11124，即222ab，又222abc，∴22bc。∴椭圆的离心率为'22e，设椭圆的右准线为l，过N作'MNl于'N，则由双曲线的定义及题设知22'24224MNeNNa2222a。（2）∵2222ea，∴32a或2a。当32a时，29b，椭圆的方程为221189xy，当2a时，椭圆的方程为22121xy，而此时点2,1M在椭圆外，不可能是椭圆弦的中点，舍去。故所求的椭圆的方程为221189xy。（3）由题设知AB：3yx，椭圆的方程为22220xya，联立222320yxxya得22312180xxa，应有221212180a，即26a，即6a，由（2）知222ea，622aa且。当622a时，2122ea，解得222a，∴622a；当22a时，2122ea解得222a，∴22222a，∴长轴长2a的取值范围是26,4242,442。