福建省莆田一中2008-2009学年第一学期期末高三数学理科

第1页共9页福建省莆田一中2008-2009学年第一学期期末考试卷高三数学(理科)注意事项：非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，否则答案无效参考公式：如果事件A、B互斥，那么P（A∪B）=P（A）+P（B）如果事件A、B相互独立，那么P（AB）=P（A）·P（B）22221211236nnnn第一部分选择题(共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{(,)|0,,},{(,)|0,,}AxyxyxyRBxyxyxyR,则集合AB的元素个数是A.0B.1C.2D.32．已知向量OA和向量OC对应的复数分别为34i和2i，则向量AC对应的复数为A．53iB．15iC．15iD．53i3.函数()sincos()fxxxxR的最小正周期是A.2B.C.2D.34.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍,那么这个椭圆的离心率为A.54B.32C.22D.125.如图1所示的算法流程图中，第3个输出的数是A.1B.32C.2D.526.如果一个几何体的三视图如图2所示(单位长度:cm),则此几何体的表面积是4A.2(80162)cm2B.296cm4C.2(96162)cm主视图左视图4D.2112cm结束N=1A=1输出AN=N+15N开始12AA图1图2俯视图是否第2页共9页7．函数ln1fxx的图像大致是8．某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任正、副班长，其中至少有1名女生当选的概率是A．72B．73C．74D．759.若函数3()3fxxxa有3个不同的零点,则实数a的取值范围是A.2,2B.2,2C.,1D.1,10.如图3所示,面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为(1,2,3,4),iai此四边形内任一点P到第i条边的距离记为(1,2,3,4)ihi，若4312412,()1234iiaaaaSkihk则.类比以上性质，体积为V三棱锥的第i个面的面积记为(1,2,3,4)iSi，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为(1,2,3,4)iHi，若431241,()1234iiSSSSKiH则A.4VKB.3VKC.2VKD.VK第二部分非选择题(共100分)二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分）11.命题“若20,0mxxm则方程有实数根”的逆命题是12.已知数列1,,nnnann为奇数为偶数则1100aa,123499100aaaaaaa2a3a1a4h2h3h4h1P图3xyOD．xyOB．xyOA．xyOC．第3页共9页13．已知,3,2,baba且ba23与ba垂直，则实数的值为.14.不等式组2020220xyxyxy所确定的平面区域记为D,若圆222:Oxyr上的所有点都在区域D内上，则圆O的面积的最大值是15．设奇函数]1,1[)(在xf上是单调函数，且,1)1(f若函数12)(2attxf对所有的]1,1[x都成立，当]1,1[a时，则t的取值范围是三、解答题(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.)16．（本小题满分12分）已知a、b、c分别是△ABC中角A、B、C的对边，且222acbac．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若3ca，求tanA的值．17．（本小题满分14分）如图，正方体1111DCBAABCD的棱长为2，E为AB的中点．(Ⅰ)求证：1BDDAC平面(Ⅱ)求异面直线BD1与CE所成角的余弦值；（Ⅲ）求点B到平面ECA1的距离.18．（本小题满分14分）某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为23()37004510Rxxxx（单位：万元），成本函数为()4605000Cxx（单位：万元），又在经济学中，函数()fx的边际函数()Mfx定义为()(1)()Mfxfxfx。（Ⅰ）求利润函数()Px及边际利润函数()MPx；（提示：利润=产值成本）（Ⅱ）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？（Ⅲ）求边际利润函数()MPx单调递减时x的取值范围，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？19．（本小题满分12分）中央电视台《同一首歌》大型演唱会曾在我市湄洲岛举行，之前甲、乙两人参加1B1CEDCBA1D1A第4页共9页xy大会青年志愿者的选拔．已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题。规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选．（Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布（列表）及数学期望；（Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人入选的概率．20.(本小题满分14分)如图所示，已知曲线2212::2(1)CyxCyxaxa与曲线交于点O、A，直线(01)xtt与曲线1C、2C分别交于点D、B，连结OD，DA，AB.(1)求证:曲边．．四边形ABOD（阴影部分）的面积()Sft的函数表达式为3221()(01)6fttatatt(2)求函数()Sft在区间0,1上的最大值.21．（本小题满分14分）已知曲线C：xye（其中e为自然对数的底数）在点1,Pe处的切线与x轴交于点1Q，过点1Q作x轴的垂线交曲线C于点1P，曲线C在点1P处的切线与x轴交于点2Q，过点2Q作x轴的垂线交曲线C于点2P，……，依次下去得到一系列点1P、2P、……、nP，设点nP的坐标为,nnxy（*nN）．（Ⅰ）分别求nx与ny的表达式；（Ⅱ）设O为坐标原点，求21niiOPX=t4321-1-2-2246DBAOx第5页共9页莆田一中2008-2009学年第一学期期末考试卷高三数学(理)参考答案及评分标准一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)题号12345678910答案BCCBCABDAB二、填空题(本大题共5小题，满分20分)20xxm若方程有实数根则m0;100、5000；23；45；022ttt或或三、解答题(本大题共6小题，共80分)16．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：由余弦定理，得222cos2acbBac＝12(2分)∵0B，∴3B．(4分)（Ⅱ）解法一：将3ca代入222acbac，得7ba．……6分由余弦定理，得22257cos214bcaAbc．……8分∵0A，∴221sin1cos14AA．(10分)∴sin3tancos5AAA．(12分)解法二：将3ca代入222acbac，得7ba．……6分由正弦定理，得sin7sinBA．(8分)∵3B，∴21sin14A．(10分)又7baa，则BA，∴257cos1sin14AA。∴sin3tancos5AAA．(12分)解法三：∵3ca，由正弦定理，得sin3sinCA．……6分∵3B，∴23CABA．∴2sin3sin3AA．……8分∴22sincoscossin3sin33AAA．∴31cossin3sin22AAA……10第6页共9页分∴sin3tancos5AAA．……12分17．（本小题满分14分）解法一：（1）连接BD，由已知有ABCDDD平面1得DDAC1…………………………………1分又由ABCD是正方形，得：BDAC……2分∵DD1与BD相交，∴1BDDAC平面……3分（2）延长DC至G，使CG=EB，,连结BG、D1G，，∴四边形EBGC是平行四边形.∴BG∥EC.∴BGD1就是异面直线BD1与CE所成角…………………………5分在BGD1中，321BD13325221GDBG，…………………6分15155322135122cos1212211BGBDGDBGBDBGD异面直线1BD与CE所成角的余弦值是1515……………………………8分（3）∵CBEAEA1∴51CEEA又∵321CA∴点E到CA1的距离235d，有：62111dCASECA12111AAEBSEBA，…………11分又由EBACECABVV11，设点B到平面ECA1的距离为h，则CBShSEBAECA113131，有26h，36h，所以点B到平面ECA1的距离为36…14分解法二：（1）见解法一…………………………3分（2）以D为原点，DA、DC、1DD为zyx,,轴建立空间直角坐标系，则有B（2，2，0）、1D（0，0，2）、E（2，1，0）、C（0，2，0）、1A（2，0，2）∴1BD（-2，-2，2），CE（2，-1，0）………5EBCG//第7页共9页分15155322,cos111CEBDCEBDCEBD……7分即……余弦值是1515……8分（3）设平面ECA1的法向量为),,(zyxn，有：01nEA，0nCE，…………8分由：EA1（0，1，-2），CE（2，-1，0）…………………………9分可得：0202yxzy，令2y，得)1,2,1(n…………………………11分由EB（0，1，0）有：点B到平面ECA1的距离为3662nnEBh………………14分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）32()()()104532405000PxRxCxxxx,*(,x20)xN且1;2分2MP(x)P(x1)P(x)30x60x3275,*(N,)xx19且1.……………4分（Ⅱ）()()().2Px30x90x324030x12x9(),()0x12Px0x12Px0＇＇当时当时.12()xPx，有最大值.即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大．……………………8分（Ⅲ）())22MPx30x60x3275=30x13305,(……………………11分所以，当x1时，()MPx单调递减，x的取值范围为1,19，且.xN…………12分()MPx是减函数的实际意义：随着产量的增加，每艘船的利润在减少．14分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，甲答对试题数ξ的可能取值为0、1、2、3，则343101(0)30CPC，12643103(1)10CCPC，21643101(2)2CCPC，363101(3)6CPC(4分)ξ0123第8页共9页其分布列如下：甲答对试题数ξ的数学期望：Eξ=5961321210313010．…………6分（Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则P(A)=310361426CCCC=321202060，P(B)=15141205656310381228CCCC．………9分因为事件A、B相互独立，∴甲、乙两人考试均不合格的概率为45115141321BPAPBAP，∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为454445111BAPP．答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544．…………………12分另解：甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为（三种情况两两互斥、A、B相互独立）454415143215143115132BAPBAPBAPP．答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544．20.（本小题满分14分）解：(1)由222(0,0),(,)2yxOAaayxax得