北师大版九年级(上)数学知识点归纳总结

-99-第一章特殊平行四边形第1节菱形的性质与判定一、菱形的性质1、菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。（1）菱形的对边平行且相等。（2）菱形的对角相等，邻角互补。（3）菱形的对角线互相平分。2、菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形不具有的特殊性质。（1）菱形的四条边相等。（2）菱形的对角线互相垂直且每一条对角线平分一组对角。【说明】①菱形是轴对称图形，对角线所在的直线是它的对称轴，所以菱形有两条对称轴。②菱形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心。③菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，所以菱形的面积等于对角线乘积的一半。不仅如此，凡是对角线互相垂直的四边形的面积都可以用两条对角线乘积的一半来计算。④菱形的面积有两种求法，第一种是等于对角线乘积的一半，第二种是底乘以高。⑤菱形中如果有一个角为60°，则较短的对角线将其分成两个全等的等边三角形，从而较短的对角线等于边长，较长的对角线等于边长的3倍。二、菱形的判定1、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。（定义）2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。3、四条边都相等的四边形是菱形。第2节矩形的性质与判定一、矩形的性质1、矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。（1）矩形的对边平行且相等。（2）矩形的对角相等，邻角互补。（3）矩形的对角线互相平分。2、矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形不具有的特殊性质。（1）矩形的四个角都相等，都是直角。（2）矩形的对角线相等。【说明】①矩形是轴对称图形，经过每组对边中点的直线是它的两条对称轴。②矩形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心。③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。④若一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形是直角三角形。⑤矩形的周长等于长与宽的和的2倍，矩形的面积等于长与宽的积。二、矩形的判定1、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。（定义）2、对角线相等的平行四边形是矩形。3、有三个角是直角的四边形是矩形。4、四个角都相等的四边形是矩形。九年级上册-100-第3节正方形的性质与判定一、正方形的性质正方形具有平行四边形、菱形、矩形的所有性质。1、正方形的四条边都相等且对边平行。2、正方形的四个角都相等，都是直角。3、正方形的对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角。【说明】（1）正方形是轴对称图形，经过两组对边中点的直线及两条对角线所在的直线都是它的对称轴，所以正方形有四条对称轴。（2）正方形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心。（3）正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。（4）正方形的对角线互相垂直且相等，所以正方形的面积有两种求法，第一种是等于对角线平方的一半，第二种是边长的平方。二、正方形的判定1、有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。（定义）2、对角线互相垂直平分且相等的平行四边形是正方形。3、有一组邻边相等的矩形是正方形。4、对角线互相垂直的矩形是正方形。5、有一个角是直角的菱形是正方形。6、对角线相等的菱形是正方形。【说明】（1）判定一个四边形为正方形的一般顺序：先证明它是平行四边形；再证明它是菱形（或矩形）；最后证明它是矩形（或菱形）。（2）判定一个四边形是正方形的途径有两种：①先证它是矩形，再证有一组邻边相等或对角线互相垂直。②先证它是菱形，再证有一个角是直角或对角线相等。三、平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的关系1、演变关系2、从属关系-101-第二章一元二次方程第1节认识一元二次方程一、一元二次方程的相关概念1、一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且所含未知数的最高指数是2的整式方程叫做一元二次方程。【说明】一元二次方程必须同时满足三个条件：（1）只含有一个未知数（2）所含未知数的最高次数是2（3）必须是整式方程2、一元二次方程的一般形式我们把ax2＋bx＋c＝0（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，其中ax2、bx、c分别称为二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数。【说明】（1）确定一元二次方程的各项及其系数，应先把一元二次方程化为一般形式。（2）二次项、一次项、常数项及其系数必须带符号。二、从实际问题中抽象出一元二次方程1、方法（步骤）（1）设一个恰当的未知数x（2）根据已知条件，用x表示另一些未知数（3）根据已知条件的相互关系，用x的各个表达式列方程。2、典型例题【例1】根据题意列出方程：已知直角三角形的三边长为连续整数，求它的三边长。解：设三边长分别为x－1，x，x＋1（x＞1），根据题意，得(x－1)2＋x2＝(x＋1)2三、估算一元二次方程的近似解1、方法：列表法首先，利用未知数的取值，根据一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0（a、b、c为常数，a≠0）分别计算ax2＋bx＋c的值，在表中找到使ax2＋bx＋c可能等于0的未知数的大致范围，然后再进一步在这个范围内取值，逐步缩小范围，直到所要求的精确度为止。2、典型例题【例2】为了绿化学校校园，需将草皮移植到操场，若矩形操场的长比宽多14m，操场的面积是3300m2，求绿化后操场的宽的取值范围。（精确到0.1m）解：设绿化后操场的宽为xm，则长为(x＋14)m，由题意得x(x＋14)＝3300，即x2＋14x－3300＝0列表如下：x505152535455x2＋14x－3300－10015132251372495所以x的大致范围是50＜x＜51，且更接近51。列表如下：x50.550.650.750.850.9x2＋14x－3300－42.75－31.24－19.71－8.163.41所以x的大致范围是50.8＜x＜50.9。答：操场的宽的取值范围是50.8m＜x＜50.9m。-102-第2节用配方法解一元二次方程一、直接开平方法根据平方根的意义，对形如(ax＋b)2＝c（a≠0，c≥0）的一元二次方程，两边直接开平方求解的方法，叫做直接开平方法。【说明】对于一元二次方程(ax＋b)2＝c（a≠0）来说：（1）当c＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当c＝0时，方程有两个相等的实数根；（3）当c＜0时，方程没有实数根。二、配方法1、定义通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根的方法称为配方法。2、步骤（1）将要解的一元二次方程化为一般形式。（2）二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数。（3）移项：将常数项移到等号的右边。（4）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化成(x＋m)2＝n的形式。（5）求解：若n≥0时，两边同时开平方便可求出方程的根；若n＜0，原方程无实数根。【说明】①配方法解一元二次方程的理论根据是完全平方公式222)(2bababa。②配方法解一元二次方程是以配方为手段，以直接开平方法为基础。③配方法是在二次项系数为1的前提下进行。3、应用（1）化简二次根式【例1】化简二次根式322解：322＝2221＝22(2)2211＝2(21)＝21（2）因式分解【例2】因式分解x2＋2x－3解：原式＝(x2＋2x＋1)－1－3＝(x＋1)2－4＝[(x＋1)＋2][(x＋1)－2]＝(x＋3)(x－1)（3）求最值【例3】求二次三项式－2x2＋3x－1的最大值。（4）证明【例4】求证：无论x为何实数，代数式x2－4x＋5的值恒大于零。证明：x2－4x＋5＝x2－4x＋22－22＋5＝(x－2)2＋1∵(x－2)2≥0∴(x－2)2＋1＞0∴无论x为何实数，代数式x2－4x＋5的值恒大于零。-103-第3节用公式法解一元二次方程一、一元二次方程的求根公式1、求根公式及其推导过程我们发现用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的。因此，如果能用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，用含有a、b、c的代数式表示方程的解，我们只须把a、b、c代入其中，便可得出一元二次方程的解，这样就会方便简捷得多。一般地，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)来说，因为二次项系数a≠0，所以方2、公式法（1）定义：用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。（2）步骤①把一元二次方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，确定a、b、c的值。②求出b2－4ac的值。③若b2－4ac≥0，把a、b、c的值代入求根公式，得到方程的根；若b2－4ac＜0，则该方程无实数根。二、一元二次方程的根的判别式对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)来说：当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根。当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根。当b2－4ac＜0时，方程没有实数根。由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况可由b2－4ac来判定。我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示。第4节用因式分解法解一元二次方程一、因式分解法1、定义当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们可以分-104-别令每个一次因式等于0，从而求得方程的解，这种解一元二次方程的方法称为因式分解法。2、理论依据如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个为0。（若a·b＝0，则a＝0或b＝0）3、步骤（1）一移：将方程整理为一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)（2）二分：将方程左边因式分解，得到两个一次因式的乘积。（3）三化：令每个一次因式分别为零，得到两个一元一次方程。（4）四解：解所得的两个一元一次方程，得到原方程的两个根。二、灵活选用适当的方法解一元二次方程1、在一元二次方程的四种解法中，优先选取的顺序为：直接开平方法因式分解法公式法配方法2、没有特殊要求，一般不用配方法，因为配方法比较繁琐。3、因式分解法用的最多，因为其比较简单、灵活。4、公式法是解一元二次方程的“万能方法”，只要方程有解，就能用公式法来解。﹡第5节一元二次方程的根与系数的关系我们知道，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时有两个根：x1＝242bbaca，x2＝242bbaca于是两根之和为x1＋x2＝224422bbacbbacaa＝22ba＝ba两根之积为这就是著名的韦达定理，它提示的是一元二次方程根与系数的关系。【说明】（1）如果方程x2＋px＋q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1x2＝q。（2）以x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0。第6节应用一元二次方程1、列方程解应用题的关键找等量关系2、列方程解应用题的步骤（1）审：审题。分析题中已知什么，求什么。明确各数量之间的关系。（2）设：设未知数。一般求什么，就设什么为x（其他未知数也可以）。（3）找：找等量关系。找出能够表示应用题全部题意的一个等量关系。（4）列：列方程。根据所找的等量关系列出方程。（5）解：解方程。解所列方程，求出未知数的值。（6）答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位）。-105-第三章概率的进一步认识第1节用树状图或表格求概率一、用树状图法求概率【例1】小明、小凡和小颖都想去看周末电影，但只有一张电影票。三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去看电影。游戏规则如下：连续抛掷两枚均匀的硬币，如果两枚正面朝上，则小明获胜；如果两枚反面朝上，则小颖获胜；如果一枚正面朝上、一枚反面朝上，小凡获胜。你认为这个游戏公平吗？解：画树状图如下：由树状图可知，总共有4种等可能结果：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）。其中：小明获胜的结果有1种：（正，正），所以P（小明获胜）＝41；小颖获胜的结果有1种：（反，反），所以P（小颖获胜）＝41；小凡获胜的结果有2种：（正，反）（反，正），所以P（小凡获胜）＝24＝12。因此，这个游戏对三人是不公平的。二、用表格法求概率【例2】小刚和小强玩游戏，有两个布袋，一个布袋里装3黄2白共5个小