2018-2019学年河南省信阳市高二上学期期末考试数学试题(理)-解析版

1绝密★启用前河南省信阳市2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题（理)评卷人得分一、单选题1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是无理数【答案】B【解析】【分析】依据特称命题“”的否定为“”.【详解】命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是“任意一个无理数，它的平方不是有理数”，答案为B【点睛】本小题考查了特称命题的否定，注意与否命题区别，属于基础题.2．已知空间向量，，，且，则实数的值为()A．5B．-5C．5或-5D．-10或10【答案】C【解析】【分析】利用空间向量共线定理以及向量模的坐标表示，建立方程组，即可求得z的值.【详解】因为，所以存在，使得，又因为，而，2则，解得或，所以答案为C.【点睛】本小题主要考查空间向量共线定理以及向量模的坐标表示，属于中档题，具体如下：设（），则存在唯一的，使得，即；.3．设，，，且，则下列不等式成立的是()A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】给选取适当的值即可判断A、B、D项不正确，而利用对应函数的单调性即可证明C选项正确.【详解】A选项：令，则，但，不正确；B选项：令，则，但，不正确；C选项：因为在R上为增函数，，所以，正确；D选项：令，则，但，不正确；答案为C.【点睛】本题主要考查大小比较问题，常用的方法有：（1）利用不等式的性质；（2）特殊值法；（3）作差法；（4）作商法；（5）中间值法；（6）单调性法.4．下列抛物线中，原点到其焦点距离最小的是()A．B．C．D．【答案】B3【解析】【分析】先将每一项转化为标准的抛物线方程，然后分别求出值，再对应求出原点到其焦点的距离，最后各项进行比较，即可得出距离最小的选项.【详解】A选项：因为，得，则原点到焦点的距离为；B选项：因为，即，则，得，则原点到焦点的距离为；C选项：因为，得，则原点到焦点的距离为；D选项：因为，得，则原点到焦点的距离为；因为，所以答案为B.【点睛】主要考查抛物线的标准方程以及P值的几何意义，属于基础题.5．设公差不为零的等差数列的前项和为，，若，，成等比数列，则的值为()A．-3B．3C．8D．-24【答案】D【解析】【分析】利用等差数列的通项公式，前项和公式以及等比中项的性质建立关于和的方程组，即可求出和，然后利用前项和公式求出.【详解】设的公差为，因为，成等比数列，所以，而，解得，4所以，答案为D.【点睛】等差（等比）数列基本量求解问题主要的方法：（1）方程组法：根据题目的条件，结合通项公式、求和公式，将问题转化为关于首项和公差（公比）的方程组，然后求解.（2）性质法：灵活运用通项公式、求和公式以及相关性质公式，如等差数列的性质、若，则等，求解数列基本量问题.6．已知点的坐标满足条件点，则的最小值为()A．2B．C．D．1【答案】A【解析】【分析】根据点坐标得到点满足的参数方程，从而得到点所在的直线方程，因此将求最小值问题转化为求可行域上的点到直线的最小距离，然后运用数形结合得到可行域内点B（1，0）到直线距离最小，从而求出的最小值.【详解】因为，则点满足的参数方程为（为参数），消去参数得到普通方程为：，则问题转化为求可行域上的点到直线的最小距离，如图：由图可知当点与B点重合时到直线的距离最小，而B点为（1，0），B到的距离为，所以，答案为A.【点睛】主要考查线性规划问题，同时也考查了参数方程与普通方程的互化。这类型题的关键在5于寻找出目标函数的几何意义，然后利用数形结合的方法寻找出最优解，求出最值，属于中档题.7．设，则“”是“”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】分别解出两个条件“”与“”的范围和，然后判断集合和的关系，即可判断充分条件和必要条件.【详解】因为，解得，设，因为，解得或，令{|或}，因为，所以“”是“”的充分不必要条件，答案为A.【点睛】主要考查充分条件和必要条件的判断以及不等式的求解，属于中档题.而充分条件和必要条件的判断常用的方法有：（1）定义法：分别判断命题“若，则”，“若，则”的真假，即可得到充分条件和必要条件的判断.（2）集合关系法：分别解出两个条件与的范围和，然后根据集合集合和的关系，即可得到充分条件和必要条件的判断.8．已知双曲线的一条渐近线平行于直线，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为()6A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】由渐近线与直线平行可知其斜率相等，可以得到，再由条件“双曲线的一个焦点在直线上”可以求得一个焦点坐标，从而得到c的值，再结合的关系式，即可求出，从而得到双曲线方程.【详解】因为双曲线的渐近线为，其中一条渐近线与直线平行，则有，所以，又因为双曲线的焦点在轴上，而其中一个焦点在直线上，则直线与轴焦点为双曲线焦点，即，又因为，得，则，所以双曲线方程为，答案为B.【点睛】主要考查双曲线方程的求解，同时涉及到渐近线、焦点的应用，以及直线平行的性质运用，属于中档题.圆锥曲线方程的求解，一般都是利用题目的条件，从代数角度或者几何角度建立参数的关系式，从而联立方程组求得曲线方程，一定要注意焦点的位置，避免写错曲线方程.9．一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的（）A．正西方向B．南偏西方向C．南偏西方向D．南偏西方向7【答案】C【解析】【分析】根据题设中的方位角画出，在中利用正弦定理可求出的长，在中利用余弦定理求出的长，利用正弦定理求的大小（即灯塔的方位角）.【详解】如图，在中，，由正弦定理有，.在中，余弦定理有，因，，，由正弦定理有，，故或者.因，故为锐角，所以，故选C.【点睛】与解三角形相关的实际问题中，我们常常碰到方位角、俯角、仰角等，注意它们的差别.另外，把实际问题抽象为解三角形问题时，注意分析三角形的哪些量是已知的，要求的哪些量，这样才能确定用什么定理去解决.10．直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成的角为()A．B．C．D．【答案】D8【解析】【分析】取BC中点E，通过证明四边形MNEB为平行四边形，从而得到BM//NE，将求BM与AN所成的角转化为求或其补角.接着通过设，然后利用AN，AE，BM所在的直角三角形求出其长度，而NE=BM，进而得到AN，AE和NE的长度，再由其满足勾股定理，得到，即BM与AN所成的角为.【详解】如图取BC中点E，连接AE和EN，MN，因为M，N分别为，中点，所以，且，因为，且，所以且，所以四边形为平行四边形，得，则BM与AN所成的角为或其补角，因为该为直三棱柱，则侧棱与地面均垂直，又，，设，则，，，所以.在中，；在中，；在中，，所以；因为，所以，所以BM与AN所成的角为，答案为D.9【点睛】主要考查异面直线所成角的求解问题，主要有两种方法：（1）定义法：利用异面直线所成角的定义，在空间上恰当选取一点，过该点分别作异面直线的平行直线，从而将异面直线所成角转化为平面角，再结合解三角形的相关定理进行求解.（2）向量法：i.建立空间直角坐标系；ii.求出相关点的坐标；iii.分别求出两条异面直线的方向向量；iv.若异面直线所成角为，则利用公式.11．在中，内角，，所对的边分别为，，，且，则取得最大值时，内角的值为()A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】将正弦定理平方处理，即可将恒等式转化为，再代入余弦定理，从而将转化为，再利用辅助角公式即可求出使得式子取最大值的A值.【详解】由，根据正弦定理，，可得，再由，得，所以，所以当时，取得最大值，答案为B.【点睛】本题主要考查正弦定理以及余弦定理的综合运用，运用了函数的思想，通过构造与问题相关的函数，从而讨论最值的情况，属于难题.1012．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，，分别为的内心、重心，当轴时，椭圆的离心率为()A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】结合图像，利用点坐标以及重心性质，得到G点坐标，再由题目条件轴，得到点横坐标，然后两次运用角平分线的相关性质得到的比值，再结合与相似，即可求得点纵坐标，也就是内切圆半径，再利用等面积法建立关于的关系式，从而求得椭圆离心率.【详解】如图，令点在第一象限（由椭圆对称性，其他位置同理），连接，显然点在上，连接并延长交轴于点，连接并延长交轴于点，轴，过点作垂直于轴于点，设点，，则，因为为的重心，所以，因为轴，所以点横坐标也为，，因为为的角平分线，11则有，又因为，所以可得，又由角平分线的性质可得，，而所以得，所以，，所以，即，因为即，解得，所以答案为A.【点睛】本题主要考查离心率求解，关键是利用等面积法建立关于的关系式，同时也考查了重心坐标公式，以及内心的性质应用，属于难题.椭圆离心率求解方法主要有：（1）根据题目条件求出，利用离心率公式直接求解.（2）建立的齐次等式，转化为关于的方程求解，同时注意数形结合.12第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题13．已知空间四边形中，，，，点在上，，点在上，，则等于__________．（用，，表示）【答案】【解析】【分析】利用向量加法和减法的三角形法则，以及向量线性运算的运算律即可用表示【详解】因为所以【点睛】主要考查向量的线性运算法则以及运算律，属于基础题.14．若，点、、三点共线，则的最小值为__________．【答案】11【解析】【分析】由三点共线得，利用其坐标表示，建立的关系式，从而得到，然后13代入式子，即可运用基本不等式求得最小值.【详解】因为，又因为三点共线，所以，所以，而，即，所以化简得，，因为，当且仅当即时，等号成立，故答案为11.【点睛】主要考查了向量共线的坐标表示以及基本不等式的应用，要注意基本不等式的适用条件以及等号成立的条件，属于中档题.15．右图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽米。【答案】：2米【解析】试题分析：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为，将A（2，-2）代入，得m=-2，∴，代入B得，故水面宽为m．考点：抛物线的应用16．已知数列满足，，则_______．【答案】【解析】【分析】14由题意结合数列的递推关系首先求得数列的通项公式，然后分组求和求解数列的前n项和即可.【详解】令，则，由题意可得：，即：，整理可得：，令，则，由题意可得：，且，，故，即，，，，据此可知：.【点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．评卷人得分三、解答题17．设：方程表示椭圆，：对任意实数恒成立，若是真命题，是假命题，求实数的取值范围.【答案】【解析】15【分析】先分别求出命题为真命题时的取值范围，再根据为真命题，为假命题可知一真一假，从而分两种情况求出的取值范围.【详解】若方程表示椭圆，则且∴真则且若对任意实数恒成立当时，恒成立当时，则∴真则∵是真命题，是假命题∴、一真一假若真假，则若假真，则或故实数的取值范围为【点睛】本题考查已知复合命题真假求参数范围问题，同时也考查了椭圆标准方程以及一元二次不等式恒成立问题.1.已知复合命题真假求参数范围问题求解步骤：（1）分别求出每个简单命题为真命题时的参数范围；（2）根据复合命题真假得到其等价条件，然后分类讨论，求出参数范围.2.一元二次不等式恒成立问题：（1）对任意实数恒成立的条件是；（2）对任意实数恒成立的条件是.同时要注意二次项系数含参的情况下，不要遗漏参数为零的情况.18．在中，设，，是内角，，的对边，若.（1）求角；16（2）若为中点，，，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首先可以