高中数学复数参赛教案

第5讲复数[最新考纲]1．理解复数的基本概念．2．理解复数相等的充要条件．3．了解复数的代数表示法及其几何意义．4．会进行复数代数形式的四则运算．5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.知识梳理1．复数的有关概念(1)复数的概念形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(4)复数的模：向量OZ→的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2.2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi――→一一对应复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)――→一一对应平面向量OZ→.3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：z1z2＝a＋bic＋di＝a＋bc－dc＋dc－d＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋di≠0)．(2)复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．辨析感悟1．对复数概念的理解(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．(×)(2)2i比i大．(×)(3)(教材习题改编)复数1－i的实部是1，虚部是－i.(×)2．对复数几何意义的认识(4)原点是实轴与虚轴的交点．(√)(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(√)(6)(2013·福建卷改编)已知复数z的共复轭复数z＝1＋2i，则z在复平面内对应的点位于第三象限．(×)3．对复数四则运算的理解(7)(教材习题改编)1i＝－i.(√)(8)(2013·浙江卷改编)(－1＋i)(2－i)＝－1＋3i.(√)[感悟·提升]1．两点提醒一是在实数范围内无解的方程在复数范围内都有解，且方程的根成对出现，如(1)；二是两个虚数不能比较大小，如(2)．2．两条性质(1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(各式中n∈N)．(2)(1±i)2＝±2i，1＋i1－i＝i，1－i1＋i＝－i.考点一复数的概念【例1】(1)(2013·山东卷)复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数z为()．A．2＋iB．2－iC．5＋iD．5－i(2)(2013·新课标全国Ⅰ卷)若复数z满足(3－4i)z＝|4－3i|，则z的虚部为()．A．－4B．－45C．4D.45解析(1)由(z－3)(2－i)＝5，得z＝52－i＋3＝＋－＋＋3＝＋5＋3＝5＋i，∴z＝5－i.故选D.(2)(3－4i)z＝|4＋3i|＝5.∴z＝53－4i＝3＋4i5，∴z的虚部为45.答案(1)D(2)D规律方法处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．【训练1】(1)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，z是z的共轭复数，则z2＋z2的虚部为()．A．0B．－1C．1D．－2解析(1)ab＝0⇒a＝0或b＝0，这时a＋bi＝a－bi不一定为纯虚数，但如果a＋bi＝a－bi为纯虚数，则有a＝0且b≠0，这时有ab＝0，由此知选B.(2)∵z2＋z2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝0，∴z2＋z2的虚部为0.答案(1)B(2)A考点二复数的几何意义【例2】(1)(2013·湖南卷)复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)复数z＝－2i(i为虚数单位)，则|z|＝()．A．25B.41C．5D.5解析(1)z＝i＋i2＝－1＋i，对应的点为(－1,1)，位于复平面第二象限．(2)∵z＝4－4i－1i＝3－4ii＝－i·i＝4＋3i－1＝－4－3i，∴|z|＝－2＋－2＝5.答案(1)B(2)C规律方法要掌握复数的几何意义就要搞清楚复数、复平面内的点以及向量三者之间的一一对应关系，从而准确理解复数的“数”与“形”的特征．【训练2】(1)(2013·四川卷)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()．A．AB．BC．CD．D(2)(2013·湖北卷)i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________.解析(1)设z＝－a＋bi(a，b∈R＋)，则z的共轭复数z＝－a－bi，它的对应点为(－a，－b)，是第三象限的点，故选B.(2)在复平面内，复数z＝a＋bi与点(a，b)一一对应．∵点(a，b)关于原点对称的点为(－a，－b)，则复数z2＝－2＋3i.答案(1)B(2)－2＋3i考点三复数代数形式的四则运算【例3】(1)已知复数z＝3＋i－32，z是z的共轭复数，则z·z＝________.(2)2＋23＋－－＝________.(3)已知复数z满足iz＋i＝2－i，则z＝________.解析(1)法一|z|＝|3＋i|－32|＝12，z·z＝|z|2＝14.法二z＝3＋i－＋3＝－34＋i4，z·z＝－34＋i4－34－i4＝14.(2)2＋23＋－－＝22＋3－－－＝22＋4i2＝2i(1＋i)4＝2i[(1＋i)2]2＝2i(2i)2＝－42i.(3)由iz＋i＝2－i，得z＝i2－i－i＝＋5－i＝25i－15－i＝－15－35i.答案(1)14(2)－42i(3)－15－35i规律方法在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若z1，z2互为共轭复数，则z1·z2＝|z1|2＝|z2|2，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化．【训练3】(1)(2014·临沂模拟)设z＝1＋i，则2z＋z2等于()．A．1＋iB．－1＋iC．－iD．－1－i(2)(2013·安徽卷)设i是虚数单位，z是复数z的共轭复数，若z·zi＋2＝2z，则z＝()．A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i解析(1)2z＋z2＝21＋i＋(1＋i)2＝－＋－＋2i＝－2＋2i＝1－i＋2i＝1＋i.(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z·zi＋2＝(a＋bi)·(a－bi)·i＋2＝2＋(a2＋b2)i＝2a＋2bi，故2＝2a，a2＋b2＝2b解得a＝1，b＝1即z＝1＋i.答案(1)A(2)A1．复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．2．在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合．3．要记住一些常用的结果，如i，－12＋32i的有关性质等，可简化运算步骤提高运算速度．思想方法12——解决复数问题的实数化思想【典例】(2013·天津卷)已知a，b∈R，i为虚数单位，若(a＋i)·(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________.解析(a＋i)·(1＋i)＝(a－1)＋(a＋1)i＝bi则a－1＝0a＋1＝b解得a＝1，b＝2.所以a＋bi＝1＋2i.答案1＋2i[反思感悟](1)复数相等是一个重要概念，它是复数问题实数化的重要工具，通过复数的代数形式，借助两个复数相等，可以列出方程(组)来求未知数的值．(2)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法．【自主体验】1．(2014·滨州模拟)已知a－2ii＝b＋i(a，b∈R)，则a－b＝()．A．1B．2C．－1D．－32．(2012·湖北卷)若3＋bi1－i＝a＋bi(a，b∈R)，则a＋b＝________.一、选择题3．(2013·北京卷)在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．(2013·广东卷)若复数z满足iz＝2＋4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是()．A．(2,4)B．(2，－4)C．(4，－2)D．(4,2)5．(2014·武汉模拟)设复数z＝(3－4i)(1＋2i)，则复数z的虚部为()．A．－2B．2C．－2iD．2i6．(2013·新课标全国Ⅱ卷)设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝()．A．－1＋iB．－1－iC．1＋iD．1－i7．(2013·陕西卷)设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是()．A．若|z1－z2|＝0，则z1＝z2B．若z1＝z2，则z1＝z2C．若|z1|＝|z2|，则z1·z1＝z2·z2D．若|z1|＝|z2|，则z21＝z22二、填空题8．(2013·江苏卷)设z＝(2－i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为________．9．(2014·郑州模拟)1＋i1－i4＝________.10．(2013·上海卷)设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，则m＝________.三、解答题11．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.12．当实数m为何值时，z＝m2－m－6m＋3＋(m2＋5m＋6)i，(1)为实数；(2)为虚数；(3)为纯虚数；(4)复数z对应的点在复平面内的第二象限．能力提升题组一、选择题13．(2014·陕西师大附中模拟)1－i1＋i2014＝()．A．－iB．iC．－1D．114．方程x2＋6x＋13＝0的一个根是()．A．－3＋2iB．3＋2iC．－2＋3iD．2＋3i二、填空题15．(2014·北京西城模拟)定义运算acbd＝ad－bc.若复数x＝1－i1＋i，y＝4i2xix＋i，则y＝________.三、解答题16.如图，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i，试求：(1)AO→所表示的复数，BC→所表示的复数；(2)对角线CA→所表示的复数；(3)求B点对应的复数．一、选择题17．(2013·湖北卷)在复平面内，复数z＝2i1＋i(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限18．(2013·辽宁卷)复数z＝1i－1的模为()．A.12B.22C.2D．219．(2013·江西卷)已知集合M＝{1,2，zi}，i为虚数单位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z＝()．A．－2iB．2iC．－4iD．4i20．(2014·佛山二模)已知复数z的实部为1，且|z|＝2，则复数z的虚部是()．A．－3B.3iC．±3iD．±321．(2014·青岛一模)某程序框图如图所示，若a＝3，则该程序运行后，输出的x值为()．A．15B．31C．62D．6322．(2014·郑州一模)执行如图所示的程序框图，则输出n的值为()．A．6B．5C．4D．323.(2014·咸阳模拟)某算法的程序框图如图所示，如果输出的结果为5,57，则判断框内应为()．A．k≤6?B．k＞4?C．k＞5?D．k≤5?24．(2014·福州质检)将正奇数1,3,5,7，…排成五列(如下表)，按此表的排列规律，89所在的位置是()．A．第一列B．第二列C．第三列D．第四列25．(2013·长沙模拟)我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为