二次函数综合问题例谈

二次函数综合问题例谈二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延.作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系.这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题.同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础.因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了.学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征.从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法.本文将从这两个方面研究涉及二次函数的一些综合问题.1.代数推理由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形（一般式、顶点式、零点式等），所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质.1.1二次函数的一般式cbxaxy2)0(c中有三个参数cba,,.解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数.例1已知fxaxbx()2，满足1f()12且214f()，求f()2的取值范围.分析：本题中，所给条件并不足以确定参数ba,的值，但应该注意到：所要求的结论不是2f的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以把1f()12和4)1(2f当成两个独立条件，先用1f和1f来表示ba,.解：由baf1，baf1可解得：))1()1((21)),1()1((21ffbffa（*）将以上二式代入fxaxbx()2，并整理得2)1(2122xxfxxfxf,∴1312fff.又∵214f()，2)1(1f,∴1025f.例2设fxaxbxca20，若f01，f11，f－11,试证明：对于任意11x，有fx54.分析：同上题，可以用1,1,0fff来表示cba,,.解：∵cfcbafcbaf0,1,1,∴0)),1()1((21),0211(21fcffbfffa,∴222102121xfxxfxxfxf.∴当01x时，.4545)21(1)1(2212210212122222222222xxxxxxxxxxxxxxfxxfxxfxf当10x时，222102121xfxxfxxfxf222122xxxxx)1(22222xxxxx.4545)21(122xxx综上，问题获证.1.2利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点式.21xxxxay例３设二次函数fxaxbxca20，方程fxx0的两个根xx12,满足0112xxa.当xx01,时，证明xfxx1.分析：在已知方程fxx0两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数xxf的表达式，从而得到函数)(xf的表达式.证明：由题意可知))(()(21xxxxaxxf.axxx1021,∴0))((21xxxxa,∴当xx01,时，xxf)(.又)1)(())(()(211211axaxxxxxxxxxaxxf,,011,0221axaxaxxx且∴1)(xxf,综上可知，所给问题获证.1.3紧扣二次函数的顶点式,44222abacabxay对称轴、最值、判别式显合力例4已知函数xzaxf22)(。（1）将)(xfy的图象向右平移两个单位，得到函数)(xgy，求函数)(xgy的解析式；（2）函数)(xhy与函数)(xgy的图象关于直线1y对称，求函数)(xhy的解析式；（3）设)()(1)(xhxfaxF，已知)(xF的最小值是m且72m，求实数a的取值范围。解：(1);22222xxaxfxg(2)设xhy的图像上一点yxP,，点yxP,关于1y的对称点为yxQ2,，由点Q在xgy的图像上，所以yaxx22222，于是,22222xxay即;22222xxaxh（3）22)14(2411)()(1)(xxaaxhxfaxF.设xt2，则21444)(tataaxF.问题转化为：7221444tataa对0t恒成立.即0147442attaa对0t恒成立.（*）故必有044aa.（否则，若044aa，则关于t的二次函数14744)(2attaatu开口向下，当t充分大时，必有0tu；而当044aa时，显然不能保证（*）成立.），此时，由于二次函数14744)(2attaatu的对称轴0847aat，所以，问题等价于0t，即0144447044aaaaa，解之得：221a.此时，014,044aaa，故21444)(tataaxF在aaat4)14(4取得最小值214442aaam满足条件.2.数形结合二次函数0)(2acbxaxxf的图像为抛物线，具有许多优美的性质，如对称性、单调性、凹凸性等.结合这些图像特征解决有关二次函数的问题，可以化难为易.，形象直观.2.1二次函数的图像关于直线abx2对称，特别关系abxx21也反映了二次函数的一种对称性.例5设二次函数fxaxbxca20，方程fxx0的两个根xx12,满足0112xxa.且函数fx的图像关于直线xx0对称，证明：xx012.解：由题意cxbaxxxf)1(2.由方程fxx0的两个根xx12,满足0112xxa,可得,121021axabx且abxxab212121,∴abaabxxab211212121，即1xab，故xx012.2.2二次函数)(xf的图像具有连续性，且由于二次方程至多有两个实数根.所以存在实数nm,使得nm且0)()(nfmf在区间nm,上，必存在0)(xf的唯一的实数根.例6已知二次函数)0,,(1)(2aRbabxaxxf，设方程xxf)(的两个实数根为1x和2x.（1）如果4221xx，设函数)(xf的对称轴为0xx，求证：10x；（2）如果21x，212xx，求b的取值范围.分析：条件4221xx实际上给出了xxf)(的两个实数根所在的区间，因此可以考虑利用上述图像特征去等价转化.解：设1)1()()(2xbaxxxfxg，则0)(xg的二根为1x和2x.（1）由0a及4221xx，可得0)4(0)2(gg，即034160124baba，即,043224,043233aabaab两式相加得12ab，所以，10x;（2）由aabxx4)1()(2221,可得1)1(122ba.又0121axx，所以21,xx同号.∴21x，212xx等价于1)1(1220221baxx或1)1(1202212baxx,即1)1(120)0(0)2(2bagg或1)1(120)0(0)2(2bagg解之得41b或47b.2.3因为二次函数0)(2acbxaxxf在区间]2,(ab和区间),2[ab上分别单调，所以函数xf在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得；函数)(xf在闭区间上的最大值必在区间端点或顶点处取得.例7已知二次函数fxaxbxc()2，当11x时，有11fx()，求证：当22x时，有77fx().分析：研究)(xf的性质，最好能够得出其解析式，从这个意义上说，应该尽量用已知条件来表达参数cba,,.确定三个参数，只需三个独立条件，本题可以考虑)1(f，)1(f，)0(f，这样做的好处有两个：一是cba,,的表达较为简洁，二是由于01和正好是所给条件的区间端点和中点，这样做能够较好地利用条件来达到控制二次函数范围的目的.要考虑xf在区间7,7上函数值的取值范围，只需考虑其最大值，也即考虑xf在区间端点和顶点处的函数值.解：由题意知：cbafcfcbaf)1(,)0(,)1(，∴)0()),1()1((21)),0(2)1()1((21fcffbfffa，∴fxaxbxc()22221)0(2)1(2)1(xfxxfxxf.由11x时，有11fx()，可得,1)1(f,11f10f.∴7)0(3)1(1303113)2(fffffff,7)0(3)1(3103131)2(fffffff.（1）若2,22ab，则xf在2,2上单调，故当2,2x时，))2(,)2(max()(maxffxf∴此时问题获证.（2）若2,22ab，则当2,2x时，)2,)2(,)2(max()(maxabfffxf又72411214)1()1(2022422ffabfbabcabcabf，∴此时问题获证.综上可知：当22x时，有77fx().