广东吴川市川西中学2006届高三向量与立几专题训练-人教版

广西吴川市川西中学2006届高三向量与立几专题训练一、选择题（每题5分）1、P是△ABC所在平面上一点，若PAPCPCPBPBPA，则P是△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心2、点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OAOCOCOBOBOA，则点O是ABC的（）（A）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交点（C）三条中线的交点（D）三条高的交点3、在以下命题中，不正确的命题个数为（）（1）已知A、B、C、D是空间任意四点，则AB+BC＋CD+DA＝0；（2）︱a︱－︱b︱＝︱a＋b︱是a、b共线的充要条件；（3）若a与b共线，则a与b所在的直线平行；（4）对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若OP=xOA+yOB+OCz(其中Rzyx,,)，则P、A、B、C四点共面。（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个4、已知向量a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2），且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是（）（A）1（B）51（C）53（D）575、已知a、b、c是空间三非零向量，若︱a－b－c︱＝︱a︱＋︱b︱＋︱c︱,则在下列各结论中，正确的结论为（）（A）a、b、c同向（B）a与b同向（C）b、c同向,而a与b反向（D）a与－(b+c)反向6、下列命题中，真命题是（）（A）若直线m、n都平行于，则nm//（B）设l是直二面角，若直线,lm则m（C）若m、n在平面内的射影依次是一个点和一条直线，且nm，则n或//n（D）若直线m、n是异面直线，//m，则n与相交7、设,是两个不重合的平面，m和l是两条不重合的直线，则//的一个充分条件是（）（A）,,ml且//,//ml（B）,,ml且ml//（C）,,ml且ml//（D）,//,//ml且ml//8、有共同底边的等边三角形ABC和BCD所在平面互相垂直，则异面直线AB和CD所成角的余弦值为（）（A）31（B）41（C）43（D）229、菱形ABCD的边长为GFEAa,,,60,0，H分别在AB、BC、CD、DA上，且3aDHDGBFBE，沿EH与FG把菱形的两个锐角对折起来，使A、C两点重合，这时A点到平面EFGH的距离为（）（A）2a（B）22a（C）a23（D）a1310、给出下列命题：○1底面是正多边形的棱锥是正棱锥○2侧棱都相等的棱锥是正棱锥○3侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥○4侧面和底面所成二面角都相等的棱锥是正棱锥其中正确的命题的个数是（）（A）0（B）1（C）2（D）311、长方体三面的面积分别是6,3,2，那么它的外接球的半径是（）（A）26（B）3（C）6（D）22312、甲、乙两地都在北纬450的纬线上，甲地在东经690，乙地在西经210，则甲、乙两地在纬度圈上的劣弧长与它们在地球表面的球面距离之比为()(A)32：4(B)42：3(C)3：2(D)2：313、“平面内不共线的三点到平面的距离相等”是“∥”的………（）（A）充要条件（B）充分不必要条件（C）必要不充分条件（D）既不充分也不必要条件14、已知一个简单多面体的各个面都是三角形，则顶点数V与面数F满足的关系是()A.2V+F=4B.2V－F=4C.2V+F=2D.2V－F=2二、填空题（每题5分）15、已知a＝（5，4），b＝（3，2），则与2a－3b平行的单位向量为________。16、已知平面上三点A、B、C满足AB＝3,BC＝4,CA＝5,则ABCACABCBCAB的值等于__________。17、已知向量(,12),(4,5),(,10)OAkOBOCk，且A、B、C三点共线，则k=18、若非零向量α、β满足|α+β|=|α－β|，则α与β所成角的大小为_____.二、解答题：19、（本大题满分14分）已知a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ）(0αβπ)，（1）求证：a+b与a-b互相垂直；（2）若ka+b与a-kb的大小相等(k∈R且k≠0)，求β－α20、（本大题满分12分）已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，PADAB,90底面ABCD，且PA=AD=DC=21AB=1，M是PB的中点。（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角；（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小。21、（本小题满分12分）如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=a2,点E在PD上，且PE:ED=2:1.（1）证明PA⊥平面ABCD；（2）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小；（3）在棱PC上是否存在一点F，使BF//平面AEC？证明你的结论.22、（本小题满分12分）平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0）、B（0，－2），点C满足其中,OBOAOC、12,且R（1）求点C的轨迹方程；（2）设点C的轨迹与双曲线)0,0(12222babyax交于两点M、N，且以MN为直径的圆过原点，求证：为定值2211ba.DPBACE向量与立几专题训练参考答案一、选择题：1-5：DBCDC6-10：CCBAA11-14：AACC二、填空题：15、525(,)5516、-2517、2318、090三、解答题19、（1）证法一：∵a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ）∴a+b＝（cosα+cosβ，sinα+sinβ）,a-b＝（cosα-cosβ，sinα-sinβ）∴(a+b)·(a-b)=（cosα+cosβ，sinα+sinβ）·（cosα-cosβ，sinα-sinβ）=cos2α-cos2β+sin2α-sin2β=0∴(a+b)⊥(a-b)证法二：∵a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ）∴|a|＝1，|b|＝1∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0∴(a+b)⊥(a-b)证法三：∵a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ）∴|a|＝1，|b|＝1,记OA＝a，OB＝b，则|OA|＝|OB|=1,又α≠β，∴O、A、B三点不共线。由向量加、减法的几何意义，可知以OA、OB为邻边的平行四边形OACB是菱形，其中OC＝a+b，BA＝a-b，由菱形对角线互相垂直，知(a+b)⊥(a-b)（2）解：由已知得|ka+b|与|a-kb|,又∵|ka+b|2＝(kcosα+cosβ)2+(ksinα+sinβ)2=k2+1+2kcos(β－α),|ka+b|2＝(cosα-kcosβ)2+(sinα-ksinβ)2=k2+1-2kcos(β－α),∴2kcos(β－α)=-2kcos(β－α)又∵k≠0∴cos(β－α)＝0∵0αβπ∴0β－απ,∴β－α=2注：本题是以平面向量的知识为平台，考查了三角函数的有关运算，同时也体现了向量垂直问题的多种证明方法，常用的方法有三种，一是根据数量积的定义证明，二是利用数量积的坐标运算来证明，三是利用向量运算的几何意义来证明。20、本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力.满分12分.方案一：（Ⅰ）证明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，∴由三垂线定理得：CD⊥PD.因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，∴CD⊥面PAD.又CD面PCD，∴面PAD⊥面PCD.（Ⅱ）解：过点B作BE//CA，且BE=CA，则∠PBE是AC与PB所成的角.连结AE，可知AC=CB=BE=AE=2，又AB=2，所以四边形ACBE为正方形.由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°在Rt△PEB中BE=2，PB=5，.510cosPBBEPBE.510arccos所成的角为与PBAC（Ⅲ）解：作AN⊥CM，垂足为N，连结BN.在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，∴△AMC≌△BMC,∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角.∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM.在等腰三角形AMC中，AN·MC=ACACCM22)2(，5625223AN.∴AB=2，322cos222BNANABBNANANB故所求的二面角为).32arccos(21、证明：（Ⅰ）因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，所以AB=AD=AC=a，在△PAB中，由PA2+AB2=2a2=PB2知PA⊥AB.同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD…………3分（Ⅱ）解作EG//PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD.知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H，连结EH，则EH⊥AC，∠EHG即为二面角的平面角.又PE:ED=2:1，所以.3360sin,32,31aAGGHaAGaEG从而,33tanGHEG.30……………7分（Ⅲ）当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC，证明如下，证法一取PE的中点M，连结FM，则FM//CE.①由,21EDPEEM知E是MD的中点.连结BM、BD，设BDAC=O，则O为BD的中点.所以BM//OE.②由①、②知，平面BFM//平面AEC.又BF平面BFM，所以BF//平面AEC.证法二因为)(2121DPCDADCPBCBF.2123)(23)(212321ACAEADAEACADADDECDAD所以BF、AE、AC共面.又BF平面ABC，从而BF//平面AEC.22、解答：（1）解：设)2,0()0,1(),(,),,(yxOBOAOCyxC则因为1122yxyx即点C的轨迹方程为x+y=1……4分002)(:11)2(22222222222222abbaaxaxabbyaxyx由题意得得由2222221222212211,2:),,(),,(abbaaxxabaxxyxNyxM则设分为定值即即为直径的圆过原点因为以12211,020)(2212)(1)1)(1(0,0,22222222222222212122212121babaababbaaabaxxxxxxxxyyxxONOMMN