将三角形的周长和面积同时平分的直线

高考预测将三角形的周长和面积同时平分的直线问题已知三角形三边长分别为4，6，8，那么同时平分这个三角形的周长和面积的直线有几条呢？一般地，如图，直线L将ABC的周长和面积都平分，L与边AB,AC分别交于D,E点，设m=AD,n=AE,其内角A为，三角形面积为，半周长为s,则11sinsin22mnsmnsmnmnEDABC说明m,n是关于x的方程20sinxsx的两根，它有实数解的充要条件为22440sin.sinss是否任意一个三角形都存在这样的直线L呢？若存在，最多有几条？关于三角形的面积与半周长s平方的比的上下界,有命题：2234430099ss32。（证明略）因为任意一个三角形的三个内角中至少有一个内角不小于60º，也就是说必有（至少有一个）一个内角使得24sin.s下面我们来分析本文开头的问题：这里，s=9,222468115cos,sin,24644AA315.该问题有解24315415sin.927这里sinB=sin3154151627bAa;sin15415sin;827cACa15415sin.427A(1)若B，则916mnmnm,n是方程29160xx的两根，917917917,0,2.5,6.5,8222x。在边BC,BA上分别取点E，D使BE=917917,22BD,直线DE即为所求。（2）若A，则912mnmnm,n是方程29120xx的两根，933933933,1.5,2,7,7.5222x，说明在线段AC（角A的夹边的较长边）上找不出点F使得9332AF，所以满足条件的解不存在。（3）若C,15415sin827C,无解。综合，满足题设条件的直线L只有一条，即情形（1）所示。