离散型随机变量的分布列、期望、方差复习指导

离散型随机变量的分布列、期望、方差复习指导学习要求：了解随机变量，离散型随机变量的意义，会求简单的离散型随机变量，掌握离散型随机变量的分布列，会求出期望、方差。知识总结：一、离散型随机变量的分布列1.随机变量：如果一个随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，可以按一定次序列出的随机变量叫做离散型随机变量，常用ξ，等希腊字母表示2.离散型随机变量的分布列：若离散型随机变量ξ的一切可能取值为：a1,a2,……,an,……,相应取这些值的概率为：p1，P2，……,Pn,……，则称下表：为离散型随机变量ξ的概率分布列，简称ξ的分布列。离散型随机变量的分布列具有的两个性质：①Pi0(i=1,2,……,n,……)②P1+P2+……+Pn+……=1一种典型的离散型随机变量的分布列：二项分布：设重复独立地进行n次随机试验A，在每一次试验中，P(A)=P(0P1)，ξ为n次试验中A发生的次数，则ξ的分布列为：称ξ服从二项分布，记作ξ～B(n,P)注：是二项展开式[P+(1-P)]n=++……++……+中的第k+1项。P1+P2+……+Pn=++……+=[P+(1-P)]n=1。二、离散型随机变量的期望与方差1．期望：设离散型随机变量ξ的分布列是：ξa1a2……an……pp1p2……pn……称a1p1+a2p2+……+anpn+……为ξ的数学期望，简称期望，记作Eξ。期望的性质：①若=aξ+b(a,b均为常数),则E=aEξ+b。②E(ξ1+ξ2)=Eξ1+Eξ2。③若ξ～B(n,p),则Eξ=np注：期望Eξ是反映随机变量ξ集中趋势的指标，也反映了ξ取值的平均水平。2．方差:设离散型随机变量ξ的分布列是ξa1a2……an……pp1p2……pn……称(a1-Eξ)2p1+(a2-Eξ)2p2+……+(an-Eξ)2pn+……为随机变量ξ的均方差，简称方差，记作Dξ。称为随机变量ξ的标准差，记作。方差的性质：①D(aξ+b)=a2Dξ②若ξ～B(n,p),则Dξ=np(1-p)注：方差与标准差都反映了ξ关于期望的稳定与波动、集中与离散的程度。3.期望与方差的关系：Dξ=E(ξ)2_(Eξ)2例题选讲：例1．设离散型随机变量ξ的分布列为：ξ01234P分别求2ξ+1，|ξ-1|的分布列。解：2ξ+1的分布列为：2ξ+113579P|ξ-1|的分布列为：|ξ-1|0123P注：ξ取不同的值时，y=f(ξ)会取到相同的值，这时要考虑所有使f(ξ)=成立的ξ1，ξ2，……，ξp等值，则p()=p(f(ξ))=p(ξ1)+p(ξ2)+……+p(ξp)例2．某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布。解：由题意，得到的次品数ξ～B(2,5%)。P(ξ=0)=(95%)2=0.9025,P(ξ=1)=(5%)(95%)=0.095P(ξ=2)=(5%)2=0.0025因此，次品数ξ的概率分布为：ξ012P0.90250.0950.0025注：一批产品可以认为数量较大，从中任意地连续取出2件，相当于2次独立重复试验，得到的次品数ξ服从二项分布。例3．设ξ的分布列为p(ξ=k)=,(k=0,1,2,……,10)，求：（1）a；（2）p(ξ≤2)；（3）p(9ξ20)。解：（1）根据分布列的性质：p(ξ=0)+p(ξ=1)+……+p(ξ=10)=1。即a(1+)=1a=。(2)P(ξ≤2)=P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=2)=。(3)P(9ξ20)=p(ξ=10)=。注：分布列可有如下几种表示形式:①表格，②一组等式（ξ的所有取值的概率）,③对②进行简化表示，如本例题给出的形式。例4．一批零件中有九个合格品，三个次品，安装机器时，从这批零件中随机抽取，取出的是废品则不放回，求在第一次取到合格品之前取到废品数ξ的分布列。解：由题意知ξ可取0，1，2，3，则P(ξ=0)=,P(ξ=1)=P(ξ=2)=。P(ξ=3)=。所以ξ的分布列如下：ξ0123P说明：ξ=0表示在取得合格品之前取得0个次品，确切的意义为取得的第一个零件就是合格品。解此类题的一般性原则是：上一次试验若取到一个废品，则下一次试验时，总数和废品数量都应减少一个；当取完全部废品后，下一次试验必取到合格品。例5．设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下：ξ-101P1-2qq2求Eξ、Dξ。解：根据离散型随机变量的分布列的性质，有：，q=1-。所以ξ的分布列为ξ-101P-1∴Eξ=(-1)×+0×(-1)+1×()=1-。Dξ=[-1-(1-)]2×+(1-)2×(-1)+[1-(1-)]2×()=-1。注：求离散型随机变量的期望与方差，首先要明确随机变量的分布列，若分布列中的概率值为待定常数时，应先根据分布列的性质求出这些待定常数，再求其期望与方差。例6．交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有同样大小的球10个，其中有8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得的奖励是所抽2球的钱数之和，求抽奖人获利的数学期望。分析：抽到的2个球上的钱数之和ξ是个随机变量，其每一个ξ取值时所代表的随机事件的概率是容易获得的。本题的目标是求参加摸奖的人获利的数学期望，由ξ与的关系=ξ-5，利用公式E=Eξ-5可求。解：设ξ为抽到的2个球钱数之和，则ξ的可能取值为：ξ=2(2个1元)ξ=6（1个1元和一个5元）ξ=10（2个5元）所以，由题意：P(ξ=2)=。P(ξ=6)=P(ξ=10)=Eξ=。设为可能的获利值，抽奖者获利的期望为：E=Eξ-5=-5=-1.4。注：因为是先交5元才能参加抽奖，因此要计算E。最终E的结果为负，说明摸奖者若重复这种抽奖，平均每摸一次要亏1.4元。同学们可以自己算一下若每次允许摸3个球的情况。例7．甲、乙两名工人加工同一种零件，每人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为ξ，，ξ与的分布列如下：试对这两名工人的技术水平进行比较分析：本题要比较的一是在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值，即期望；二是看出次品数的波动情况，即方差值的大小。解：工人甲生产出次品数ξ的期望与方差为：Eξ=0×+1×+2×=0.7。Dξ=(0-0.7)2×+(1-0.7)2×+(2-0.7)2×=0.891。工人乙生产出次品数的期望和方差为：E=0×+1×+2×=0.7。D=(0-0.7)2×+(1-0.7)2×+(2-0.7)2×=0.664。可以看出，Eξ=E,所以两人出次品的平均数相同，技术水平相当；但DξD，则乙的技术比较稳定。注：期望仅体现了随机变量取值的平均大小，如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的取值如何在均值周围变化，即计算方差，方差大说明随机变量取值较分散，方差小说明取值分散性小或者取值比较集中、稳定。