离散型随机变量分布列复习

耗用子弹数的分布列例某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数的分布列．分析：确定取哪些值以及各值所代表的随机事件概率，分布列即获得．解：本题要求我们给出耗用子弹数的概率分布列．我们知道只有5发子弹，所以的取值只有1，2，3，4，5．当1时，即9.0)1(P；当2时，要求第一次没射中，第二次射中，故09.09.01.0)2(P；同理，3时，要求前两次没有射中，第三次射中，009.09.01.0)3(2P；类似地，0009.09.01.0)4(3P；第5次射击不同，只要前四次射不中，都要射第5发子弹，也不考虑是否射中，所以41.0)5(P，所以耗用子弹数的分布列为：0123P0.90.090.0090.0001说明：搞清5的含义，防止这步出错．5时，可分两种情况：一是前4发都没射中，恰第5发射中，概率为0.14×0.9；二是这5发都没射中，概率为0.15，所以，541.09.01.0)5(P．当然，5还有一种算法：即0001.0)0009.0009.009.09.0(1)5(P．独立重复试验某事件发生偶数次的概率例如果在一次试验中，某事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，这件事A发生偶数次的概率为________．分析：发生事件A的次数pnB,~，所以，),,2,1,0,1(,)(nkpqqpCkpknkkn其中的k取偶数0，2，4，…时，为二项式nqp)(展开式的奇数项的和，由此入手，可获结论．解：由题，因为pnB,~且取不同值时事件互斥，所以，nnnnnnnnnppqpqqpCqpCqpCPPPP)21(121)()(21)4()2()0(44422200．（因为1qp，所以ppq21）说明：如何获得二项展开式中的偶数次的和？这需要抓住npq)(与npq)(展开式的特点：联系与区分，从而达到去除p奇次，留下p偶次的目的．根据分布列求随机变量组合的分布列例已知随机变量的分布列为－2－10123P121123124121122121分别求出随机变量221,21的分布列．解：由于211对于不同的有不同的取值xy21，即2321,121,2121,021,2121,121665544332211xyxyxyxyxyxy，所以1的分布列为1－121021132P12112312412112212122对于的不同取值－2，2及－1，1，2分别取相同的值4与1，即2取4这个值的概率应是取－2与2值的概率121与122合并的结果，2取1这个值的概率就是取－1与1值的概率123与121合并的结果，故2的分布列为20149P124124123121说明：在得到的1或2的分布列中，1或2的取值行中无重复数，概率得中各项必须非负，且各项之和一定等于1．成功咨询人数的分布列例某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为43，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数的分布列．分析：3个人各做一次试验，看成三次独立重复试验，拨通这一电话的人数即为事件的发生次数，故符合二项分布．解：由题：43,3~B，所以3,2,1,0,4143)(33kCkPkkk，分布列为0123P64164964276427说明：关键是理解二项分布的特点：即某同一事件，在n次独立重复实验中，以事件发生的次数为随机变量．盒中球上标数于5关系的概率分布列例盒中装有大小相等的球10个，编号分别为0，1，2，…，9，从中任取1个，观察号码是“小于5”“等于5”“大于5”三类情况之一．规定一个随机变量，并求其概率分布列．分析：要求其概率的分布列可以先求个小球所对应的概率．解：分别用321,,xxx表示题设中的三类情况的结果：1x表示“小于5”的情况，2x表示“等于5”的情况，3x表示“大于5”的情况．设随机变量为，它可能取的值为,,,321xxx取每个值的概率为PxP)(1（取出的球号码小于5）＝105，PxP)(2（取出的球号码等于5）＝101，PxP)(3（取出的球号码大于5）＝104．故的分布列为1x2x3xP2110152小结：分布列是我们进一步解决随机变量有关问题的基础，因此准确写出随机变量的分布列是很重要的，但是我们不能保证它的准确性，这时我们要注意运算的准确性外，还可以利用11niip进行检验．求随机变量的分布列例一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量的分布列．分析：由于任取三个球，就不是任意排列，而要有固定的顺序，其中球上的最大号码只有可能是3，4，5，可以利用组合的方法计算其概率．解：随机变量的取值为3，4，5．当＝3时，即取出的三只球中最大号码为3，则其他二球的编号只能是1，2，故有;101CC)3(3523P当＝4时，即取出的三只球中最大号码为4，则其他二球只能在编号为1，2，3的3球中取2个，故有;103CC)4(3523P当＝5时，即取出的三只球中最大号码为5，则其他二球只能在编号为1，2，3，4的4球中取2个，故有.53106CC)5(3523P因此，的分布列为345P101103106说明：对于随机变量取值较多或无穷多时，应由简单情况先导出一般的通式，从而简化过程．取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列例一批零件中有9个合格品与3个不合格品．安装机器时，从这批零件中任取一个．如果每次取出的不合格品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列．分析：取出不合格品数的可能值是0，1，2，3，从而确定确定随机变量的可能值．解：以表示在取得合格品以前取出的不合格品数，则是一个随机变量，由题设可能取的数值是0，1，2，3．当＝0时，即第一次就取到合格品，其概率为;750.0123)0(P当＝1时，即第一次取得不合格品，不放回，而第二次就取得合格品，其概率为;204.0119123)1(P当＝2时，即第一、二次取得不合格品，不放回，第三次取得合格品，其概率为;041.0119112123)2(P当＝3时，即第一、二、三次均取得不合格品，而第四次取得合格品，其概率为.005.099101112123)3(P所以的分布列为0123P0.7500.2040.0410.005说明：一般分布列的求法分三步：（1）首先确定随机变量的取值哟哪些；（2）求出每种取值下的随机事件的概率；（3）列表对应，即为分布列．关于取球的随机变量的值和概率例袋中有1个红球，2个白球，3个黑球，现从中任取一球观察其颜色．确定这个随机试验中的随机变量，并指出在这个随机试验中随机变量可能取的值及取每个值的概率．分析：随机变量变量是表示随机试验结果的变量，随机变量的可能取值是随机试验的所有可能的结果组成．解：设集合},,{321xxxM，其中1x为“取到的球为红色的球”，2x为“取到的球为白色的球”，3x为“取到的球为黑色的球”．我们规定：)3,2,1()(iixi，即当ixx时，ix)(，这样，我们确定)(x就是一个随机变量，它的自变是量x取值不是一个实数，而是集合M中的一个元素，即Mx，而随机变量本身的取值则为1，2，3三个实数，并且我们很容易求得分别取1，2，3三个值的概率，即.2163)3(,3162)2(,61)1(PPP说明：确定随机变量的取值是根据随机试验的所有可能的结果．