中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题

2005年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题F学校姓名营员证号一．设,,abcR，求证：12224abbccaabcabcbcacab二．在ABC中，,ABAC分别以,ABAC为边，向外作两个三角形：ABD和,ACE使得,ABDACE,BADCAE设CD与AB交于点P，BE与AC交于点Q，求证：APAQ的充要条件是：2ABCABDACESSS三．对任意两个正整数x与y，有唯一的正整数,fxy与之对应，且函数,fxy具有性质：1对任意正整数x与y，,,fxyfyx；2对任意正整数x，,fxxx；3对任意正整数x与y，当yx时，.,,yxfxyyfxyx求证：恰有一个函数,fxy满足上述三个性质，并求出这个函数.四.设012,,,aaa为任意无穷正实数数列，求证：不等式112nnnaa对无穷多个正整数n成立.2005年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题F解答学校姓名营员证号一．设,,abcR，求证：12224abbccaabcabcbcacab证：因为1124ababababcacbcacbc同理1124bcbcbcaabac1124accacababbc所以1122244abbccabccaabcaabbcabcabcbcacababbcca二．在ABC中，,ABAC分别以,ABAC为边，向外作两个三角形：ABD和,ACE使得,ABDACE,BADCAE设CD与AB交于点P，BE与AC交于点Q，求证：APAQ的充要条件是：2ABCABDACESSS证：APAQAPAQABACABACADCABEDBCECBSSABACSS11sinsin22ABCABDABCACEADACDACABAEBAEABACSSSS①由题设条件知ABD∽ACE，故ADABAEAC即AD·ACADACABAE且DACDABBACCAEBACBAE从而①等价于ABCABDABCACEABACSSSS2222()()ABCABDABCACEABACSSSS②记12,,,ABCABDACESSSSSS由于ABD∽ACE，所以2122SABACS从而②等价于122212()()SSSSSS222212221122SSSSSSSSSS2222112212SSSSSSSS21212()0SSSSS因为ABAC，所以12SS，从而212SSS即2ABCABDACEAPAQSSS三．对任意两个正整数x与y，有唯一的正整数,fxy与之对应，且函数,fxy具有性质：1对任意正整数x与y，,,fxyfyx；2对任意正整数x，,fxxx；3对任意正整数x与y，当yx时，.,,yxfxyyfxyx求证：恰有一个函数,fxy满足上述三个性质，并求出这个函数.解：取,fxy为,xy的最小公倍数[,]xy显然,fxy=[,]xy满足性质（1），（2）。下证它也满足（3）若[,],.xyMyx设,bMMaxy则a与b互质，()MMMabyxbaab故()Mabaabx，()Mababyx由,1ab知,1abb故()[,]Mabxyxa从而2(),MMabMyxfxyMbaab2()(),MMababMyfxyxbaab即函数,fxy=[,]xy也满足（3）下证唯一性。用反证法：若有两个函数12(,),,fxyfxy同时满足命题给出的三个性质，则存在正整数,xy，使得12(,),fxyfxy，设其中s,t是使12(,)(,)fstfst，且st取最小值的一对正整数，由性质（2），st,故2st。由性质（1）不妨设st由性质（3）11(),(,)tsfsttfsts22(),(,)tsfsttfsts故12(,),fstsfsts.但()stsst与,st之最小性选择矛盾。四.设012,,,aaa为任意无穷正实数数列，求证：不等式112nnnaa对无穷多个正整数n成立.证：用反证法.假设不等式112nnnaa只对有限多个正整数成立。设这些正整数中最大的一个为M，则对任意的正整数nM，上述不等式均不成立，既有112,nnnaanM也既121,nnnaanM①由贝努利不等式，有1112111,nnnnn（正整数2n）②结合①，②可得,111,nnnaanMn③下面用数学归纳法证明：11(1)()121MMnaaMnMMmn其中n是非负整数④当0n时,④式左边为Ma，右边也为Ma,故④式成立.设当,({0})nkkN时，④式成立，既有11(1)()121MMkaaMkMMmk⑤在③中取1nMk，并利用⑤，可得1211MkMkMkaaMk211(1)()11121MaMkMkMkMMmk11(2)()1121MaMkMMmk11(2)()122MaMkMMmk故④式在1nk时也成立。故④式得证。由于11lim(1)2nn，所以1111lim[(1)(1)]221nnM即111lim()23nMMn固而存在正整数0n，满足0111231MaMMNM⑥在④式中取01nNM，得010011()12MNaaNMMN⑦结合⑥，⑦知010Na，这与010Na矛盾，故命题得证。