03-04年高三数学(理)全国统一标准测试(二)

绝密★启用前03-04年高三数学(理)全国统一标准测试(二)命题范围：第四章平面向量；第五章不等式本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至8页.共150分，考试时间120分钟.参考公式：sinαcosβ=21［sin（α+β）+sin（α－β）］cosαsinβ=21［sin（α+β）－sin（α－β）］cosαcosβ=21［cos（α+β）+cos（α－β）］sinαsinβ=－21［cos（α+β）－cos（α－β）］sinα+sinβ=2sin2cos2sinα－sinβ=2cos2sin2cosα+cosβ=2cos2cos2cosα－cosβ=－2sin2sin2第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.不能答在试题卷上.一、选择题（本大题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.为得到函数y=sinx+cosx的图象，只要将函数y=sinx－cosx按向量a平移，则a等于A.（，0）B.（－，0）C.（4，0）D.（－4，0）2.下列各组命题中，命题M是命题N成立的充要条件的一组命题是A.M：a＞b；N:ac2＞bc2B.M:a＞b，c＞d；N:a－d＞b－cC.M:a＞b＞0，c＞d＞0；N:ac＞bcD.M:|a－b|=|a|+|b|；N:ab≤03.设a，b∈R，现给出下列5个条件：①a+b=2；②a+b＞2；③a2+b2＞2；④ab＞1；⑤logab＜0.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件为A.②③④B.②③④⑤C.①②③⑤D.②⑤4.已知|a|=8，|b|=15，|a+b|=17，则a与b的夹角θ为A.0B.6C.3D.25.设f（x）=（21）x，a，b为正实数，A=f（2ba），G=f（ab），H=f（baab2），K=f（222ba），则A、G、H、K的大小关系是A.H≤G≤A≤KB.A≤K≤H≤GC.A≤K≤G≤HD.K≤A≤G≤H6.若关于x的方程a2x+（1+m1）ax+1=0（a＞0，a≠1）有解，则m的取值范围是A.［－31，0）B.［－31，0）∪（0，1］C.（－∞，－31］D.［1，+∞）7.在区间［－4，－1］上，函数f（x）=－x2+px+q与函数g（x）=x+x4同时取相同最大值，那么函数f（x）在区间［－4，－1］上的最小值为A.－10B.－5C.－8D.－328.在△ABC中，若∠B=60°，则sin2A+sin2C的取值范围是A.（0，23］B.［23,21］C.［23,43］D.（23,43］9.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（－1，3），若点C满足OBOAOC，其中α，β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹方程为A.3x+2y－11=0B.（x－1）2+（y－2）2=5C.2x－y=0D.x+2y－5=010.把长为12厘米的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么，这两个正三角形面积之和的最小值是A.323cm2B.32cm2C.32cm2D.4cm211.已知函数y=f（x）是偶函数，y=g（x）是奇函数，它们的定义域为［－π，π］，且它们在x∈［0，π］上的图象如下图所示，则不等式)()(xgxf＞0的解集为A.（－3，0）∪（3，π）B.（－π，－3）∪（3，π）C.（－4，0）∪（4，π）D.（－π，－3）∪（0，3）12.某大学的信息中心A与大学各部门、各院系B，C，D，E，F，G，H，I之间拟建立信息联网工程，实际测算的费用如图所示（单位：万元），请观察图形，可以不建部分网线，而使得信息中心A与大学各部门、各院系连通（直接或中转），则最少的建网费用是A.12万元B.13万元C.14万元D.16万元第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题；每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上）13.已知M为△ABC边AB上一点，且△AMC的面积是△ABC面积的81，则B分AM所成的比为______.14.某邮局现只有邮票0.6元、0.8元、1.1元的三种面值邮票，现有邮资为7.50元的邮件一件，为使粘贴的邮票张数最少，且资费恰为7.50元，则应购买______张邮票.15.已知三个不等式：①ab＞0；②bdac；③bc＞ad.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成______个正确命题.16.给出下列命题中①（MBAB）+（BCBO）+ACOM；②平行四边形ABCD中，有||||ABBCBABC；③矩形ABCD中，点集M={A，B，C，D}，则集合T={PQ|P，Q∈M，且P，Q不重合}中元素个数为8；④“两个向量方向相反”是这两个向量共线的充分不必要条件.其中正确命题的序号是______.（注：把你认为正确的命题的序号都填上）三、解答题(本大题共6小题;共74分.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.（本小题满分12分）已知|a|=3，|b|=2，a与b的夹角为120°，当k为何值时，（1）ka－b与a－kb垂直；（2）|ka－2b|取得最小值？并求出最小值.18.（本小题满分12分）在△ABC中，a2+b2=c2+ab，且sinAsinB=43，试判定△ABC的形状.19.（本小题满分12分）在△ABC中，三边AB=8，BC=7，AC=3.以点A为圆心，r=1为半径做一个圆，设PQ为圆A的任意一条直径，记T=BP·CQ，求T的最大值和最小值，并说明当T取最大值和最小值时，PQ的位置特征是什么？20.（本小题满分12分）森林失火，火势以每分钟100m2的速度迅速蔓延，消防队接到报警后立即派消防队员前去，在失火5分钟后赶到现场开始灭火.已知每位消防队员每分钟可灭火50m2，所消耗的灭火材料等费用每人每分钟125元，另加每次灭火所消耗的车辆、器材和装备等费用平均每人100元，而每烧毁1m2的森林直接损失费用为60元，设消防队派x名消防队员前去救火，从到现场直至把火完全扑灭共用n分钟.（1）写出x与n的关系式；（2）问x为何值时，才能使总损失最小？21.（本小题满分12分）已知二次函数f（x）满足f（－1）=0，且x≤f（x）≤21（x2+1）对一切实数x恒成立.（1）求f（1）；（2）求f（x）的解析表达式；（3）证明424)(1)2(1)1(1nnnfff.22.（本小题满分14分）已知不等式|x+3|＞2|x|①，2322xxx≥1②，2x2+mx－m2＜0③.（1）若同时满足不等式①、②的x值也满足不等式③，求m的取值范围；（2）若满足不等式③的x值至少满足不等式①、②中的一个，求m的取值范围.03-04年高三数学(理)全国统一标准测试(二)答案一、1.B2.D3.D4.D5.D6.A7.C8.D9.D10.B11.D12.B二、13.－7814.815.316.①④三、17.解：（1）∵ka－b与a－kb垂直，∴（ka－b）·（a－kb）=0.2分∴ka2－k2a·b－b·a+kb2=0.∴9k－（k2+1）×3×2·cos120°+4k=0.∴3k2+13k+3=0.∴k=613313.5分∴当k=613313时，ka－b与a－kb垂直.6分（2）∵|ka－2b|2=k2a2－4ka·b+4b2=9k2－4k×3×2·cos120°+4×4=9k2+12k+16=（3k+2）2+12.10分∴当k=－32时，|ka－2b|取得最小值为23.12分18.解：由余弦定理，得c2=a2+b2－2abcosC.∵a2+b2=c2+ab，∴ab－2abcosC=0.∴cosC=21，∴C=60°4分∵sinAsinB=43，cos（A+B）=cos（180°－C）=cos120°=－21，cos（A+B）=cosAcosB－sinAsinB，∴cosAcosB=41.8分∴cos（A－B）=cosAcosB+sinAsinB=1.∵－π＜A－B＜π，∴A－B=0.∴A=B=60°.∴△ABC是等边三角形.12分19.解：1||||AQAP.APBABPAQCACQ;2分由余弦定理可得cosBAC=21，所以∠BAC=60°4分T=BP·CQ=（APBA）·（AQCA）=…=12+PQ21（ABAC）－4=8+PQ21·BC.设PQ与BC夹角为θ，则T=8+14cosθ.8分当θ=0即PQ∥BC且同向时T最大=2210分当θ=π即PQ∥BC且反向时T最小=－612分20.解：（1）由题意知5×100+100n=50nx3分（2）设总损失费用为y元，则y=125nx+100x+60（n+5）×1007分由（1）知n=210x，代入上式并整理得：y=31450+262500x+100（x－2）≥31450+26250000=36450（元）10分上式等号成立时，当且仅当262500x=100（x－2）时.所以当x=27时，才能使总损失最小.12分21.解：（1）取x=1，由1≤f（1）≤21（1+1），所以f（1）=12分（2）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0）因f（－1）=0，f（1）=1，,10cbacba∴a+c=b=21，4分∵f（x）≥x，对x∈R恒成立，∴ax2+（b－1）x+c≥0对x∈R恒成立，∴04)1(02acba∴1610aca6分∵a＞0，ac≥161＞0，∴c＞0.∵a+c≥2ac≥221161当且仅当a=c=41时，等式成立∴f（x）=4121412xx，即f（x）=41（x+1）210分（3）证明：∵)2111(4)2)(1(4)1(4)(12nnnnnnf∴)211141313121(4)(1)2(1)1(1nnnfff424)2121(4nnn.12分22.解：（1）不等式|x+3|＞2|x|①的解集为A={x|－1＜x＜3，x∈R}；不等式2322xxx≥1②的解集为B={x|0≤x＜1或2＜x≤4，x∈R}则A∩B={x|0≤x＜1或2＜x＜3}.4分设不等式③的解集为C，由题意知A∩BC当m＞0时，得320mm，∴m≥6；当m=0时，C是空集，不合题意；当m＜0时，02.3mm，∴m≤－3.由此得m≤－3或m≥6.8分（2）由（1）知A∪B={x|－1＜x≤4}；由题意知CA∪B10分当m＞0时，得421mm，∴m＞8；当m=0时，C是空集，不合题意；当m＜0时，124mm，∴m＜－4.由此得m＜－4或m＞8.14分