北京高考压轴题创新大题专项突破

北京⾼考创新⼤题专项突破兰琦2016年9⽉23⽇2北京⾼考创新⼤题专项突破⺫录第⼀章基础篇51.1算两次.................................................51.1.1阿贝尔求和..........................................51.1.2按⾏按列求和.........................................61.1.3课后习题...........................................91.2找规律.................................................131.2.1公共的性质..........................................131.2.2变化中的不变.........................................131.2.3课后习题...........................................141.3极端情形...............................................161.3.1绝对值之和的最值......................................161.3.2上界与下界..........................................181.3.3最值原理...........................................191.3.4课后习题...........................................20第⼆章核⼼篇232.1不变量与存在问题..........................................232.1.1不变量与存在性的否定....................................232.1.2半不变量与存在性的肯定..................................242.1.3课后习题...........................................262.2调整法与最值问题..........................................302.2.1调整⽅案问题.........................................302.2.2调整次数问题.........................................322.2.3调整⽅向问题.........................................342.2.4课后习题...........................................37第三章进阶篇393.1递推与递归..............................................393.1.1由简单递推到复杂......................................393.1.2将复杂递推到简单......................................403.1.3课后习题...........................................423.2集合与对应..............................................453.2.1⼀⼀映射...........................................453.2.2单射与满射..........................................4634北京⾼考创新⼤题专项突破⽬录3.2.3课后习题...........................................483.3构造与论证..............................................493.3.1利⽤提⽰构造.........................................493.3.2利⽤图表构造.........................................523.3.3利⽤公式构造.........................................543.3.4常见命题背景.........................................543.3.5论证举例...........................................563.3.6课后习题...........................................58第⼀章基础篇1.1算两次1.1.1阿⻉尔求和例题1.1.1证明：(排序不等式)若两组实数a1;a2;


;an及b1;b2;


;bn满⾜a1⩽a2⩽


⩽an;b1⩽b2⩽


⩽bn;则a1bn+a2bn1+


+anb1⩽a1bi1+a2bi2+


+anbin⩽a1b1+a2b2+


+anbn;其中i1;i2;


;in是1;2;


;n的⼀个排列．解注意利用Abel恒等式．例题1.1.2(2015年3⽉北京市部分学校⾼三联考)设n为给定的不⼩于5的正整数，考察n个不同的正整数a1;a2;a3;


;an构成的集合P=fa1;a2;a3;


;ang，若集合P的任何两个不同的⾮空⼦集所含元素的总和均不相等，则称集合P为“差异集合”．(1)分别判断集合A=f1;3;8;13;23g，集合B=f1;2;4;8;16g是否是“差异集合”(只需写出结论)；(2)设集合P=fa1;a2;a3;


;ang是“差异集合”，记bi=ai2i1(i=1;2;


;n)，求证：数列fbig的前k项和Dk⩾0(k=1;2;


;n)；(3)设集合P=fa1;a2;a3;


;ang是“差异集合”，求1a1+1a2+1a3+


+1an的最⼤值．解(1)根据“差异集合”的定义，集合A不是“差异集合”(因为1+23=3+8+13)，⽽集合B是“差异集合”(因为B={00001(2);00010(2);00100(2);01000(2);10000(2)})．(2)由集合P是“差异集合”知：fa1;a2;


;akg的2k1个非空⼦集元素和为互不相等的2k1个正56北京⾼考创新⼤题专项突破1.1算两次整数，于是a1+a2+


+ak⩾2k1，所以Dk=(a120)+(a221)+(ak2k1)=(a1+a2+


+ak)(2k1)⩾0:(3)1a1+1a2+1a3+


+1an的最⼤值为1+12+122+


+12n1，证明如下：不妨设a1a2


an．考虑两者之差n∑i=112i1n∑i=11ai=a11a1+a222a2+a32222
a3+


+an2n12n1
an=b1a1+b22a2+b322
a3+


+bn2n1
an=D1a1+D2D12a2+D3D222
a3+


+DnDn12n1
an=D1
1a112a2‹+D2
12a2122a3‹+


+Dn1
12n2an112n1an‹+Dn2n1an⩾0;等号当ai=2i1;i=1;2;3;


;n时取得．因此1a1+1a2+1a3+


+1an的最⼤值为n∑i=112i1=112n1．注思路来自于Abel求和公式n∑i=1ai
bi=n∑i=1S(ai)
∆(bi);其中S(ai)=a1+a2+


+ai;∆(bi)=bibi+1(i=1;2;


;n);补充定义bn+1=0，这是级数不等式放缩的重要恒等式．1.1.2按⾏按列求和例题1.1.3(2015年西城⼆模)⽆穷数列P:a1;a2;


;an;


满⾜ai2N，且ai⩽ai+1(i2N)．对于数列P，记Tk(P)=minfnjan⩾kg(k2N)，其中minfnjan⩾kg表⽰集合fnjan⩾kg中最⼩的数．(1)若数列P:1;3;4;7;


，写出T1(P);T2(P);T3(P);T4(P);T5(P)的值；(2)若Tk(P)=2k1，求数列P前n项的和；(3)已知a20=46，求s=a1+a2+


+a20+T1(P)+T2(P)+


+T46(P)的值．解(1)T1(P)=1;T2(P)=2;T3(P)=2;T4(P)=3;T5(P)=4:(2)Sn=8:(n+1)24;n为奇数;n2+2n4;n为偶数:(3)⼀般的，s=a1+a2+


+an+T1(P)+T2(P)+


+Tan(P)=(n+1)an.所以当a20=46时，s=(20+1)46=966:第⼀章基础篇7事实上，设数列P中有mi个i，其中i=1;2;


;46，则46∑i=1mi=20;46∑i=1(imi)=a1+a2+


+a20:于是a1+a2+


+a20+T1(P)+T2(P)+


+T46(P)=(a1+a2+


+a20)+1+(m1+1)+


+(m1+m2+


+m45+1)=46∑i=1imi+46+45m1+44m2+


+2m44+m45=46∑i=1[(i+46i)mi]+46=4646∑i=1mi+46=4620+46=966:⼏何解释如下：以P:1;3;4;5;


;45;46为例，将ai(i=1;2;


;20)用红⾊格⼦的数目表示，如图．那么Tj(P)(j=1;2;


;46)的⼏何意义是⾼度小于j的红⾊柱⼦的数目(将表示数列中的项的若⼲红⾊格⼦看成红⾊柱⼦)，也就是从下往上第j⾏的蓝⾊格⼦数．12345123445461920这样就可以得到a1+a2+


+a19+a20的⼏何意义为图中所有的红⾊格⼦按列从左向右求和，⽽T1(P)+T2(P)+


+T45(P)+T46(P)的⼏何意义为图中所有的蓝⾊格⼦按⾏从下向上求和，因此所求的和式值为(1+20)46=966．8北京⾼考创新⼤题专项突破1.1算两次例题1.1.4已知n为正整数，Sn=f(a1;a2;


;a2n)jai2f0;1g;1⩽i⩽2ng，对Sn中任意两个元素a=(a1;a2;


;a2n)和b=(b1;b2;


;b2n)，令d(a;b)=2n∑i=1jaibij．若ASn，满⾜对A中任何两个不同的元素a和b，都有d(a;b)⩾2n1，则称A为Sn的好⼦集．(1)试写出S2的⼀个好⼦集M，使M中的任何两个不同的元素a和b，都有d(a;b)=2，且M的元素个数为4；(2)试写出S2的⼀个好⼦集N，使N中任何两个不同的元素a和b，都有d(a;b)⩾2，且N的元素个数为8；(3)试求Sn的好⼦集A的元素个数jAj的最⼤值．解(1)简记为f0000;0011;0101;0110g；(2)简记为f0000;0011;0101;0110;1111;1100;1010;1001g；(3)约定：对于a=(a1;a2;


;a2n)和b=(b1;b2;


;b2n)，记a=(1a1;1a2;


;1a2n);ab=(a1;a2;


;a2n;b1;b2;


;b2n)对于集合A=fa1;a2;a3;


;ang;d(A)=n∑i;j=1;;i̸=jd(ai;aj)．1◦首先对于Sn，我们构造满⾜jAnj=2n+1的好⼦集An，这里用到归纳构造．对于S1，很容易写出A1=f(0;0);(0;1);(1;0);(1;1)g符合条件．现在证明，如果对于SK，若已经有好⼦集Ak，且jAkj=2k+1，那么可以构造好⼦集Ak+1，且