振动力学第五章.

第五章自振频率和振型的实用计算第一节能量法求自振频率根据能量守恒，在任何瞬时（忽略能量散失）常数)()(tVtT一，瑞利能量法设图示系统中任一质点的运动方程为)sin()(),(txtxy)cos()(),(txtxyvdxvxmTl02)(21dxxxmtTl)()()(cos210222振动速度系统的动能将振动速度代入得动能的最大值发生在时刻，即1)cos(tdxxxmTl)()(21022max)),(),((求偏导数对时间表示式中，ttxytxy求二阶偏导数）对坐标表示式中，xtxytxydxtxyxEIVl),(),((),()(2120dxtxxEItVl202),()()(sin21dxtxxEIVl20max),()(21若只考虑弯曲变形的影响，系统的应变能为将运动方程代入得当时，应变能最大，即1)sin(t使，即可得到maxmaxVTlldxxxmdxxxEI02022)()()()(瑞利商),(21),()(2110txyFdxtxygxmWiniiliniilFtdxxgxmtW10)sin(21)()()sin(21用外力做功的数值代替系统应变能的数值图（b）系统上外力所做的总功为将运动方程代入上式得:::集中质量作用点振幅）＝得重力荷载（集中质量重力加速度式中，iiiiigmFmFgy(x,t)为静荷载（自重、F等）引起的位移，如自重等1)sin(tiniilFdxxgxmW1021)()(21),,2,1(nimi当时，应变能达到最大值，此时外力所作的功亦为最大值，这时系统的动能除了分布质量m(x)的动能外，还应包括各集中质量的动能，即度。为各集中质体的振动速式中iiniilvvmdxvxmT21)(212102将振动速度代入得)()(cos21)()()(cos212i1220222niilmtdxxxmtT)(21)()(212i12022maxniilmdxxxmT1)cos(tmaxmaxMT当时，动能达最大值由得到lniiilniiimdxxxmFdxxgxm0122012)()()()()(例：如图（a）所示均质等截面简支梁。单位梁长的质量为，其抗弯刚度EI为常数。若振型分别为图（b）所示（为梁中点的最大挠度）和图（c）所示梁在自重作用下的挠曲线。分别计算自振频率，并将所得结果进行比较。mlxyxmsin)(mylxyxmsin)(lymdxlxymTmlm22202max4sin22432022max4sin2mlmylEIdxlxlyEIV解：（1）振型为从而得442243244lmEIlymylEImm自振频率mEIl22精确解222033442max33440.252)2(5162)2(516)(mlmmylmdxxllxxlymTxllxxlyx2333440max6.240.320)2(51621mmmlylEIglymdxxllxxlgymW（2）取振型为梁在自重荷载上的挠曲线。图（c）所示为匀布自重荷载作用下简支梁的静力挠曲线，即最大动能外力做功的最大值EIglmym38454式中，因为maxmaxWT,可以解得mEIl28.9此值与精确解相比较，偏大约2％例：计算重力坝沿水流方向的自振频率时，可以取沿坝轴线方向单位长度的坝体近似地简化为图（a）所示的变截面悬臂梁。试用瑞利法计算其自振频率。重量。为坝身材料单位体积的式中，)()(222xEbhxyx)()(xhhgbxm解：选变截面悬臂梁在其自重作用下所引起的挠曲线作为近似振型，如图（b）所示，即从图（b）可以看出其分布质量为最大动能和外力功的最大值为3021)()(2193232022maxhgbEdxxxmTh1221)()(21220maxhEbdxxgxmWhmaxmaxWT根据得到％）（比精确解大06.3581.12Eghb例：等截面悬臂梁yx0lm)64()(22341xllxxAx端部有一集中质量Slm2用瑞利法估计基频解：选择等截面悬臂梁在均布载荷下的静挠度曲线作为试函数：)()(21202*alxmdxxST*max)(TVR411908.1SlEI选择端部集中质量作用下的静挠度曲线作为试函数：)3()(322xlxAx411584.1SlEI因集中质量大于梁的分布质量，选用后一种试函数好2max01()2lVEIxdx例.用能量法计算图示体系的基频.mkmmkk321解:mmmmkk1101210121.取自重引起的位移mg1ymgmg2y3ykmgy/31kmgkmgyy/5/212kmgkmgyy/6/136531X111121XmXXkXTTmkmk/2.07014精确解:mk/198.021mk/445.01mk/447.012.取直线mkmmkk321mg1ymgmg2y3y3211Xmk/214.0213.取常数1111Xmk/333.0216531X111121XmXXkXTTmkmk/2.07014精确解:mk/198.021mk/445.01mk/447.01mk/463.01mk/577.01为待定参数。，，，函数为满足位移边界条件的，，，其中，nnniinnxfxfxfxfxfxfxfx)()()()()()()()(21211i2211二，李兹能量法李兹给出了级数形式的近似振型将上式代入瑞利商的表达式得lniiilniiidxxfxmdxxfxEI0210212)()()()(dxxfxfxmDdxxfxfxEICjliijjliij)()()()()()(00ninjjiijninjjiijDC11112引进下列记号为所以根据频率为极值的条件n),1,2,(i0)(2in),1,2,(i01111ninjjiijninjjiijiDCn),1,2,(i0)())((22112111111ninjjiijninjnijijjiijninjjiijnijijDDCDC2得到即简化上式并将代入得n),1,2,(i0)(12jijnjijDC或0)(2DC02DC22j上式为n个齐次线性方程，为了使方程组有非零解，必须得到上式展开后得到一个的n次方程，该方程有n个根。对于其中的每一个根都可求得一组常数，因此得到n个振型函数),,2,1(niij)(xin),1,2,(j)()(1xfxiniijj求得的就是所研究的系统前n个自振频率和振型函数的近似解。)(,xjj例：试用李兹法求图所示重力坝的第一和第二阶自振频率。13221)(nnxxxx21)(xx解：为了使级数各项都满足位移边界条件，近似振型函数选为假设经一次近似计算只取第一项，即代入瑞利商的表达式得样）（与前面的结果完全一Eghb2581.13221)(xxx3221)(,)(xxfxxfijijDC,若取级数前两项，即将代入相关式子计算出，这时成为0)(2DC0)2810()2110(0)2110()156(2723316223262231523hgbhEbhgbhEbhgbhEbhgbhEb展开系数行列式，并令其等于零,得频率方程：01504200138820462284421222hbEghbEghbEghbEghb2221994.4535.11解得与精确解的相对误差为0.6％，是较高一阶频率的近似值。2例：图所示等截面悬臂梁，用李兹法求自振频率。)1()()1()(2221lxlxxflxxf22212211)1()1()()()(lxlxlxxfxfxijijDC,解：选取两个函数：这两个函数在梁的支承处满足固定端边界条件。于是，近似振型函数可取为求得如下32022011142)(lEIdxlEIdxxfEICll320220112212)23(22)()(lEIdxlxllEIdxxfxfEICCll3220224)23(2lEIdxlxlEICl105)1)((30)1()()1(5)1(4022222012214011lmdxlxlxmDlmdxlxlxlxmDDlmdxlxmDlll0)105(4)30(2)30(2)5(423232323lmlEIlmlEIlmlEIlmlEI2于是，频率方程为从上式可得到一个关于的方程，方程的根为4224211212,60.12lmEIlmEI这两个频率的精确值为42242152.485,362.12lmEIlmEI2比较得，第二阶自振频率精读很差。为了改善得计算精读，采用以下四个函数：24232221)1)()(25.0)(75.0()()1)()(5.0()()1()()1()(lxlxlxlxxflxlxlxxflxlxxflxxf4244234224214.79296,8.40120.491,362.12lmEIlmEIlmEIlmEI42442314617,02.3807lmEIlmEI22求得结构的前四阶频率为该结构第三阶和第四阶自振频率的精确值为比较得，的精读最高，次之，的精读最差。所以说，为了得到精读较高的高阶频率，往往需要选取较多的函数。2124)(xfi例：等截面简支梁梁中部有一集中质量Ma，大小等于梁的质量采用里兹法，求：梁的模态函数近似解yx2/l2/l0Ma选取无集中质量时的梁的模态函数作为里兹基函数：()sin,(1,2,)iixfxil解：基函数满足自然边界条件（两端挠度和弯矩为零）()0,()0(0)iifxfxxorl0048.005742.02)1(Sla0102)2(Sla7746.005199.02)3(Sla模态试函数：3311()()siniiiiiixxafxal若对第三阶固有频率的精度要求不高，取n＝3代入里兹法方程，求得系数：0048.005742.02)1(Sla0102)2(Sla7746.005199.02)3(Sla模态试函数：3311()()siniiiiiixxafxal梁的模态函数近似解：)3sin0048.0sin5742.0(2)()1(lxlxSlxlxSlx2s