高三数学第一学期期末考试试题

高三数学第一学期期末考试试题(满分：150分，完卷时间：120分钟)题号1～1213~16171819202122总分得分签名一、填空题(本大题共有12题，每题4分，满分48分)1、已知集合A={x|y=lg(x–3)}，B={x|y=x5}，则A∩B=。2、定义在R上的函数f(x)是奇函数，则f(0)的值为。3、设函数f(x)=lgx，则它的反函数f–1(x)=。4、函数y=sinxcosx的最小正周期T=。5、若复数z1＝3–i，z2＝7+2i，(i为虚数单位)，则|z2–z1|＝。6、ΔABC中，若∠B=30o，AB=23，AC=3，则BC=。7、无穷等比数列{an}满足：a1=2，并且nlim(a1+a2+…+an)=38，则公比q=。8、关于x的方程2x=aa21只有正实数的解，则a的取值范围是。9、如果直线y=x+a与圆x2+y2=1有公共点，则实数a的取值范围是。10、袋中有相同的小球15只，其中9只涂白色，其余6个涂红色，从袋内任取2只球，则取出的2球恰好是一白一红的概率是。11、F1、F2是双曲线1201622yx的焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离等于9，则点P到焦点F2的距离等于。12、对于集合N={1,2,3,…,n}及其它的每一个非空子集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数。例如集合{1,2,4,6,9}的交替和是9–6＋4–2＋1＝6，集合{5}的交替和为5。当集合N中的n=2时，集合N={1,2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1,2}，则它的“交替和”的总和S2=1+2+(2–1)=4，请你尝试对n=3、n=4的情况，计算它的“交替和”的总和S3、S4，并根据其结果猜测集合N={1,2,3,…,n}的每一个非空子集的“交替和”的总和Sn=。(不必给出证明)二．选择题(本大题共4题，每题4分，共16分)13．已知数列{an}的通项公式是an=2n–49(nN)，那么数列{an}的前n项和Sn达到最小值时的n的值是()(A)23(B)24(C)25(D)2614．在直角坐标平面中，若F1、F2为定点，P为动点，a0为常数，则“|PF1|+|PF2|=2a”是“点P的轨迹是以F1、F2为焦点，以2a为长轴的椭圆”的()(A)充要条件(B)仅必要条件(C)仅充分条件(D)非充分且非必要条件15．设x=sin，且]656[，，则arccosx的取值范围是()(A)[0,](B)[3,32](C)[0,32](D)[32,]16．设非零实常数a、b、c满足a、b同号，b、c异号，则关于x的方程a.4x+b.2x+c=0()(A)无实根(B)有两个共轭的虚根(C)有两个异号的实根(D)仅有一个实根三、解答题(本大题共6题，共86分，解答下列各题必须写出必要步骤)17．(本题满分12分)过定点A(–1,1)是否存在直线l，使得点A恰为直线l与椭圆x2+3y2=9相交所得的线段的中点,若存在，请求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。18．(本题满分12分)在复数范围内解方程iiizzz23)(2(i为虚数单位)19．(本题满分14分)已知不等式x2–3x+t0的解集为{x|1xm,mR}(1)求t,m的值；(2)若f(x)=–x2+ax+4在(–∞,1)上递增，求不等式loga(–mx2+3x+2–t)0的解集。20．(本题满分14分)某企业准备在2006年对员工增加奖金200元，其中有120元是基本奖金。预计在今后的若干年内，该企业每年新增加的奖金平均比上一年增长8%。另外，每年新增加的奖金中，基本奖金均比上一年增加30元。那么，到哪一年底，(1)该企业历年所增加的奖金中基本奖金累计(以2006年为累计的第一年)将首次不少于750元?(2)当年增加的基本奖金占该年增加奖金的比例首次大于85%?21．(本题满分16分)已知Sn是正数数列{an}的前n项和，S12，S22、……、Sn2……，是以3为首项，以1为公差的等差数列；数列{bn}为无穷等比数列，其前四项之和为120，第二项与第四项之和为90。(1)求an、bn；(2)从数列{nb1}中能否挑出唯一的无穷等比数列，使它的各项和等于261S。若能的话，请写出这个数列的第一项和公比?若不能的话，请说明理由。22．(本题满分18分)函数f(x)=baxx(a，b是非零实常数)，满足f(2)=1，且方程f(x)=x有且仅有一个解。(1)求a、b的值；(2)是否存在实常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立？为什么？(3)在直角坐标系中，求定点A(–3,1)到此函数图象上任意一点P的距离|AP|的最小值。评分标准一、填空题1、{x|3x≤5}2、03、y=10x,xR4、5、56、37、418、21a29、–2≤a≤210、351811、1712、n.2n–1二、选择题13、B14、B15、C16、D17、设过A点的直线交椭圆于B、C两点，B(x1,y1)、C(x2,y2)则有x12+3y12=9，x22+3y22=9，…………………………………………………………3分两式相减得：(x1+x2)(x1–x2)+3(y1+y2)(y1–y2)=0…………………………………………6分因为A点是线段BC的中点，所以x1+x2=–2，y1+y2=2………………………………8分代入得：kBC=2121xxyy=31……………………………………………………………10分所以l的方程为y=31(x+1)+1……………………………………………………………11分检验知：x–3y+4=0为所求的方程。……………………………………………………12分18、原方程化简为iizzz1)(2,………………………………………………3分(只要写出右边1–i就得3分)设z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得x2+y2+2xi=1–i,………………………………5分(只要写出左边就得2分)所以x2+y2=1且2x=–1，……………………………………………………………8分(写对一个得2分)解得x=–21…………………………………………………………………………9分y=±23,…………………………………………………………………………11分所以原方程的解是z=–21±23i。…………………………………………………12分19、(1)由条件得：tmm131，………………………………………………………3分所以22tm………………………………………………………………………………6分(2)因为f(x)=–(x–2a)2+4+42a在(–∞,1)上递增，所以2a≥1，a≥2………………………………………………………………………8分loga(–mx2+3x+2–t)=loga(–2x2+3x)0=loga1所以013203222xxxx，………………………………………………………………10分所以211230xxx或……………………………………………………………………12分所以0x21或1x23…………………………………………………………………14分20、(1)设基本奖金形成数列{an}，由题意可知{an}是等差数列，(或a1=120,，d=30，或an=120+30(n–1))…………………………………………………………………………1分Sn=a1n+21n(n–1)d……………………………………………………………………2分则Sn=120n+15n(n–1)=15n2+105n=15(n2+7n)……………………………………………4分注意：若直接写出Sn的整理式子(上面三个之一)4分全给令15n2+105n≥750，即n2+7n–50≥0，而n是正整数,∴n≥5。…………………5分(不区分≥、、=，这一结果只影响最终结果)到2010年底该企业历年所增加的工资中基本工资累计将首次不少于750元。6分(2)设新增加的奖金形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，(或b1=200，q=1.08，或bn=bn–1q)………………………………………………………………………………7分则bn=200·(1.08)n–1……………………………………………………………………9分(在第2小题任意处出现上式，均给3分，即使b1=200，q=1.08，和bn=bn–1q同时出现，而没有代入，也给3分)由题意可知an0.85bn，有120+30(n–1)200·(1.08)n–1·0.85。…………………11分(不区分≥、、=，这一结果只影响最终结果)由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=5，………………………………13分到2010年底，当年增加的基本奖金占该年增加奖金的比例首次大于85%……14分注意：如果直接列表计算也可，但表格必须完整，不能用……代替，否则第1小题只给2分，第2小题只给3分，对于表格中的数据，只要完整，不去验证具体数据。21、(1){Sn}是以3为首项，以1为公差的等差数列；所以Sn2=3+(n–1)=n+2因为an0，所以Sn=2n(nN)………………………………………………………2分当n≥2时，an=Sn–Sn–1=2n–1n又a1=S1=3，所以an=11213nnnn(nN)……………………………4分设{bn}的首项为b1，公比为q，则有3090211311qbbqbqb………………………………6分所以331qb，所以bn=3n(nN)…………………………………………………………8分(2)nb1=(31)n，设可以挑出一个无穷等比数列{cn}，首项为c1=(31)p，公比为(31)k，(p、kN)，它的各项和等于261S=81，……………………………………………………10分则有81)31(1)31(kp，所以(31)p=81[1–(31)k]，…………………………………………12分当p≥k时3p–3p–k=8，即3p–k(3k–1)=8，因为p、kN，所以只有p–k=0，k=2时，即p=k=2时，数列{cn}的各项和为261S。……………………………………………14分当pk时，3k–1=8.3k–p，因为kp右边含有3的因数，而左边非3的倍数，不存在p、kN，所以唯一存在等比数列{cn}，首项为91，公比为91，使它的各项和等于261S。……16分22、(1)由f(2)=1得2a+b=2，又x=0一定是方程baxx=x的解，所以bax1=1无解或有解为0，………………………………………………………3分若无解，则ax+b=1无解，得a=0，矛盾，若有解为0，则b=1，所以a=21。……………………………………………………6分(2)f(x)=22xx，设存在常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立，取x=0，则f(0)+f(m–0)=4，即22mm=4，m=–4(必要性)……………………………8分又m=–4时，f(x)+f(–4–x)=24)4(222xxxx=……=4成立(充分性)……………10分所以存在常数m=–4，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立，…………11分(3)|AP|2=(x+3)2+(22xx)2，设x+2=t，t≠0，…………………………………………13分则|AP|2=(t+1)2+(tt4)2=t2+2t+2–t8+216t=(t2+216t)+2(t–t4)+2=(t–t4)2+2(t–t4)+10=(t–t4+1)2+9，…………………………………………………………………16分所以当t–t4+1=0时即t=2171，也就是x=2175时，|AP|min=3…………