抛物线及其标准方程

梦幻网络()数百万免费课件下载，试题下载，教案下载，论文范文，计划总结梦幻网络()——最大的免费教育资源网站学科：数学教学内容：抛物线及其标准方程【基础知识精讲】1.定义平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线.F是焦点，l为准线.圆锥曲线可统一定义为：平面内与一定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹，当0＜e＜1时，表示椭圆；当e＞1时，表示双曲线；当e=1时，表示抛物线.2.标准方程和图形、焦点坐标及准线方程焦点的位置图形方程焦点准线焦点在x正半轴y2=2px(p＞0)(2p,0)x=-2p焦点在x负半轴y2=-2px(p＞0)(-2p,0)x=2p焦点在y正半轴x2=2py(p＞0)(0,2p)y=-2p焦点在y负半轴x2=-2py(p＞0)(0,-2p)y=2p注：抛物线的标准方程中一次项变量及它的系数的符号决定抛物线的开口方向，其焦点的非零坐标为一次项变量的系数的41.3.抛物线的焦半径抛物线y2=2px（p0）上任一点M(x0，y0)到焦点的距离等于到准线的距离且为x0+2p.其它三种不同形式同学们自己给出.本节学习要求：学习抛物线及其标准方程，如何利用已知的抛物线方程研究其性质，以及已知某些性质求抛物线的方程是考查的重点.主要方法有轨迹法、定义法、待定系数法等.本节内容也充满运动变化的思想.学习本节内容要注意如何利用运动变化的观点思考问梦幻网络()数百万免费课件下载，试题下载，教案下载，论文范文，计划总结梦幻网络()——最大的免费教育资源网站题，如何利用数学研究运动变化着现实世界，以提高分析问题和解决问题的能力.【重点难点解析】1.学习抛物线及其标准方程可以像学习椭圆、双曲线一样从画图开始，也可以直接从第8.2节例4及第8.4节例3引入，这样定义抛物线，便于导出它的标准方程，也可以一开始就看到抛物线和椭圆、双曲线之间的联系.2.本节重点是抛物线的定义及有关概念、抛物线的四种位置、四种标准方程、焦点坐标、准线方程.难点是分清标准方程的四种不同形式及抛物线的应用.例1在抛物线y2=12x上，求与焦点的距离等于9的点的坐标.分析由方程y2=12x得F(3，0)，准线l:x=-3，设所求点为P(x,y),则由定义知｜PF｜=x+3又｜PF｜=9∴x+3=9x=6代入y2=12x得y=±62故所求点为(6，62)，(6，-62)例2已知顶点在原点、焦点在坐标轴上的抛物线被直线l:y=2x+1截得的弦长为15，求抛物线方程：分析(1)设抛物线方程为y2=2ax(a≠0),将y=2x+1代入抛物线方程y2=2ax得4x2+(4-2a)x+1=0设两交点为A(x1,y1),B(x2,y2)则｜AB｜=21k212114)(xxxx=]1)424)[(41(2a=15解得a=6或-2.(2)设抛物线方程为x2=2my(m≠0)同理求得：m=41或m=-43综上所述，所求抛物线方程为y2=12x,y2=-4x,x2=21y,x2=-23y.【难题巧解点拨】例1如果抛物线y2=px和圆(x-2)2+y2=3相交，它们在x轴上方的交点为A、B，那么当p为何值时，线段AB的中点M在直线y=x上?分析设交点A、B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),中点M(x0,y0),把y2=px代入圆方程(x-2)2+y2=3得x2+(p-4)x+1=0∴x1+x2=4-p,x1x2=1∴x0=211xx=24p梦幻网络()数百万免费课件下载，试题下载，教案下载，论文范文，计划总结梦幻网络()——最大的免费教育资源网站∵A、B在x轴上方∴y1+y2=221)(yy=2122212yyyy=21212)(xxpxxp=ppp2)4(∴y1+y2=26pp,从而y0=221yy=2126pp∵点M在直线y=x上∴y0=x0∴2126pp=24p即p2-7p+8=0解得：p=2177∵4-p＞0∴p=2177不合题意∴p=2177例2过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F，引两条相互垂直的弦AC、BD，求四边形ABCD面积的最小值.分析AC、BD是焦点弦，又AC⊥BD，故四边形面积S=21｜AC｜·｜BD｜.设AC所在的直线方程为y=k(x-2p),代入抛物线方程得：4k2x2-4p(k2+2)x+p2k2=0且设A(x1,y1),C(x2,y2)∴｜AC｜=x1+x2+p=22)1(2kkp设BD所在直线方程为y=-k1(x-2p),且设B(x3,y3),D(x4,y4),由pxypxky2)2(12消去y得4(-k1)2x2-4p［(-k1)2+2］x+p2(-k1)2=0，则｜BD｜=x3+x4+p=2p(k2+1).∴四边形的面积S=21｜AC｜·｜BD｜=2222)1(2kkp=2p2(2+k2+21k)≥2p2(2+2)1(22kk)=8p2.梦幻网络()数百万免费课件下载，试题下载，教案下载，论文范文，计划总结梦幻网络()——最大的免费教育资源网站当且仅当k2=21k即｜k｜=1，四边形的面积最小，最小值为8p2.【典型热点考题】例1直线l1和l2相交于M，l1⊥l2，点N∈l1，以A，B为端点的曲线段C上任一点到l2的距离与到点N的距离相等，若△AMN为锐角三角形，｜AM｜=17，｜AN｜=3，且｜BN｜=6，建立适当坐标系，求曲线段C的方程.分析建立如图所示直角坐标系，由题意可知曲线段C是以N为焦点，l2为准线的抛物线的一段因此可用待定系数法及它的方程为y2=2px(p＞0,待定)(xA≤x≤xB,y＞0)其中xA、xB分别为A、B的横坐标，p=｜MN｜.所以M、N的坐标为M(-2p,0)，N(2P，0)，由点A在曲线C上，|AM|=17,|AN|=3，得9)2(,17)2(22222AAAAAAypxypxpxy解得14Axp或22Axp因为△AMN是锐角三角形，∴xA＜2p∴14Axp由点B在曲线段C上，得xB=｜BN｜-2p=4.所以所求的曲线段C的方程是y2=8x(1≤x≤4,y＞0).例2已知抛物线y2=2px(p＞0).过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，｜AB｜≤2p.(Ⅰ)求a的取值范围.(Ⅱ)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求Rt△NAB面积的最大值.分析(Ⅰ)直线方程为y=x-a,将y=x-a代入y2=2px,得x2-2(a+p)x+a2=0梦幻网络()数百万免费课件下载，试题下载，教案下载，论文范文，计划总结梦幻网络()——最大的免费教育资源网站设直线l与抛物线两个不同交点的坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),2212122)(204)(4axxpaxxapa则∴｜AB｜=2212214)(xxxx=)2(8app∵0＜｜AB｜≤2p,8p(p+2a)＞0，∴0＜)2(8app≤2p,解得-2p＜a≤-4p(Ⅱ)设AB的垂直平分线交AB于点Q，令其坐标为(x0,y0),由中点坐标公式有pyyypaxxx22210210∴｜QM｜=22)(papa=2p又∵△MNQ为等腰直角三角形，∴｜QN｜=｜QM｜=2p∴S△NAB=21｜AB｜·｜QN｜=22p·｜AB｜≤22p·2p=2p2即△NAB面积的最大值为2p2.【同步达纲练习】A级一、选择题1.抛物线y=-81x2的准线方程是()A.x=321B.x=21C.y=2D.y=42.直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A、B两点，若AB中点的横坐标为2，则k等于()A.0B.1C.2D.33.直线和抛物线有且仅有一个公共点是直线和抛物线相切的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若点P到点F(4,0)的距离比它到定直线x+5=0的距离小1，则P点的轨迹方程是()A.y2=-16xB.y2=-32xC.y2=16xD.y2=32x5.抛物线y2=2px上横坐标为6的点到焦点的距离是10，则焦点到准线距离是()梦幻网络()数百万免费课件下载，试题下载，教案下载，论文范文，计划总结梦幻网络()——最大的免费教育资源网站A.4B.8C.16D.32二、填空题6.抛物线y2=8x关于直线y=x对称的曲线方程是.7.抛物线y=4x2上到直线y=4x-5的距离最近的点的坐标是.8.P(x1,y1),P2(x2,y2)是过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点的弦的两端，则y1y2=.三、解答题9.已知抛物线y=ax2-1上恒有关于直线x+y=0对称的相异两点，求a的取值范围.10.已知A、B是抛物线y2=2px(p＞0)上的两点，且OA⊥OB(O为坐标原点)，求证：(1)A、B两点的横坐标之积为定值；(2)直线AB经过定点.AA级一、选择题1.已知P(x0,y0)是抛物线y2=2mx上的任意一点，则点P到焦点的距离是()A.｜x0-2m｜B.｜x0+2m｜C.｜x0-m｜D.｜x0+m｜2.过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B两点在抛物线的准线上的射影是A1、B1，则∠A1FB1等于()A.45°B.60°C.90°D.°1203.过抛物线y2=4x的焦点F作直线，交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，若x1+x2=6，则｜AB｜等于()A.4B.6C.8D.104.动点P在曲线y=2x2+1上移动，则点P和定点A(0，-1)连线的中点的轨迹方程是()A.y=2x2B.y=4x2C.y=6x2D.y=8x25.F是抛物线y2=2x的焦点，P是抛物线上任一点，A(3，1)是定点，则｜PF｜+｜PA｜的最小值是()A.2B.27C.3D.21二、填空题6.若(4，m)是抛物线y2=2px上的一点，F是抛物线的焦点，且｜PF｜=5,则抛物线的方程是.7.抛物线y2=2x上的两点A、B到焦点F的距离之和是5，则线段AB的中点M的横坐标是.8.若抛物线y2-mx-2y+4m+1=0的准线与双曲线122x-42y=1的右准线重合，则m的值是.梦幻网络()数百万免费课件下载，试题下载，教案下载，论文范文，计划总结梦幻网络()——最大的免费教育资源网站三、解答题9.已知椭圆42x+y2=1的焦点为F1、F2，抛物线y2=px(p＞0)与椭圆在第一象限的交点为Q，若∠F1QF2=60°，(1)求△F1QF2的面积；(2)求此抛物线的方程.10.已知直线l过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，若A(-1，0)，B(0，8)关于直线l对称的点都在C上，求直线l和抛物线C的方程.【素质优化训练】一、选择题1.抛物线y=2ax2(a≠0)的焦点坐标是()A.(2a,0)B.(0,2a)C.(a81,0)D.(0,a81)2.长度为4的线段AB的两个端点A、B都在抛物线x2=4y上，则线段AB的中点M的纵坐标的最小值为()A.21B.1C.2D.43.抛物线y=x2上到直线2x-y-4=0最近的点的坐标是()A.(21，41)B.(1，1)C.(23，49)D.(2，4)4.已知抛物线y2=2px(p＞0)上有一点M(4,y)，它到焦点F的距离为5，则△OFM的面积(O为原点)为()A.1B.2C.2D.225.若点P在抛