第七章直线与圆

普通高等学校招生全国统一考试数学分类汇编第七章《直线与圆》一、选择题（共17题）1．（安徽卷）如果实数xy、满足条件01,01,01yxyyx那么2xy的最大值为A．2B．1C．2D．3解：当直线2xyt过点(0，-1)时，t最大，故选B。2．（安徽卷）直线1xy与圆2220(0)xyaya没有公共点，则a的取值范围是A．(0,21)B．(21,21)C．(21,21)D．(0,21)解：由圆2220(0)xyaya的圆心(0,)a到直线1xy大于a，且0a，选A。3．（福建卷）已知两条直线2yax和(2)1yax互相垂直，则a等于（A）2（B）1（C）0（D）1解析：两条直线2yax和(2)1yax互相垂直，则(2)1aa，∴a=－1，选D.4．（广东卷）在约束条件0024xyyxsyx下，当35x时，目标函数32zxy的最大值的变化范围是A.[6,15]B.[7,15]C.[6,8]D.[7,8]解析：由42442sysxxysyx交点为)4,0(),,0(),42,4(),2,0(CsCssBA，（1）当43s时可行域是四边形OABC，此时，87z（2）当54s时可行域是△OAC此时，8maxz，故选D.5．（湖北卷）已知平面区域D由以(1,3),(5,2),(3,1)ABC为顶点的三角形内部＆边界组成。若在区域D上有无穷多个点(,)xy可使目标函数z＝x＋my取得最小值，则mA．－2B．－1C．1D．4解：依题意，令z＝0，可得直线x＋my＝0的斜率为－1m，结合可行域可知当直线x＋my＝0与直线AC平行时，线段AC上的任意一点都可使目标函数z＝x＋my取得最小值，而直线AC的斜率为－1，所以m＝1，选C6．（湖南卷）若圆2244100xyxy上至少有三个不同点到直线l:0axby的xyxys24yxO距离为22,则直线l的倾斜角的取值范围是()A.[,124]B.[5,1212]C.[,]63D.[0,]2解析：圆0104422yxyx整理为222(2)(2)(32)xy，∴圆心坐标为(2，2)，半径为32，要求圆上至少有三个不同的点到直线0:byaxl的距离为22，则圆心到直线的距离应小于等于2，∴22|22|2abab≤，∴2()4()1aabb≤0，∴23()23ab≤≤，()akb，∴2323≤k≤，直线l的倾斜角的取值范围是]12512[，，选B.7．（湖南卷）圆0104422yxyx上的点到直线014yx的最大距离与最小距离的差是A．36B.18C.26D.25解析：圆0104422yxyx的圆心为(2，2)，半径为32，圆心到直线014yx的距离为|2214|25232，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R=62，选C.8．（江苏卷）圆1)3()1(22yx的切线方程中有一个是（A）x－y＝0（B）x＋y＝0（C）x＝0（D）y＝0【正确解答】直线ax+by=022(1)(3)1xy与相切，则|3|12ab，由排除法，选C,本题也可数形结合，画出他们的图象自然会选C,用图象法解最省事。【解后反思】直线与圆相切可以有两种方式转化(1)几何条件:圆心到直线的距离等于半径(2)代数条件:直线与圆的方程组成方程组有唯一解,从而转化成判别式等于零来解.9．（全国卷I）从圆222210xxyy外一点3,2P向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为A．12B．35C．32D．0解析：圆222210xxyy的圆心为M(1，1)，半径为1，从外一点(3,2)P向这个圆作两条切线，则点P到圆心M的距离等于5，每条切线与PM的夹角的正切值等于21，所以两切线夹角的正切值为1242tan1314，该角的余弦值等于35，选B.10．（山东卷）某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束条件.112,932,22115xyxyx则z=10x+10y的最大值是(A)80(B)85(C)90(D)95解：画出可行域：易得A（5.5，4.5）且当直线z＝10x＋10y过A点时，z取得最大值，此时z＝90，选C11．（山东卷）已知x和y是正整数，且满足约束条件.72,2,10xyxyx则x－2x3y的最小值是(A)24(B)14(C)13(D)11.5解：画出可域：如图所示易得B点坐标为（6，4）且当直线z＝2x＋3y过点B时z取最大值，此时z＝24，点C的坐标为（3.5，1.5），过点C时取得最小值，但x，y都是整数，最接近的整数解为（4，2），故所求的最小值为14，选B12．(陕西卷)设直线过点(0,a),其斜率为1,且与圆x2+y2=2相切,则a的值为()A.±2B.±2B.±22D.±4解析：设直线过点(0，a)，其斜率为1，且与圆x2+y2=2相切，设直线方程为yxa，圆心(0，0)道直线的距离等于半径2，∴||22a，∴a的值±2，选B．13．（四川卷）某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分别为1a、1b千克，生产乙产品每千克需用原料A和原料B分别为2a、2b千克。甲、乙产品每千克可获利润分别为1d、2d元。月初一次性购进本月用原料A、B各1c、2c千克。要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大。在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x千克、y千克，月利润总额为z元，那么，用于求使总利润12zdxdy最大的数学模型中，约束条件为xy2x＋3y＝92x＝115x－11y＝－22CBAOxy2x＋3y＝0x＋y＝102x＝7x－y＝2BAOC（A）12112200axaycbxbycxy（B）11122200axbycaxbycxy（C）12112200axaycbxbycxy（D）12112200axaycbxbycxy解析：设全月生产甲、乙两种产品分别为x千克，y千克，月利润总额为z元，那么，用于求使总利润12zdxdy最大的数学模型中，约束条件为12112200axaycbxbycxy，选C.14．（天津卷）设变量x、y满足约束条件632xyyxxy，则目标函数yxz2的最小值为（）A．2B．3C．4D．9解析：设变量x、y满足约束条件2,36yxxyyx在坐标系中画出可行域△ABC，A(2，0)，B(1，1)，C(3，3)，则目标函数2zxy的最小值为3，选B.15．（浙江卷）在平面直角坐标系中，不等式组2,02,02xyxyx表示的平面区域的面积是(A)24(B)4(C)22(D)2【考点分析】本题考查简单的线性规划的可行域、三角形的面积。解析：由题知可行域为ABC，42204ABCS，故选择B。16．(重庆卷)过坐标原点且与x2+y2+4x+2y+25=0相切的直线的方程为（A）y=-3x或y=31x(B)y=-3x或y=-31x（C）y=-3x或y=-31x(B)y=3x或y=31x解析：过坐标原点的直线为ykx，与圆2254202xyxy相切，则圆心(2，－1)到直线方程的距离等于半径102，则2|21|1021kk，解得1或33kk，∴切线方CBAOyx4,2A0,2B2,0C2x程为xyxy313或，选A.17．(重庆卷)以点（2，－1）为圆心且与直线3450xy相切的圆的方程为（A）22(2)(1)3xy（B）22(2)(1)3xy（C）22(2)(1)9xy（D）22(2)(1)3xy解：r＝22|32415|34－（－）＋＋＝3，故选C二、填空题（共18题）18．（北京卷）已知点(,)Pxy的坐标满足条件41xyyxx，点O为坐标原点，那么||PO的最小值等于_______,最大值等于____________.解：画出可行域，如图所示：易得A（2，2），OA＝22B（1，3），OB＝10，，C（1，1），OC＝2故|OP|的最大值为10，最小值为2.19．（福建卷）已知实数x、y满足1,1,yyx则2xy的最大值是＿＿＿＿。解析：已知实数x、y满足1,1,yyx在坐标系中画出可行域，三个顶点分别是A(0，1)，B(1，0)，C(2，1)，∴2xy的最大值是4.20．（湖北卷）已知直线5120xya与圆2220xxy相切，则a的值为。解：圆的方程可化为22(1)1xy，所以圆心坐标为（1，0），半径为1，由已知可得|5|1|5|1313aa，所以a的值为－18或8。21．（湖北卷）若直线y＝kx＋2与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1有两个不同的交点，则k的取值范围是.解：由直线y＝kx＋2与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1有两个不同的交点可得直线与圆的位置关系是xyABOC11CBAOyx相交，故圆心到直线的距离小于圆的半径，即2|232|1kk1，解得k(0，34)22．（湖南卷）已知1,10,220xxyxy则22xy的最小值是.解析：由022011yxyxx，画出可行域，得交点A(1，2)，B(3，4)，则22yx的最小值是5.23．（江苏卷）设变量x、y满足约束条件1122yxyxyx，则yxz32的最大值为【正确解答】画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数z最大值为1824．（江西卷）已知圆M：（x＋cos）2＋（y－sin）2＝1，直线l：y＝kx，下面四个命题：（A）对任意实数k与，直线l和圆M相切；（B）对任意实数k与，直线l和圆M有公共点；（C）对任意实数，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切（D）对任意实数k，必存在实数，使得直线l与和圆M相切其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）解：选（B）（D）圆心坐标为（－cos，sin），d＝222|kcossin|1k|sin|1k1k|sin|1－－＋（＋）＝＋＋＝（＋）25．（全国卷I）设2zyx，式中变量xy、满足下列条件1232312yyxyx，则z的最大值为_____________。解析：在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是A(0，1)，B(7，1)，C(3，7)，在△ABC中满足2zyx的最大值是点C，代入得最大值等于11.26．（全国II）过点（1，2）的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝．解析(数形结合)由图形可知点A(1,2)在圆22(2)4xy的内部,圆心为O(2,0)要使得CBAOyxyxOCBA劣弧所对的圆心角最小,只能是直线lOA,所以11222lOAkk27．(上海卷)已知圆2x－4x－4＋2y＝0的圆心是点P，则点P到直线x－y－1＝0的距离是．解：由已知得圆心为：(2,0)P，由点到直线距离公式得：|201|2211d；28．(上海卷)已知两条直线12:330,:4610.laxylxy若12//ll，则a____.解：两条直线12:330,:4610.laxylxy若12//ll，233a，则a2.29．(上海卷)