2013-2019历年浙江专升本高等数学真题及解析

2019浙江专升本考试群603816139浙江省2013年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试高等数学请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。选择题部分注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。一、选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设()sin(cos2),xfxxR，则此函数是（）（A）有界函数（B）奇函数（C）偶函数（D）周期函数【答案】（A）。【解析】由于1sin(cos2)1x，故()fx为有界函数，显然容易验证()fx不是奇偶函数和周期函数，故选（A）。2.若函数()yfx是区间[1,5]上的连续函数，则该函数一定（）（A）在区间[1,5]上可积（B）在区间(1,5)上有最小值（C）在区间(1,5)上可导（D）在区间(1,5)上有最大值【答案】（A）。【解析】只有闭区间上的连续函数才满足最值定理，而（B）（D）选项均为开区间，故错误，而连续不一定可导，故（C）错误，连续函数一定可积故选（A）。3.0cosdxxx（）（A）0（B）1（C）1（D）2【思路点拨】两类型函数相乘的积分采取分部积分法计算。【答案】（D）。【解析】πππ00000cosddsin(sin)sindcos2xxxxxxxxxx，故选（D）。4.由曲线,yxyx所围成的平面图形的面积是（）（A）32（B）12（C）13（D）16【思路点拨】平面图形的面积计算转化为定积分的计算。【答案】（D）。【解析】曲线,yxyx的交点为(1,1)，故其面积2019浙江专升本考试群6038161391312200211()326Sxxdxxx，故选（D）。5.二阶微分方程263esincosxyyyxx，则其特解的形式为（）（A）2e(cossin)xaxbx（B）2e(cos2sin2)xaxbx（C）2e(cossin)xxaxbx（D）2e(cos2sin2)xxaxbx【思路点拨】二阶常系数非齐次微分方程的特解形式，需先求出其对应齐次微分方程的通解，再根据公式与原则设特解形式。【答案】（B）。【解析】先求其对应的齐次微分方程60yyy的通解为2312xxCeCe，而原方程可化为236esin22xyyyx，则可设2(cos2sin2)xyeaxbx，显然与齐次方程无重根，故2(cos2sin2)xyeaxbx，故选（B）。非选择题部分注意事项：1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。2.在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。二．填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）6.极限20limlnsin()xxx。【答案】0。【解析】该极限位0类型，先转化为，再使用洛必达法则进行计算，222200021cos()2lnsin()sin()limlnsin()limlim11xxxxxxxxxxx20lim2cos()0xxx。7.函数sinyx的定义域是。【答案】[2π,(21)π],kkkZ。【解析】要使得sinx有意义，则sin0x，故[2π,(21)π],xkkkZ。8.已知(1)1f，0(1)(1)limxfxfxx。【答案】2。【解析】将极限转化成导数的定义式0(1)(1)limxfxfxx0(1)(1)(1)(1)limxfxfffxx00(1)(1)(1)(1)limlimxxfxffxfxx2(1)2f。（隐函数求导）9.若函数()yyx由方程sin1eyyx确定，则y。2019浙江专升本考试群603816139【答案】sinsin1cosyyeyxey。【解析】该题为隐函数求导，sin1eyyx两边同时对x求导可得sinsincosyyyexeyy，由此可得sinsin1cosyyeyxey。10.dlnxxx。【答案】lnlnxC。【解析】所求积分存在导数关系，可采用第一类换元法（凑微分法）计算ddlnlnlnlnlnxxxCxxx。11.极限2112limsin2sinsin1nnnnn用定积分表示。【思路点拨】定积分的定义式无穷项求和的形式01lim()iiifxx（为ix中最大的长度），考察最多的公式为1011lim()dnniiffxxnn，先将被求极限变形成标准形式，再根据该公式进行转化。【答案】10sindxxx。【解析】211211122limsin2sinsin1=limsinsinsinnnnnnnnnnnnnnnn，即1011limsinsindnniiixxxnnn。12.211(1)nnnxn的收敛区间为。【思路点拨】幂级数的收敛半径半径和收敛区间的计算可运用公式11lim1nnnnnaxax。【答案】(1,1)。2019浙江专升本考试群603816139【解析】12321(1)1lim1(1)nnnnnxnxn，可解得21x，故x的收敛区间为(1,1)。13.常微分方程2()()yPxyQxy的通解是。【思路点拨】类似于()()(0,1)nyPxyQxyn的这类微分方程，解法如下，两边同时除以ny可得1()()nnyyPxyQx，令1nzy，则(1)nznyy，即1nzyyn，原微分方程可化为一阶线性微分方程()()1zPxzQxn进行求解。【答案】()()1e[()e]PxdxPxdxyQxdxC。【解析】对2()()yPxyQxy两边同时除以2y可得21()()yyPxyQx，令1zy，原微分方程可化为一阶线性微分方程()()zPxzQx进行求解，即()()zPxzQx，由一阶微分线性方程的求解公式可求得()d()de[()ed]PxxPxxzQxxC，即()d()d1e[()ed]PxxPxxQxxCy,所以()d()d1e[()ed]PxxPxxyQxxC。13.法向量是(1,3,2)a且过点(1,0,1)的平面方程是。【思路点拨】平面方程一般通过点法式求解，即利用一个法向量(,,)lnmn与平面经过的一个点111(,,)Axyz，则平面方程为111()()()0lxxnyymzz。【答案】3230xyz。【解析】由平面方程的点法式可求得其平面方程为(1)3(0)2(1)0xyz，化简可得3230xyz。15.球面222(2)4xyz与平面2260xyz之间的最短距离是。【思路点拨】球面到平面的最短距离可转化为球心到平面的距离减去半径。2019浙江专升本考试群603816139【答案】462。【解析】球心为(0,0,2),根据点到平面的距离公式000222AxByCzDdABC可计算，球心到平面的距离222201012264621(1)d，又球面的半径为2，从而可知球面到平面的最短距离为462。三、计算题（本题共有8小题，其中16～19小题每小题7分，20～23小题每小题8分，共60分。计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分）16.设3esin(1),0,sin()1,0,3xxaxxxxfxx若()fx连续，求a的值。【思路点拨】对于分式极限如果极限存在，若分母趋向0，则分子也必须趋向0。【答案】1a。【解析】因为函数连续，则函数在0x处连续，故有01lim()(0)3xfxf，而233000esin(1)esinlim()limlimsinxxxxxxaxxxaxaxfxxx20sincos2lim3xxxexexaaxx，其中0x时，分母230x，要保证其极限要存在，则0lim(esinecos2)0xxxxxaax，故1a。17.已知21e,0,()0,0,xxfxx求()fx。【思路点拨】求分段函数导数时，分段点的导数必须运用导数的定义式。【答案】2132e,0,()0,0xxfxxx。。【解析】当0x时，2132()exfxx，而0x时，22110001()(0)e(0)limlimlim00exxxxxfxfxfxx，故其导函数2132e,0,()0,0xxfxxx。18.求2exyx的单调区间和凹凸区间。【答案】1(,0)0,2，为单调递减区间，1,2为单调递增区间，(,0)为其凸区间，2019浙江专升本考试群603816139(0,)为其凹区间。【解析】其定义域为(,0)(0,)，对其求导222222ee(21)exxxxxyxx，令0y，则12x，又0x是其不可导点，将定义域分为11(,0)0,,,22，，在1(,0)0,2，上，()0fx，为单调递减区间，而在1,2上，()0fx，为单调递增区间。求222233114e242e(221)xxxxxyxx，在(,0)上，0y，为其凸区间，在(0,)上，0y，为其凹区间。19.讨论方程231cosxx有几个根。【思路点拨】涉及到方程根的个数问题通常需要结合函数的单调性、零点定理和函数的图像进行分析。【答案】2。【解析】设2()31cosfxxx，则其导数为()6sinfxxx，由于一阶导数难以看出符号，则可求其二阶导数()6cos0fxx，则()6sinfxxx在R上递增，容易发现(0)0f，故在(,0)上，()0fx，()fx单调递减，(,0)上，()0fx，()fx单调递增，故函数在0x处取最小值，(0)1f，又+lim()lim()xxfxfx，根据单调性与零点存在定理可知，2()31cos=0fxxx有两个根。20.求sin2dxxx。【答案】11cos2sin224xxxC【解析】111sin2ddcos2cos2cos2d222xxxxxxxxx11cos2sin224xxxC。21.102ln(1)d1xxx。【答案】2ln2。【解析】11002ln(1)d2ln(1)dln(1)1xxxxx1220ln(1)ln2x。22.计算瑕积分10d(1)xxx。【思路点拨】瑕积分可以进行换元转换成定积分计算。【答案】2ln(21)。2019浙江专升本考试群603816139【解析】11002dd2(1)1()xxxxx，令πtan04txt，积分可化为πππ4440200dtan22secd(2lnsectan)2ln(21)1(tan)tttttt。23.把函数21()6fxxx展开成x的幂级数，并求收敛域。【思路点拨】幂级数展开先将被展开