高中必修一数学知识点总结-(2019新教材人教A版)

1高中数学必修1知识梳理（新教材）第一章集合与常用逻辑用语一、集合的概念1.集合的定义：某些指定的对象集在一起就构成一个集合，集合中的每个对象叫集合的元素。2.元素的性质：(1)确定性。给定一个集合，集合中的元素是确定的；(2)互异性。集合里不允许有相同的元素重复出现；(3)无序性。集合里的元素构成与元素的顺序无关。3.元素与集合的关系：属于“∈”与不属于“∉”的关系。4.集合的表示方法：(1)列举法。把集合中的元素一一列举出来。(2)描述法。集合中的元素公共属性描述出来。(3)图示法。①Venn图：用一条封闭的曲线的内部来表示的一个集合。如用Venn图表示A包含于B。②数轴法。5.集合的分类(1)有限集。含有有限个元素的集合；AB2(2)无限集。含有无限个元素的集合；(3)空集∅。不含任何元素的集合。6.常用集合(1)N：非负整数集(或自然数集)(2)N*或N+：正整数集(3)Z：整数集(4)Q：有理数集(5)R：实数集二、集合间的基本关系1.包含关系：（1）子集：对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)。规定：①任何一个集合是它本身的子集。对于集合A，B，C，如果𝐴⊆𝐵，且𝐵⊆𝐶，那么𝐴⊆𝐶。②空集是任何集合的子集；空集是是任何非空集合的真子集。（2）真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作A⊊B2.相等关系：例如：A={4,1,2,3},B={1,2,3,4}，记作：{𝐴⊆𝐵𝐵⊆𝐴⟺𝐴=𝐵。即A，B中的元素是一样的。3.关于子集的结论：一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，其非空真子集数为2n-2个，其非空子集数为2n-1个。特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。三、集合的基本运算31.交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B。例：。2.交集的性质：A∩B=B∩A；A∩A=A；A∩∅=∅∩A=∅；如果A⊆B，则A∩B=A。强调：当两个集合没有公共元素，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集。3.并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B例：。4.并集的性质：A∪B=B∪A；A∪A=A；A∪∅=∅∪A=A；如果A⊆B，则A∪B=B。5.全集：如果一个集合U含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。6.补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记做。7.补集的性质：①𝐴⋂∁𝑈𝐴=∅②𝐴∪∁𝑈𝐴=𝑈③∁𝑈(∁𝑈𝐴)=𝐴④∁𝑈𝑈=∅；⑤∁𝑈∅=𝑈⑥反演律结论：∁𝑈(𝐴∩𝐵)=∁𝑈𝐴∪∁𝑈𝐵,∁𝑈(𝐴𝑈𝐵)=∁𝑈𝐴∩∁𝑈𝐵四、充分条件与必要条件A=1,2,3,4,5,B=3,4,5,6,8，AB=3,4,51,3,52,3,4,6=2,3,4,5,64命题：可以判断真假的陈述句叫做命题。也就是说，判断一个语句是不是命题关键是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件。真命题：判断为真的语句叫做真命题。假命题：判断为假的语句叫做假命题。命题的否定：对命题的结论加以否定。1.四种命题的概念原命题逆命题否命题逆否命题若p，则q若q，则p若p，则q若q，则p2.四种命题的关系3.充分条件：若𝑝⇒𝑞，则p是q成立的充分条件提示:我们说p是q的充分条件，是指由条件p可以推出结论q，但这并不意味着只能由这个条件p才能推出结论q．一般来说，对给定结论q，使得p成立的条件p是不唯一的．4.必要条件：若𝑞⇒𝑝，则p是q成立的必要条件5.充要条件：若𝑝⇔𝑞，则p是q成立的充要条件，同时q也是p的充要条件。五、全称量词与存在量词1.全称量词与全称量词命题：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示。含有5全称量词的命题叫做全称量词命题，∀x∈M，p(x)。2.存在量词与存在量词命题：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示。含有存在量词的命题叫做存在量词命题，∃x∈M，p(x)。3.全称量词命题与存在量词命题的否定全称量词命题∀x∈M，p(x)的否定，∃x∈M，¬p(x)；存在量词命题∃x∈M，p(x)的否定，∀x∈M，¬p(x)。第二章一元二次函数、方程和不等式一、等式性质与不等式性质1.关于实数a，b大小的比较，有以下基本事实a＞b⟺a－b＞0；a=b⟺a－b=0；a＜b⟺a－b＜0．从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小。二、基本不等式∀a,b∈R,a＞0,b＞0,有√𝑎𝑏≤𝑎+𝑏2，当且仅当a=b时，等号成立。三、二次函数与一元二次方程、不等式一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0，其中a，b，c均为常数，a≠0．6二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系四、总结一元二次不等式求解过程第三章函数的概念与性质一、函数的概念及其表示1.概念：设A,B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确7定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做定义域，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。2.区间类型：实数a与b都叫做相应区间的端点，在数轴表示时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点。“+∞”读作“正无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”3.分段函数对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的解析式的函数。二、函数的基本性质1.单调性(1)增函数：当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，就称它是增函数；(2)减函数：当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，就称它是减函数。(3)最大值：设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①∀x∈I，都有f(x)≤M；②∃x0∈I，使得f(x0)=M；8那么我们称M是函数y=f(x)的最大值。(4)最小值设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①∀x∈I，都有f(x)≥M；②∃x0∈I，使得f(x0)=M；那么我们称M是函数y=f(x)的最小值。2.奇偶性(1)奇函数：设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫奇函数；(2)偶函数：设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫偶函数。三、幂函数1.概念：函数y=xa叫做幂函数，其中a为常数2.a=1，2，3，12，-1时的图象与性质第四章指数函数与对数函数一、指数1.n次方根①xn=a，x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*；②n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数；9③n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数；④√𝑎𝑛叫做根式，n为根指数，a为被开方数2.性质①0的任何次方根都是0，√0𝑛=0；②负数没有偶次方根；③(√𝑎𝑛)2=𝑎；④当n为奇数时，√𝑎𝑛𝑛=𝑎；当n为偶数时，√𝑎𝑛𝑛=|𝑎|={𝑎,𝑎≥0−𝑎0。3.分数指数幂①正数的正分数指数幂：𝑎𝑚𝑛=√𝑎𝑚𝑛(𝑎0,𝑚,𝑛∈𝑁∗,𝑛1)；②正数的负分数指数幂：𝑎−𝑚𝑛=1𝑎𝑚𝑛=1√𝑎𝑚𝑛(𝑎0,𝑚,𝑛∈𝑁∗,𝑛1)。③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义④运算性质与整数指数幂相同：aras=ar+s(a＞0,r,s∈Q);(ar)s=ars(a＞0,r,s∈Q);(ab)r=arbr(a＞0,b＞0,r∈Q).二、指数函数1.概念：y=ax(a＞0,且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，定义域为R。2.指数函数的图象与性质10a三、对数1.定义：ax=N(a＞0,且a≠1)，x叫做以a为底N的对数。2.表达式x=logaN，a叫做对数的底数，N叫做真数。3.常用对数以10为底的对数，log10N记为lgN。4.自然对数：以e为底的对数，log𝑒𝑁记为lnN。5.对数与指数的关系当a＞0,a≠1时，ax=N⟺x=logN负数和0没有对数；loga1=0,logaa=16.对数的运算①对数的运算法则如果a＞0,且a≠1,M＞0,n＞0,那么loga(MN)=logaM+logaN；log𝑎𝑀𝑁=log𝑎𝑀−log𝑎𝑁；log𝑎𝑀𝑛=𝑛log𝑎𝑀②对数换底公式11log𝑎𝑏=log𝑐𝑏log𝑐𝑎(𝑎0,且𝑎≠1；𝑏0；𝑐0,且𝑐≠1)。四、对数函数1.函数𝑦=log𝑎𝑥(𝑎0,且𝑎≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，+∞)。2.对数函数的图象与性质：3.指数函数与对数函数互为反函数，它们的定义域与值域正好互换。五、函数的应用1.函数的零点与方程的解①使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点，方程f(x)=0有实数解⟺函数y=f(x)有零点⟺f(x)的图象与x轴有公共点。②函数零点存在定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)＜0，那么，函数y=f(x)在区间[a,b]内至少有一个零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解。2.用二分法求方程的近似解二分法：对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得12到零点近似值的方法。第五章三角函数一、任意角和弧度制1.任意角包括正角、负角和零角。(1)正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角。(2)负角：按顺时针方向旋转形成的角。(3)零角：如果一条射线没有任何旋转，就称它形成了一个零角。2.角α的相反角为-α，角的减法可以转化为角的加法，即α-β=α+(-β)。3.所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。4.弧度制是度量角的单位制。(1)长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，单位用rad，读作弧度，弧度的单位通常略去不写。(2)正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0。5.弧度与角度的换算二、三角函数的概念1.三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。正弦函数：y=sinx，x∈R13余弦函数：y=cosx，x∈R正切函数：y=tanx，x≠𝜋2+kπ(k∈Z)2.终边相同的角的同一三角函数的值相等。sin(α+k·2π)=sinα，cos(α+k·2π)=cosα，tan(α+k·2π)=tanα，其中k∈Z。3.同角三角函数的基本关系(1)同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1sin2α+cos2α=1；(2)同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切sin𝛼cos𝛼=tan𝛼。三、诱导公式公式一：sin(α+2kπ)=sinα，cos(α+2kπ)=cosα，tan(α+2kπ)=tanα公式二：sin(π+α)=−sinα，cos(π+α)=−cosα，tan(π+α)=tanα公式三：sin(−α)=−sinα，cos(−α)=cosα，tan(−α)=−tanα公式四：sin(π−α)=sinα，cossin(π−α)=−cosα，tansin(π−α)=−tanα公式五：sin(𝜋2−𝛼)=cos𝑎，cos(𝜋2