椭球面上的基本计算

第七章椭球面上的基本计算§1地球椭球的基本知识一、地球形状的概念地球的自然表面——不规则；不能在上面进行计算；大地水准面——平均海水面延伸得到的封闭曲面，最接近大地自然表面；∵大地水准面具有性质：大地水准面上任一点处的垂线（重力方向）与该点处切面正交；又：重力是离心力与地心引力的合力（离心力与地心引力之比约1：300），而大地水准面上各点处引力不等，造成各点处垂线方向各异。∴各点处切面组成的曲面——大地水准面亦不规则，有微小起伏，是一个具有物理性质的曲面。实践和理论均可证明：1）在各水准面（与大地水准面的不平行性不很明显）上测得的水平角，因归化到大地水准面上改正极微小，完全可以看成大地水准面上的角值；2）各高程面上测得之边长也可化算到大地水准面上；3）地面点的高程亦从大地水准面起算。结论：大地水准面是测量外业的基准面；但它是物理曲面而非数学曲面，所以不能作为测量计算的基准面。大地体——大地水准面包围的形体；地球椭球——代表地球形体的旋转椭球体；椭球面上处处法线与该点的切面正交，是一个具有数学性质的曲面；总地球椭球——与大地体最接近的地球椭球。应满足：①其中心应与地球质心重合；②旋转轴应与地轴重合，赤道应与地球赤道重合；③体积应与大地体体积相等；④总椭球面与大地水准面之间的高差平方和最小。参考椭球——与某一局部大地水准面密切配合的椭球。二、椭球的几何元素与参数1.椭球的元素长半径：a短半径：b2.椭球的参数扁率：＝(a－b)/a第一偏心率：abae/22第二偏心率：bbae/22式中：22ba——椭圆的焦距，即椭圆的焦点到椭圆中心的距离离心力地心引力重力G3.关系式21eba21eab)1(2eee)1(2eee(1＋e′2)(1－e2)＝1e2＝2－2≈2(≈1/300)我国解放前使用海福特椭球等。解放后，我国的“1954年北京坐标系”采用克拉索夫斯基椭球，“1980国家大地坐标系”采用“IAG75”椭球，而全球定位系统（GPS）采用的是WGS-84椭球参数。这三个椭球的元素和参数参见P2表7-1。练习及作业：1.阅读①《控制测量学》上册，§1.21.2.1、1.2.2②《控制测量学》下册，§7.12.思考①如何理解大地水准面是测量外业的基准面？为什么不能作为测量计算的基准面？②如何旋转椭圆得到参考椭球？§2椭球上点的位置的确定一、椭球上点的高程位置的确定大地高H大——地面点沿法线方向到参考椭球面的距离。大地高可以由以下两种方法求得：H大＝H正＋N式中：H正——B点的正高高程N——大地水准面差距（见大地重力学中斯托克司公式）H大＝H常＋ζ式中：H常——B点的正常高高程ζ——高程差异或高程异常（见重力测量学）因正常高能精确求得，ζ亦能严密解算，故，此方法是严密的。（注：①大地水准面与似大地水准面很接近，在高山区最大差异不超过±4m，在平均海水面上两面重合，即H0正＝H0常；②B点法线与重力线非常接近，其差异对高程的影响很小，讨论高程时可不予考虑）二、椭球面上点的平面位置的确定1.椭球面上的线和圈子午圈——包含短轴的平面与椭球面的截线；亦称经圈，经线，子午线。平行圈——垂直于短轴的平面与椭球面的交线；亦称纬圈、纬线。最大的平行圈，即过椭球中心垂直于短BH正H常似大地水准面大地水准面Nζ椭球面NT平行圈法法线截线赤道子午线S轴的平面与椭球面的交线，称为赤道。法截面、法截线——包含某点法线的平面称为法截面，法截面与椭球面的交线称为法截线。卯酉圈——与某点子午面正交的法截面在椭球上的截线。2.椭球上的坐标系统和空间直角坐标系统①大地坐标系统（B、L）大地经度L——过P点的子午面与起始子午面构成的两面角；由起始子午面起算，逆转向东为正（东经0～180°），顺转向西为负（西经0～180°）；大地纬度B——过P点的法线与赤道平面的夹角；由赤道平面起算，向北为正（北纬0～90°），向南为负（南纬0～90°）。②子午面直角坐标系统（L，x，y）L——大地经度；x，y——子午面内的平面直角坐标系统；子午面与赤道平面的交线为x轴，椭球短轴为y轴。③空间直角坐标系统（X，Y，Z）o——参考椭球的中心X——起始子午面与赤道面的交线Y——在赤道面内，垂直X（右手系）Z——与椭球短半径重合3.坐标系统间的关系①大地坐标系与子午面直角坐标系的关系点在两坐标中大地经度L相同，推导大地纬度B与直角坐标x，y的关系如下：因曲线在P点处的一阶导数xydd就是P点处曲线切线的斜率，即：BBxycot)90tan(dd又，对子午椭圆方程式12222byax微分，有：0dd2222xybyax即：yxabxy22dd因21eab，故：yxexy)1(dd2NLPG起W始oE子B午赤道平面线SyLxPGyoxZMH大GPZmoYXmYmxXyPxyB+90°BBox即：yxeB)1(cot2也即：y＝xtanB(1－e2)(1)将（1）式代入椭圆方程，得：1)1(tan2222222beBxax(2)由（1），（2）两式可得：BWaBeBaxcossin1cos22﹡BeWaBeBeaysin)1(sin1sin)1(2222②大地坐标系与空间直角坐标系的关系空间M点的大地坐标为L，B，H；其空间直角坐标为X，Y，Z。首先推导空间直角坐标系与子午面直角坐标系关系如下：Xm＝xmcosLYm＝xmsinL（1）Zm＝ym又，从右图可知：xm＝xp＋HcosB＝(a/W)cosB＋HcosB（2）ym＝yp＋HsinB＝(a/W)(1－e2)sinB＋HsinB将（2）代入（1）得：Xm＝xmcosL＝(N＋H)cosBcosLYm＝xmsinL＝(N＋H)cosBsinL(3)Zm＝ym＝(N－Ne2＋H)sinB式中：N＝a/WNe2＝ae2/W练习及作业：1.阅读§7.2浏览已知空间直角坐标计算大地坐标的（7-31）、（7-32.）、（7-34）式2.作图并复习定义①大地坐标系②子午面直角坐标系③空间直角坐标系3.思考①大地坐标系与子午面直角坐标系如何建立关系？Z(y)MGPoYLXxoYxmLMxXZ(y)MHPxpZm＝ymypBx②大地坐标系与空间直角坐标系如何建立关系？§3几种主要的曲率半径一、子午曲率半径M已知，平面曲率半径公式22232232dd])dd(1[)1(xyxyyy因：BBxycot)90tan(dd)1(sin)sin1(ddsin1dd232322222eBaBexBBxy（参见上节﹡式）代入平面曲率半径公式，得子午曲率半径公式23222)sin1()1(BeeaM由上式知：MB＝0°＝a－ae2（赤道处子午曲率半径小于a）baMB290﹡（两极处子午曲率半径大于a）﹡abe21二、卯酉曲率半径N1.麦尼尔第二定律（参见微分几何——北京测绘学院）通过P点引两个截弧：法截弧与斜截弧。法截弧的曲率半径为N，斜截弧的曲率半径为r，若法截弧与斜截弧在P点有公共切线，则r＝NcosB（B为两曲率半径的夹角）。2.卯酉曲率半径取法截弧为卯酉圈，斜截弧为平行圈，根据麦尼尔第二定律，有：BxBrNcoscos式中x——P点在子午面直角坐标系统中的x坐标B——P点的大地纬度将关系式BeBax22sin1cos代入上式得BeaN22sin1由上式知：NB＝0°＝a（赤道处卯酉曲率半径等于a）baNB290﹡（两极处卯酉曲率半径大于a）﹡abe213.子午、卯酉两曲率半径的关系yrP子平行圈B卯午酉线N线B1cos11cos122222BeeBeMN当B＝90°时，1MN，即极点处baNM2。ba2称为极半径。三、任意方向（大地方位角A）法截弧的曲率半径RA1.大地方位角定义PQ方向的大地方位角APQ为：过P点法线和Q点的平面，与P点子午面之间的夹角（由正北顺时针计）。2.大地方位角为A的法截弧曲率半径欧拉公式：NAMARA22sincos1故：AMANMNRA22sincos由上式知：RA＝0°＝M；RA＝90°＝NA：0～90°～180°时，RA：M～N～M——曲率半径具有对称性，即对称位置的法截弧在P点有相同的曲率半径。四、平均曲率半径R1.平均曲率半径定义设过P点可以做2π/⊿A个法截线，各法截线的大地方位角为：0，⊿A，2⊿A，…，2π－⊿A；过P点的各法截线曲率半径平均值为：ARRAA2201则平均曲率半径ARRRAAAA2limlim200012.平均曲率半径计算公式20222dsincos4AAMANMNR（顾及曲率半径的对称性）将上式改化成tttarctand112的形式，分子、分母除以MN，有：2022dsincos2AANMAMNMNRAQP⊿A2⊿A3⊿A02π-⊿A⊿A⊿A⊿A⊿AP分母提取公因式20222022dcos1)tan(12d))tan(1(cos2AANMANMMNAANMAMNMNR设ANMttan，AANMtdcos1d2，积分上下限也变，则MNMNtMNttMNR)02(2)(arctan21d2002所以，平均曲率半径MNR练习及作业：1.阅读§7.3浏览7.3.3主曲率半径的计算；7.3.6及表7-4、7-52.思考①子午曲率半径和卯酉曲率半径，当B由0～90°时的变化；②子午曲率半径和卯酉曲率半径的大小关系；③什么是大地方位角？§4弧长的计算一、子午线长度由图知：dS＝MdB即：dS＝a(1－e2)(1－e2sin2B)-3/2dB故：21212121d)sin1()1(d)sin1()1(d2322223222BBBBBBBBBBeeaBBeeaSS求积分过程：1）将积分项用二项式定理（形如下式）展开：(1－x)n＝1－nx＋(1/2!)n(n－1)x2－(1/3!)n(n－1)(n－2)x3＋…2）应用三角函数积分递推公式逐项积分（先将正弦指数函数化为余弦的倍角函数，形如下式）：sin2B＝1/2－(cos2B)/2……3）整理合并同类项，得子午线上弧长P16，7-97式。该式B1＝0（即从赤道起算的子午弧长公式）。（注：当弧长S≤40km，可把子午圈视为圆弧，圆的半径为其中纬度Bm＝(B1＋B2)/2处的子午曲率半径子午线P2dSB2dBP1B1bBaAN1A1B1B2N2oKaKbMm，则子午弧长公式为：S＝Mm(B2－B1)″/ρ″。该式精度当S≤40km时，可达1mm。）二、平行圈长度由图知：S′＝lּrr＝NcosB（麦尼尔第二定律）lBNScos式中：N——卯酉曲率半径B——平行圈所处的大地纬度l——弧长S所对应的经度差由上式知，相同经差l的平行圈长度S′，因所处纬度B不同而不同。练习及作业：阅读浏览§7.4.4观察表7-6数值§5相对法截弧与大地线一、相对法截弧图中：N1，N2——A，B点的曲面法线Ka，Kb——A，B点曲面法线与旋转轴交点OKa＝A1Ka－A1O＝A1Ka－yA＝N1sinB1－a(1－e2)sinB1(1－e2sin2B1)-1/2＝ae2sinB1(1－e2sin2B1)-1/2OKb＝ae2sinB2(1－e2sin2B2)-1/2由上可知，椭球面上点的法线与旋转轴的交点：1）交点位置仅与点的纬度B有关；2）若两点B2＞B1，则有OKb＞OKa；3）B相等（平行圈上）的所有点，其法线交短轴于一点；4）L相同，B不等的所有点的法线，与旋转轴相交不在一点，但在一个平面内；5）B＝0（赤道上）所有点的法线交于椭球O点；6）L不同，B不同的两点，其法线将在空间交错，而互不相交。设在椭球上（忽略垂线偏差的影响）A点和B点分别安置经纬仪，仪器纵轴分别与Aka，BKb重合，则：由A照准B→A