梯形中添加辅助线的六种常用技巧

1梯形中添加辅助线的六种常用技巧浙江唐伟锋梯形是不同于平行四边形的一类特殊四边形，解决梯形问题的基本思路是通过添加辅助线，将梯形进行割补、拼接转化为三角形、平行四边形问题进行解决。一般而言，梯形中添加辅助线的常用技巧主要有以下几种——一、平移一腰从梯形的一个顶点作一腰的平行线，将梯形转化为平行四边形和三角形，从而利用平行四边形的性质，将分散的条件集中到三角形中去，使问题顺利得解。例1、如图①，梯形ABCD中AD∥BC，AD=2cm，BC=7cm，AB=4cm，求CD的取值范围。解：过点D作DE∥AB交BC于E，∵AD∥BC，DE∥AB∴四边形ABED是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）∴DE=AB=4cm，BE=AD=2cm∴EC=BC－BE=7－2=5cm在△DEC中，EC－DE＜CD＜EC＋DE（三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）∴1cm＜CD＜9cm。二、延长两腰将梯形的两腰延长，使之交于一点，把梯形转化为大、小两个三角形，从而利用特殊三角形的有关性质解决梯形问题。例2、如图②，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，求证：梯形ABCD是等腰梯形。证明：延长BA、CD，使它们交于E点，∵AD∥BC∴∠EAD=∠B，∠EDA=∠C（两直线平行，同位角相等）又∵B=∠C∴∠EAD=∠EDA∴EA=ED，EB=EC（等角对等边）∴AB=DC∴梯形ABCD是等腰梯形（两腰相等的梯形是等腰梯形）。三、平移对角线从梯形上底的一个顶点向梯形外作一对角线的平行线，与下底延长线相交构成平行四边形和一特殊三角形（直角三角形、等腰三角形等）。例3、如图③，已知梯形ABCD中，AD=1.5cm，BC=3.5cm，对角线AC⊥BD，且BD=3cm，AC=4cm，求梯形ABCD的面积。解：过点D作DE∥AC交BC延长线于E∵AD∥BC，DE∥AC∴四边形ACED是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）∴CE=AD=1.5cm，DE=AC=4cm∵AC⊥BD∴DE⊥BD2∴S梯形ABCD=111()()222ADBChCEBChBEh（h为梯形的高）211346cm22BDDE。四、作高线从梯形上底的一个顶点（或两个顶点）向下底作高线，将特殊梯形（等腰梯形、直角梯形）转化成矩形和直角三角形。例4、如图④，已知梯形ABCD中，DC∥AB，DA⊥AB于A，DC=1，DA=2，AB=3，求∠B的度数。解：过C点作CE⊥AB，E为垂足，∵DC∥AB，DA⊥AB∴DA⊥DC又∵CE⊥AB∴四边形AECD是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）∴AE=DC=1，CE=DA=2∵AB=3∴EB=AB－AE=3－1=2=CE∴∠B=45°（等腰直角三角形锐角度数等于45°）。五、作对角线在梯形中将没有画出的对角线作出来，利用特殊梯形对角线的性质（如等腰梯形对角线相等）将题目中的条件进行转化，从而解决问题。例5、如图⑤，已知梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，延长AB到E，使BE=CD，求证：AC=CE。证明：连结BD，∵AD与BC是腰且AD=BC∴梯形ABCD是等腰梯形（两腰相等的梯形是等腰梯形）∴AC=BD（等腰梯形两条对角线相等）∵DC∥AB即DC∥BE，BE=CD∴四边形DBEC是平行四边形（一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形）∴BD=CE（平行四边形对边相等）∴AC=CE。六、过一顶点和一腰中点作直线过梯形的一个顶点及一腰中点作直线（具体可利用旋转得到），与梯形底边的延长线相交，构成三个特殊三角形（其中两个成中心对称），从而将问题转化到三角形中进行解决。例6、如图⑥，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB中点，DE⊥CE，求证：CD=AD＋BC。证明:将△AED绕E点旋转180°到△EBF位置，使AE与BE重合，记D的对应点为F，则BF=AD，ED=EF，∠A=∠EBF，∵AD∥BC∴∠A＋∠ABC=180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠EBF＋∠ABC=180°，即FB与BC在同一条直线上∵CE⊥DE，ED=EF∴CE是DF的中垂线∴CD=CF=CB＋BF=CB+AD（线段中垂线上的点到这条线段两端点的距离相等）。