2020学而思教材讲义高一数学寒假(目标班、尖子班)-高一寒假-第3讲-数列的小伙伴们-教师版-目标

1第3讲·目标班·教师版教师备案本讲内容分成两部分：3．1等比数列的基本量；3．2等比数列的性质初步．本讲内容较少，可以与上一讲进行一个时间上的均衡．本讲思路是：先从直观上认识等比数列，通过一些具体的数列感受等比数列并学习等比中项，之后再学习等比数列的通项公式，熟悉通项公式以及正确计算等比数列的项数．再学习等比数列的求和公式，以及一些简单的性质．希望把概念分开讲解，分别配例题．国际象棋的故事在暑期指数函数已经讲过了，此处就尽量不用了，由汉诺塔引入．知识切片3.1等比数列基本量计算满分晋级数列1级与数列的第一次亲密接触数列2级数列的小伙伴们数列3级等差数列深入第3讲数列的小伙伴们2第3讲·目标班·教师版等比数列引入汉诺塔在印度，有这么一个古老的传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，印度教的主神大梵天在创造世界的时候做了三根金刚石柱子，在其中一根柱子上从下到上地放着由大到小的64片黄金圆盘，这就是所谓的汉诺塔（如下图）．不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些圆盘：一次只移动一片．．．．．．．，不管在哪根柱子上，小．圆盘．．必在大．．．圆盘．．上面．．．当所有的金盘都从梵天放好的那根柱子上移到另外一根上时，世界就将在一声霹雳中消灭，梵塔、庙宇和众生都将同归于尽．故汉诺塔问题又被称为“世界末日问题．”汉诺塔初始模型64636221CBA∙∙∙∙∙∙要把圆盘移动到另外一根柱子上，至少需要移动多少次呢？设有n个圆盘，要从A移动到C，至少需要移动的次数为na．易知12n，时，1213aa，，3n的时候，可以考虑先将上面两个小的移到B上，要23a次，再将最大的那个移到C上，要1次，最后将B上的两个移到C上，要23a次，总共要2217a次．对于一般的n，我们可以类似考虑（如下图）：先将上面1n个圆盘移到B上，要1na次；然后将最大的那个盘子移到C上，要1次移动；最后再将B上的那1n个圆盘移到C上，要1na次．这种方法需要的次数为111121nnnaaa．n－11n∙∙∙∙∙∙ABC22CBA∙∙∙∙∙∙n1n－1①②n∙∙∙∙∙∙ABC12③下面简单说明一下，至少要移动的次数121nnaa．只需要考虑最大的那个圆盘移动到C上的时候，此时，比较小的1n个圆盘必定是图②中的摆放方式，这1n个圆盘从A到B要1na次，然后这1n个盘子移到C又要1na次，因此总共至少要121na次才行．综上可得到数列na的递推公式121nnaa，则3第3讲·目标班·教师版232121231212212221222121nnnnnnnaaaaa（也可变形为1121nnaa，于是2112112121212nnnnnaaaa．）假设一秒钟能移动一次，那完成目标需要的时间就是6421秒，大概是5845亿年，地球是远撑不到那个时候的．当然，我们不是要探讨地球什么时候毁灭，而是要研究像231222，，，，这样的数列，比如怎么求和，类似于这样的数列就是等比数列．考点1：等比数列的概念1．文字定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母(0)qq表示．2．符号定义：数列na中，若1nnaqa（q为常数，0q），则称na为等比数列．教师备案对于等比数列定义的详细理解：①由于等比数列每一项都可作为分母，故每一项均不为0，因此q也不为0．②“从第二项起”是因为首项没有“前一项”．③1nnaa均为同一常数，即比值相等，由此体现了公比的意义，同时还要注意公比是每一项与前一项之比，防止前后次序颠倒．④如果一个数列不是从第2项起而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列．这时可以说此数列从第2项起或第3项起是一个等比数列．⑤如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比尽管是一个与n无关的常数，但却是不同的常数，这时此数列不是等比数列．⑥常数列都是等差数列，但却不一定是等比数列．若常数列是各项都为0的数列，它就不是等比数列．当常数列各项不为0时，是等比数列．【例1】等比数列的认识下列数列是等比数列吗?如果是，求出公比，如果不是说明理由．①1010，，，，；②2222，，，，；③1248，，，，；④39183672，，，，，【追问】等比数列是不是一定是单调的？【解析】①④不是等比数列，②③是等比数列．①的项中有0，④此数列从第2项起是一个等比数列．②1q，③2q．【追问】主要是希望学生通过一些等比数列的例子探索一下等比数列的单调性，不涉及等比数列的通项公式．1q时，等比数列是常数列，不单调性；0q时，等比数列一定是正负交替的，这时数列一定不单调，如1248，，，，；1q，10a时数列单调增加，如1248，，，，；1q，10a时，数列单调递减，如1248，，，，；01q，10a时，数列单调递减，如11124，，，；知识点睛经典精讲4第3讲·目标班·教师版01q，10a时，数列单调递增，如1124，，，．考点2：等比数列的通项公式已知等比数列na，首项为1a，公比为q，第n项为na，通项公式：11nnaaq．11nnaaq教师备案等比数列通项公式的推导：可以直接迭代，根据等比数列定义有2211221nnnnnaaqaqaqaq．也可以用叠乘法进行推导：根据等比数列的定义，可以得到21aqa，32aqa，43aqa，…，1nnaqa．把以上1n个等式左右两边分相乘得13241231nnnaaaaqqqqaaaa个，即11nnaqa，11nnaaq．【例2】等比数列的基本量与通项公式⑴已知数列{}na的通项公式为23nna，则首项1a_____，公比q_____．⑵等比数列48239，，，的第4项4a_______，第20项20a___________．⑶等比数列1113242，，，，的第5项为________，项数n_____．⑷已知等比数列na中，33a，10384a，则该数列的通项na___________．【解析】⑴16a，3q．⑵191622273，；19420422821622233393273qaa，，，．⑶48，；22到52共8项，或是写出通项公式131224nnna知83232．54a．经典精讲知识点睛第n项首项项数减15第3讲·目标班·教师版⑷332n；根据题意得：21913384aqaq得到1342aq，∴1332324nnna．教师备案等比数列的求和中一个关键的问题是正确确定数列的项数，等比数列的公比的幂次成等差数列，故等比数列的项数求法用到等差数列的项数求法，这里的挑战五分钟是为了熟悉项数的求法，避免错误．题目数量较少，用不到五分钟．【挑战五分钟】⑴等比数列12551125，，，，的项数为______．⑵等比数列333327，，，，的项数为_______．⑶等比数列11111248256，，，，，的项数为______．⑷等比数列1116442，，，，的项数为______．⑸等比数列1111136122432n，，，，，的项数为______．⑹等比数列473103333n，，，，的项数为_______．⑺等比数列4128322n，，，，的项数为_______．⑻等比数列31333n，，，，的项数为______．【解析】⑴6；⑵6；⑶9；⑷9；⑸01111323232n，，，，共1n项；⑹3(3)103(2)10310333n，，，，共有(3)14nn项；⑺201211221222n，，，，共21n项．⑻11202223333n，，，，，共有22n项．已知数列na是等比数列，28a，432a，则公比q_______．【解析】2；由等比数列的通项公式18aq，3132aq，∴24q，2q．【点评】如果目测的话，很可能会认为公比是2，漏掉2．考点3：等比数列的求和公式等比数列na的前n项和为nS，有前n项和公式：1111(1)111nnnnaqSaaqaqqqq，，知识点睛na是常数列6第3讲·目标班·教师版1q时，1nSna；1q时，11(1)11nnnaaqaqSqq教师备案等比数列前n项和公式的推导：（一般用得多的是前面的求和公式）法一：由等比数列的定义知2132121nnnnaaqaaqaaqaaq，，，，，将这n个等式的两边分别相加得：23121()nnaaaaaaq，即1()nnnSaSaq，整理得111(1)nnnSqaaqaaq，当1q时，1(1)(2)1nnaqSnq≥，显然此式对1n也成立；当1q时，1nSna．法二：错位相减法（会在春季同步的求和中再次遇到）211111nnSaaqaqaq，将上式两边同乘以q得：231111nnqSaqaqaqaq，两式相减得：11(1)nnqSaaq，以下讨论同法一．教师备案注意等比数列的求和公式对1q的情况需要单独讨论！当1q时，将前n项和公式整理成1(1)1nnaqSq111naaqq11111naaqqqq，，即等比数列的前n项和公式一定有nnSccq的形式，给出等比数列的前n项和公式可以快速看出公比q，且nq前面的系数与常数项互为相反数，由此可以快速解决例4⑷⑸．例：等比数列{}na的前n项和3nnSr，则3q，1r；等比数列{}na的前n项和13nnSr，则3q，整理一下得33nnSr，故3r；等比数列{}na的前n项和213nnSr，则39nnSr，有9q，且3r．这个结论可以这么理解：12nnnaSSn，≥；这样的式子无法算出1a，故1a常常出问题，见易错门诊；要想1a不成问题，希望110aSS成立，故希望00S，即得nnSccq．【铺垫】⑴（2010东城一模文11）设{}na是等比数列，若141,8aa，则q，数列{}na的前6项的和6S．⑵已知数列na是等比数列，前n项和记为nS，132aq，，则6S_______．⑶等比数列4816512，，，，的和为_______．【解析】⑴2,63；3412aaqq；661(12)6312S．经典精讲na非常数列首项项数7第3讲·目标班·教师版⑵189；6631218912S；⑶1020；此等比数列的公比为2，可直接用公式1451221020112nnaaqSq；也可算出项数为8，得84(12)102012nS．【例3】等比数列的前n项和⑴等比数列11148256，，，的和为_______．⑵设4710310()22222nfn（nN），则()fn等于（）A．2817nB．12817nC．32817nD．42817n⑶已知数列na是等比数列，前n项和记为nS，若12a，公比3q，则使得26nS的项数n________．⑷已知等比数列{}na的前n项和为112nnS，则1a______，na_______．⑸已知等比数列{}na的前n项和为1136nnSx，则x的值为（）A．13B．13C．12D．12⑹（目标班专用）已知等比数列na中，332a，392S，求首项1