哈六中2015-2016学年高三数学(理)期末试题及答案

哈尔滨市第六中学2015-2016学年度上学期期末考试高三理科数学考试时间：120分钟满分：150分一、选择题：每小题5分，共12小题1.集合24,031xyxQxxxP,则QP（）A.(12]，B.[12]，C.),1()3,(D.[12)，2.已知复数531izi，则下列说法正确的是（）A．z的虚部为4iB.z的共轭复数为14iC．5zD.z在复平面内对应的点在第二象限3.下列命题中正确命题的个数是（）（1）cos0是2()2kkZ的充分必要条件（2）()sincosfxxx则()fx最小正周期是（3）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变（4）设随机变量服从正态分布(0,1)N,若(1)Pp，则1(10)2PpA.4B.3C.2D.14.某几何体三视图如下，图中三个等腰三角形的直角边长都是2，该几何体的体积为()A．43B.83C.4D.1635.函数12log(sin2coscos2sin)44yxx的单调递减区间为（）A.5(,)88kkkZB.3(,)88kkkZC.3(,)88kkkZD.35(,)88kkkZ6．执行如图程序框图其输出结果是（）A．29B．31C．33D．35正视图俯视图否开始1a21aa30?a侧视图7.变量,xy满足条件1011xyyx，则22(2)xy的最小值为（）A.322B.5C.92D.58．哈六中高一学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现在从中任选3人，要求这三人不能是同一个班级的学生，且在三班至多选1人，不同的选取法的种数为()A.484B.472C.252D.2329.设不等式组0301xy表示的平面区域为D，在区域D内随机取一点，则此点到坐标原点的距离小于2的概率是（）A.33218B.36C.3312D.410.若抛物线22(0)ypxp的焦点为F，其准线经过双曲线22221(0,0)xyabab的左焦点，点M为这两条曲线的一个交点，且MFp，则双曲线的离心率为（）A．222B.22C.12D.12211.在平行四边形ABCD中，0ACCB,22240BCAC,若将其沿AC折成直二面角DACB,则三棱锥DACB的外接球的表面积为（）A．16B.8C.4D.212.已知函数()lnfxxxk，在区间1[,]ee上任取三个数,,abc均存在以()fa，()fb，()fc为边长的三角形，则k的取值范围是（）A．(1)，B.(,1)C.(,3)eD.(3)e，二、填空题：每小题5分，共20分13.在*1(3)()nnNx的展开式中，所有项的系数和为32，则1x的系数等于14.AOB为等腰直角三角形，1OA,OC为斜边AB的高，点P在射线OC上，则APOP的最小值为15.椭圆22221(0,0)xyabab的左焦点为F，(,0),(0,),(0,)AaBbCb分别为其三个顶点.直线CF与AB交于点D，若椭圆的离心率12e，则tanBDC=16.在ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，且2,2cba，则ABC的面积最大值为三、解答题：共70分17.已知数列na的前n项和为nS，且满足NnSann121.(1)求数列na的通项公式;(2)若nnab2log,11nnnbbc,且数列nc的前n项和为nT,求nT的取值范围.18.为了增强环保意识，我校从男生中随机抽取了60人，从女生中随机抽取了50人参加环保知识测试,统计数据如下表所示：（Ⅰ）试判断是否有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关；（Ⅱ）为参加市里举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率为32，现在环保测试中优秀的同学中选3人参加预选赛，若随机变量X表示这3人中通过预选赛的人数，求X的分布列与数学期望.附:2K＝2()()()()()nadbcabcdacbd2()PKk0.5000.4000.1000.0100.001k0.4550.7082.7066.63510.82819.ABC为等腰直角三角形，4BCAC，90ACB，D、E分别是边AC和AB的中点，现将ADE沿DE折起，使面ADE面DEBC，H、F分别是边AD和BE的中点，平面BCH与AE、AF分别交于I、G两点．（Ⅰ）求证：IH//BC；（Ⅱ）求二面角CGIA的余弦值；优秀非优秀总计男生402060女生203050总计6050110AHICDBFGE20.已知椭圆14:22yxE的左，右顶点分别为BA,，圆422yx上有一动点P,点P在x轴的上方，0,1C，直线PA交椭圆E于点D，连接PBDC,.(1)若90ADC,求△ADC的面积S;(2)设直线DCPB,的斜率存在且分别为21,kk,若21kk,求的取值范围.21.设函数21()ln.2fxxaxbx(1)当12ab时，求函数)(xf的最大值；(2)令21()()2aFxfxaxbxx，（03x）其图象上任意一点00(,)Pxy处切线的斜率k≤21恒成立，求实数a的取值范围；(3)当0a，1b，方程22()mfxx有唯一实数解，求正数m的值．选作题：考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，已知C点在⊙O直径的延长线上，CA切⊙O于A点，DC是ACB的平分线，交AE于F点，交AB于D点．（Ⅰ）求ADF的度数；（Ⅱ）若ACAB，求BCAC:．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为sincossin2xy(为参数)，若以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为:2sin()42t（其中t为常数）.（Ⅰ）若曲线N与曲线M只有一个公共点，求t的取值范围；（Ⅱ）当2t时，求曲线M上的点与曲线N上点的最小距离．24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知实数cba,,满足0,0,0cba，且1abc.（Ⅰ）证明：8)1)(1)(1(cba；（Ⅱ）证明：cbacba111.123456789101112ABCABBDBACCD13.-27014.8115.3316.2217.(1)当1n时,11112aS,解得12a当2n时,11112nnaS……①112nnaS……②②-①得112nnnaaa即12nnaa数列na是以2为首项,2为公比的等比数列2nna(2)22loglog2nnnban11111(1)1nnncbbnnnn11111111...223341nTnn=111nnN110,12n1,12nT18.(I)22110(40302020)60506050K27.822K27.8226.635K有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关.(II)X的可能取值为0,1,2,3271)31()0(3XP92)31)(32()1(213CXP94)32)(31()2(223CXP278)32()3(3XPX0123P2719294278()2EX19.(Ⅰ)因为D、E分别是边AC和AB的中点，所以BCED//，因为BC平面BCH，ED平面BCH，所以//ED平面BCH因为ED平面BCH，ED平面AED，平面BCH平面HIAED所以HIED//又因为BCED//，所以IH//BC.(Ⅱ)如图，建立空间右手直角坐标系，由题意得，)0,0,0(D，)0,0,2(E，)2,0,0(A，)0,1,3(F，)0,2,0(E，)1,0,0(H，)2,0,2(EA，)0,1,1(EF，)1,2,0(CH，)0,0,1(21DEHI，设平面AGI的一个法向量为),,(1111zyxn，则0011nEBnEA，001111yxzx，令11z，解得11x，11y，AHICDBFGEzyx则)1,1,1(1n设平面CHI的一个法向量为),,(2222zyxn，则0022nHInCH，002221xzy，令22z，解得11y，则)2,1,0(2n15155321,cos21nn，所以二面角CGIA的余弦值为151520.（1）依题意，)0,2(A.设),(11yxD，则142121yx.由90ADC得1CDADkk,1121111xyxy,124112121211121xxxxxy,解得舍去）(2,3211xx3221y,2332221S.(2)设22,yxD,动点P在圆422yx上,1PAPBkk.又21kk,1212222xyxy,即222212yxx=41122222xxx=222244112xxx=21422xx=21142x.又由题意可知2,22x,且12x,则问题可转化为求函数1,2,22114xxxxf且的值域.由导数可知函数xf在其定义域内为减函数,函数xf的值域为3,00,从而的取值范围为3,00,21解:（1）依题意，知)(xf的定义域为（0，+∞），当21ba时，xxxxf2141ln)(2，xxxxxxf2)1)(2(21211)('令)('xf=0，解得1x．（∵0x），当10x时，0)('xf，此时)(xf单调递增；当1x时，0)('xf，此时)(xf单调递减。所以)(xf的极大值为43)1(f，此即为最大值(2）xaxxFln)(，]3,0(x，则有2000)('xaxxFk≤21，在]3,0(0x上恒成立，所以a≥max020)21(xx，]3,0(0x当10x时，02021xx取得最大值21，所以a≥21(3)因为方程2)(2xxmf有唯一实数解，所以02ln22mxxmx有唯一实数解，设mxxmxxg2ln2)(2，则xmmxxxg222)('2．令0)('xg，02mmxx．因为0m，0x，所以02421mmmx（舍去），2242mmmx，当),0(2xx时，0)('xg，)(xg在（0，2x）上单调递减，当),(2xx时，0)('xg，)(xg在（2x，+∞）单调递增当2xx时，)('2xg=0，)(xg取最小值)(2xg．因为0)(xg有唯一解，所以0)(2xg则,0)(',0)(22xgxg既.0,02ln22222222mmxxmxxmx所以0ln222mmxxm，因为0m，所以01ln222xx（*）设函数1ln2)(xxxh，因为当0x时，)(xh是增函数，所以0)(xh至多有一解．因为0)1(h，所以方程（*）的解为21x，即2412mmm