2014--2015年丰台区高三数学理科期末试题及答案

丰台区2014—2015学年度第一学期期末练习2015.01高三数学（理科）第一部分（选择题共40分）选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合2{20}Axxx，{1,2,3}B，那么AB(A){1,0,1,2,3}(B){1,0,3}(C){1,2,3}(D){1,2}2．已知向量(2,1)a，(,)xyb，则“4x且2y”是“∥ab”的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件3．高二年级某研究性学习小组为了了解本校高一学生课外阅读状况，分成了两个调查小组分别对高一学生进行抽样调查．假设这两组同学抽取的样本容量相同且抽样方法合理，则下列结论正确的是(A)两组同学制作的样本频率分布直方图一定相同(B)两组同学的样本平均数一定相等(C)两组同学的样本标准差一定相等(D)该校高一年级每位同学被抽到的可能性一定相同4．已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，7b，3c，6B，那么a等于(A)1(B)2(C)4(D)1或45．已知函数log()byxa（b0且b≠1）的图象如图所示，那么函数sinyabx的图象可能是xy3π-1-2O2ππ(A)xy3πO2ππ12(B)xy33πO2ππ12(C)xy3πO2ππ12(D)6．2014年11月，北京成功举办了亚太经合组织第二十二次领导人非正式会议，出席会议的有21个国家和地区的领导人或代表．其间组委会安排这21位领导人或代表合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人或代表所站的位置不做要求，那么不同的排法共有(A)1818A种(B)218218AA种(C)281031810AAA种(D)2020A种xy4-13211O7．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，则该三棱锥的正视图可能是(A)(B)(C)(D)8．在平面直角坐标系xOy中，如果菱形OABC的边长为2，点B在y轴上，则菱形内（不含边界）的整点（横纵坐标都是整数的点）个数的取值集合是(A){1，3}(B){0，1，3}(C){0，1，3，4}(D){0，1，2，3，4}第二部分（非选择题共110分）一、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．在复平面内，复数1z，2z对应的点分别是A，B（如图所示），则复数12zz的值是．10．等差数列{an}的前n项和为Sn，如果a1=2，a3+a5=22，那么S3等于．11．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是___．xyAB-1-111O开始结束输出Sa=1，b=1，S=2c=a+bS=S+c是c5否a=bb=c侧视图俯视图12．若变量x，y满足条件210,0,,xyxyyk且zxy的最大值是10，则k的值是．13．过点0(3,)My作圆O：221xy的切线，切点为N，如果0=0y，那么切线的斜率是；如果6OMN，那么0y的取值范围是．14．设函数()yfx的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意xD，都有()()fxTTfx，则称函数()yfx是“似周期函数”，非零常数T为函数()yfx的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：①如果“似周期函数”()yfx的“似周期”为-1，那么它是周期为2的周期函数；②函数()fxx是“似周期函数”；③函数-()2xfx是“似周期函数”；④如果函数()cosfxx是“似周期函数”，那么“,kkZ”．其中是真命题的序号是．（写出所有．．满足条件的命题序号）二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）已知函数2()23sin()cos()2cos()1444fxxxx，xR．（Ⅰ）求函数)(xf的最小正周期；（Ⅱ）求函数)(xf在区间[0,]2上的最大值和最小值及相应的x的值．16.（本小题共13分）某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．（Ⅰ）试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩；（Ⅱ）如果从参加本次考试的同学中随机选取1名同学，求这名同学考试成绩在80分以上（含80分）的概率；（Ⅲ）如果从参加本次考试的同学中随机选取3名同学，这3名同学中考试成绩在80分以上（含80分）的人数记为X，求X的分布列及数学期望．（注：频率可以视为相应的概率）0.0150.020.0250.030.015060708090100考试成绩（分）频率组距O17.（本小题共14分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD，M是棱PD的中点，且PA=AB=AC=2，22BC．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角M-AB-C的大小；（Ⅲ）如果N是棱AB上一点，且直线CN与平面MAB所成角的正弦值为105，求ANNB的值．18.（本小题共13分）已知函数()e1xfxx．（Ⅰ）求函数()fx的极小值；（Ⅱ）如果直线1ykx与函数()fx的图象无交点，求k的取值范围．19.（本小题共14分）已知椭圆C：22221(0)xyabab的右焦点(3,0)F，点1(3,)2M在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，过原点O作直线l的垂线，垂足为P，如果△OAB的面积为||42||ABOP（为实数），求的值．20.（本小题共13分）已知数列{}na满足11a，11nnaa，(1，2n且*)nN．（Ⅰ）求证：当0时，数列1{}1na为等比数列；（Ⅱ）如果2，求数列{}nna的前n项和nS；（Ⅲ）如果[]na表示不超过na的最大整数，当21时，求数列{[(1)]}na的通项公式．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）NBACDPM丰台区2014—2015学年度第一学期期末练习2015.01高三数学（理科）答案及评分参考一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．题号12345678答案DADCBBAD二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．1i10．1511．2012．513．22；011y14．①③④注：第13题第一个空2分；第二个空3分。三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.解：（Ⅰ）1)4(cos2)4cos()4sin(32)(2xxxxf)22cos()22sin(3xxxx2sin2cos3)32sin(2x22T．…………………7分（Ⅱ）因为02x，所以42333x．所以当232x，即12x时，2maxy；当3432x，即2x时，3miny．…………………13分所以当12x时，函数有最大值是2；当2x时，函数有最小值是3．16.解：（Ⅰ）估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩为：0.1550.2650.3750.25850.15955.76．………………2分（Ⅱ）设被抽到的这名同学考试成绩在80分以上为事件A．()0.025100.015100.4PA答：被抽到的这名同学考试成绩在80分以上的概率为0.4．……………6分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，从参加考试的同学中随机抽取1名同学的成绩在80分以上的概率为52，NBACDPMzyxMPDCABNX可能的取值是0，1，2，3．12527)53()52()0(3003CXP；12554)53()52()1(2113CXP；12536)53()52()2(1223CXP；1258)53()52()3(0333CXP．X的分布列为：X0123P1252712554125361258……………12分所以27543686()01231251251251255EX．……………13分（或2~(3,)5XB，所以26()355EXnp．）17.证明：（Ⅰ）连结AC．因为在△ABC中，AB=AC=2，22BC，所以222ACABBC，所以ACAB．因为AB∥CD，所以ACCD．又因为PA底面ABCD，所以PACD．因为APAAC，所以CD⊥平面PAC．………………4分（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A，(0,0,2)P，(2,0,0)B，(0,2,0)C，(2,2,0)D．因为M是棱PD的中点，所以(1,1,1)M．所以(1,1,1)AM，(2,0,0)AB．设),,(zyxn为平面MAB的法向量，所以00ABnAMn，zyxMPDCABN即020xyzx，令1y，则011xyz，所以平面MAB的法向量)1,-1,0(n．因为PA⊥平面ABCD，所以(0,0,2)AP是平面ABC的一个法向量．所以22cos,222nAPnAPAPn．因为二面角M-AB-C为锐二面角，所以二面角M-AB-C的大小为4．………………10分（Ⅲ）因为N是在棱AB上一点，所以设)0,0,(xN，(,2,0)NCx．设直线CN与平面MAB所成角为，因为平面MAB的法向量)1,-1,0(n，所以sincos()2nNCnNC2210524x．解得1x，即1AN，1NB，所以1ANNB．………………14分18.解：（Ⅰ）函数的定义域为R．因为()1xfxxe，所以1()xxefxe．令()0fx，则0x．x(,0)0(0,)()fx-0+()fx↘极小值↗所以当0x时函数有极小值()=(0)0fxf极小值．………………6分（Ⅱ）函数1()1xfxxe．当0x时01()010fxe，011yk，所以要使1ykx与()fx无交点，等价于()1fxkx恒成立．令1()1(1)xgxxkxe，即()(1)xgxkxe，所以(1)1()xxkegxe．①当1k时，1()0xgxe，满足1ykx与()fx无交点；②当1k时，111111()(1)111kkgkeekk，而101k，111ke，所以1()01gk，此时不满足1ykx与()fx无交点．③当1k时，令(1)1()0xxkegxe，则ln(1)xk，当(,ln(1))xk时，()0gx，()gx在(,ln(1))k上单调递减；当(ln(1),)xk时，()0gx，()gx在(ln(1),)k上单调递增；当ln(1)xk时，min()(ln(1))(1)(1ln(1))gxgkkk．由(1)(1ln(1))0kk得11ek，即1ykx与()fx无交点．综上所述当(1,1]ke时，1ykx与()fx无交点．……………13分19.解：（Ⅰ）由题意知：3c=．根据椭圆的定义得：22112(33)()22a=--++，即2a=．所以2431b=-=．所以椭圆C的标准方程为2214xy．……………4分（Ⅱ）由题意知，△ABC的面积1||4=||||=22||ABCABSABOPOP，整理得24=||||OPAB．①当直线l的斜率不存在时，l的方程是3x．此时||1AB=，||