2011西城区高三期末考试(数学理)有答案

北京市西城区2010—2011学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）2011.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知全集UR，集合{10}Axx，{30}Bxx，那么集合()UCAB（A）{13}xx（B）{13}xx（C）{1}xx（D）{3}xx2.已知点(1,1)A，点(2,)By，向量=(1,2)a，若//ABa，则实数y的值为（A）5（B）6（C）7（D）83.已知ABC中，1,2ab，45B，则角A等于（A）150（B）90（C）60（D）304．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是（A）cos（B）sin（C）cos1（D）sin15.阅读右面程序框图，如果输出的函数值在区间11[,]42内，则输入的实数x的取值范围是（A）(,2]（B）[2,1]（C）[1,2]（D）[2,)6.设等比数列na的前n项和为nS，若0852aa，则下列式子中数值不能确定的是（A）35aa（B）35SS（C）nnaa1（D）nnSS17．如图，四边形ABCD中，1ABADCD，2BD，BDCD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，则下列结论正确的是（A）ACBD（B）90BAC（C）CA与平面ABD所成的角为30（D）四面体ABCD的体积为13开始输出结束是否输入x[2,2]x()2xfx()fx()2fxABCDBCDA8．对于函数①1()45fxxx，②21()log()2xfxx，③()cos(2)cosfxxx，判断如下两个命题的真假：命题甲：()fx在区间(1,2)上是增函数；命题乙：()fx在区间(0,)上恰有两个零点12,xx，且121xx.能使命题甲、乙均为真的函数的序号是（A）①（B）②（C）①③（D）①②第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.i为虚数单位，则22(1i)______.10.在5(2)x的展开式中，2x的系数为_____.11.若实数,xy满足条件10,2,1,xyxyx则2xy的最大值为_____.12.如图所示，过圆C外一点P做一条直线与圆C交于AB，两点，2BAAP，PT与圆C相切于T点.已知圆C的半径为2，30CAB,则PT_____.13．双曲线22:1Cxy的渐近线方程为_____；若双曲线C的右顶点为A，过A的直线l与双曲线C的两条渐近线交于,PQ两点，且2PAAQ，则直线l的斜率为_____.14.在平面直角坐标系中，定义1212(,)dPQxxyy为两点11(,)Pxy,22(,)Qxy之间的“折线距离”.则坐标原点O与直线2250xy上一点的“折线距离”的最小值是____；圆221xy上一点与直线2250xy上一点的“折线距离”的最小值是____.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知函数2()3sin22sinfxxx.（Ⅰ）若点(1,3)P在角的终边上，求()f的值；（Ⅱ）若[,]63x，求()fx的值域.BACTP16.（本小题满分13分）如图，在三棱柱111ABCABC中，侧面11ABBA，11ACCA均为正方形，∠=90BAC,点D是棱11BC的中点.（Ⅰ）求证：1AD⊥平面11BBCC；（Ⅱ）求证：1//AB平面1ADC；（Ⅲ）求二面角1DACA的余弦值.17.（本小题满分13分）一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1,2,3,4,5,6.（Ⅰ）若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率；（Ⅱ）若从袋中每次随机抽取2个球，有放回的抽取3次，求恰有2次抽到6号球的概率；（Ⅲ）若一次从袋中随机抽取3个球，记球的最大编号为X，求随机变量X的分布列.18.（本小题满分13分）已知椭圆12222byax（0ba）的右焦点为2(3,0)F，离心率为e.（Ⅰ）若32e，求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线ykx与椭圆相交于A，B两点，,MN分别为线段22,AFBF的中点.若ABCC11B1A1D坐标原点O在以MN为直径的圆上，且2322e，求k的取值范围.19.（本小题满分14分）已知函数21()(21)2ln()2fxaxaxxaR.(Ⅰ)若曲线()yfx在1x和3x处的切线互相平行，求a的值；(Ⅱ)求()fx的单调区间；(Ⅲ)设2()2gxxx，若对任意1(0,2]x，均存在2(0,2]x，使得12()()fxgx，求a的取值范围.20.（本小题满分14分）已知数列}{na，{}nb满足nnnaab1，其中1,2,3,n.（Ⅰ）若11,nabn，求数列}{na的通项公式；（Ⅱ）若11(2)nnnbbbn，且121,2bb.（ⅰ）记)1(16nacnn，求证：数列}{nc为等差数列；（ⅱ）若数列}{nan中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次.求首项1a应满足的条件.北京市西城区2010—2011学年度第一学期期末高三数学参考答案及评分标准（理科）2011.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号12345678答案ACDCBDBD二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.i10.8011.412.313.0xy，314.5，52注：13、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：（本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.）15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为点(1,3)P在角的终边上，所以3sin2，1cos2，………………2分所以22()3sin22sin23sincos2sinf………………4分231323()2()3222.………………5分（Ⅱ）2()3sin22sinfxxx3sin2cos21xx………………6分2sin(2)16x，………………8分因为[,]63x，所以65626x，………………10分所以1sin(2)126x，………………11分所以()fx的值域是[2,1].………………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为侧面11ABBA，11ACCA均为正方形，所以11,AAACAAAB,所以1AA平面ABC，三棱柱111ABCABC是直三棱柱.………………1分因为1AD平面111ABC，所以11CCAD，………………2分又因为1111ABAC，D为11BC中点，所以111ADBC.……………3分因为1111CCBCC,所以1AD平面11BBCC.……………4分B1ABCC11A1DxyzO（Ⅱ）证明：连结1AC，交1AC于点O，连结OD，因为11ACCA为正方形，所以O为1AC中点，又D为11BC中点，所以OD为11ABC中位线，所以1//ABOD，………………6分因为OD平面1ADC，1AB平面1ADC，所以1//AB平面1ADC.………………8分(Ⅲ)解：因为侧面11ABBA，11ACCA均为正方形，90BAC，所以1,,ABACAA两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系Axyz.设1AB，则111(0,10),(1,0,0),(0,0,1),(,,1)22CBAD，.1111(,,0),(0,11)22ADAC，，………………9分设平面1ADC的法向量为=()x,y,zn，则有1100ADACnn，00xyyz，xyz，取1x，得(1,1,1)n.………………10分又因为AB平面11ACCA，所以平面11ACCA的法向量为(1,00)AB，，………11分13cos,33ABABABnnn，………………12分因为二面角1DACA是钝角，所以，二面角1DACA的余弦值为33.………………13分17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设先后两次从袋中取出球的编号为,mn，则两次取球的编号的一切可能结果),(nm有6636种，………………2分其中和为6的结果有(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3)，共5种，则所求概率为536.………………4分（Ⅱ）每次从袋中随机抽取2个球,抽到编号为6的球的概率152613CpC.………………6分所以，3次抽取中，恰有2次抽到6号球的概率为2223122(1)3()()339Cpp.………………8分]（Ⅲ）随机变量X所有可能的取值为3,4,5,6.………………9分33361(3)20CPXC，23363(4)20CPXC，243663(5)2010CPXC，2536101(6)202CPXC.………………12分所以，随机变量X的分布列为:X3456P12032031012………………13分18、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意得332cca，得23a.………………2分结合222abc，解得212a，23b.………………3分所以，椭圆的方程为131222yx.………………4分（Ⅱ）由22221,,xyabykx得222222()0bakxab.设1122(,),(,)AxyBxy.所以2212122220,abxxxxbak，………………6分依题意，OMON，易知，四边形2OMFN为平行四边形，所以22AFBF，………………7分因为211(3,)FAxy，222(3,)FBxy，所以222121212(3)(3)(1)90FAFBxxyykxx.………………8分即222222(9)(1)90(9)aakaka，………………9分将其整理为4222424218818111818aakaaaa.………………10分因为2322e，所以2332a，21218a.………………11分所以218k，即22(,](,]44k.………………13分19.（本小题满分14分）解：2()(21)fxaxax(0)x.………………2分（Ⅰ）(1)(3)ff，解得23a.………………3分（Ⅱ）(1)(2)()axxfxx(0)x.………………5分①当0a时，0x，10ax，在区间(0,2)上，()0fx；在区间(2,)上()0fx，故()fx的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,).………………6分②当102a时，12a，在区间(0,2)和1(,)a上，()0fx；在区间1(2,)a上()0fx，故()fx的单调递增区间是(0,2)和1(,)a，单调递减区间是1(2,)a.…………7分③当12a时，2(2)()2xfxx，故()fx的单调递增区间是(0,).………8分④当12a时，102a，在区间1(0,)a和(2,)上，()0fx；在区间1(,2)a上()0fx，故()fx的单调递增区间是1(0,)a和(2,)，单调递减区间是1(,2)a.………9分（Ⅲ）由已知，在(0,2]上有maxmax()()fxgx.………………10分由已知，max()0gx，由（Ⅱ）可知，①当12a时，()fx在(0,2]上单调递增，故max()(2)22(21)2ln2222ln2fxfaaa