2016东城区高三数学文期末试题及答案

东城区2015-2016学年第一学期期末教学统一检测高三数学参考答案及评分标准（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）C（2）C（3）D（4）A（5）B（6）B（7）C（8）D二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）54（10）5（11）25（12）4（13）10（14）64251124注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）设数列{}na的公差为d，由题意知2310aa，即12+310ad，由12a，解得2d.所以22(1)2nann，即2nan,nN.………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得2(22)2nnnSnn，所以2kSkk.又3236a，12(1)kak，由已知可得213kkaaS，即22(22)6()kkk，整理得220kk，*kN.解得1k（舍去）或2k.故2k.………………………………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）由表格可知，()fx的周期()22T，所以22.又由sin201，且02，所以2.所以()sin(2)cos22fxxx.………………………………6分（Ⅱ）2()()2sincos22sin12sin2singxfxxxxxx2132(sin)22x.由sin[1,1]x，所以当1sin2x时，()gx有最大值32；当sin1x时，()gx有最小值3.………………………………13分（17）（共13分）w!w!w.!x!k!b!1.com解：（Ⅰ）由题可知，第2组的频数为0.3510035人，第3组的频率为300.300100.即①处的数据为35，②处的数据为0.300.………………………………3分（Ⅱ）因为第3，4，5组共有60名学生,所以利用分层抽样,在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:第3组:306360人；第4组:206260人；第5组:106160人.所以第3，4，5组分别抽取3人，2人，人.………………………………6分（Ⅲ）设第3组的3位同学为1A，2A，3A，第4组的2位同学为1B，2B，第5组的位同学为1C，则从6位同学中抽两位同学有15种可能，分别为:12(,)AA，13(,)AA，11(,)AB，12(,)AB，11(,)AC，23(,)AA，21(,)AB，22(,)AB，21(,)AC，31(,)AB，32(,)AB，31(,)AC，12(,)BB，11(,)BC，21(,)BC.其中第4组的两位同学至少有一位同学被选中的有:11(,)AB，12(,)AB，21(,)AB，22(,)AB，31(,)AB，32(,)AB，11(,)BC，21(,)BC，12(,)BB9种可能.所以第4组的两位同学至少有一位同学被选中的概率P93155.………………………13分（18）（共13分）证明：（Ⅰ）因为CD平面ADE，AE平面ADE，所以CDAE.又因为AEDE，CDDED,所以AE平面CDE.又因为AE平面ACE，所以平面ACE平面CDE.………………………………7分（Ⅱ）在线段DE上存在一点F,且13EFED，使AF平面BCE.设F为线段DE上一点,且13EFED.过点F作FMCD交CE于M，则13FMCD.因为CD平面ADE,AB平面ADE，所以CDAB.又FMCD，所以FMAB.因为3CDAB，所以FMAB.所以四边形ABMF是平行四边形.所以AFBM.又因为AF平面BCE，BM平面BCE，所以AF平面BCE.………………………………13分（19）（共14分）解：（Ⅰ）当1a时，()exfxx，()1exfx.x.k.b.1当0x时，1y，又(0)0f，所以曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线方程为1y.………………………………4分ABCEDFFM（Ⅱ）由()exfxxa，得()1exfxa.当0a时，()0fx，此时()fx在R上单调递增.当xa时，()e(1e)0aafaaaa，当1x时，(1)1e0fa，所以当0a时，曲线()yfx与x轴有且只有一个交点；…………………8分当0a时，令()0fx，得lnxa.()fx与()fx在区间(,)上的情况如下：x(,ln)alna(ln,)a()fx0()fx极大值若曲线()yfx与x轴有且只有一个交点，则有(ln)0fa，即lnlne0aaa.解得1ea.综上所述，当0a或1ea时，曲线()yfx与x轴有且只有一个交点.…………………12分（Ⅲ）曲线()exfxxa与曲线3()gxx最多有3个交点.…………………14分（20）（共14分）解：(Ⅰ)由椭圆过点(02)，，则2b.又32ab，故22a.所以椭圆C的方程为12822yx.………………………………4分(Ⅱ)①若直线过椭圆的左顶点，则直线的方程是1:22lyx，由22122182yxxy，解得1102xy，，或2222,0.xy故2121k，2122k.………………………………8分②21kk为定值，且021kk.设直线的方程为mxy21.由2212182yxmxy，消y，得042222mmxx.当0168422mm，即22m时，直线与椭圆交于两点.设),(11yxA.),(22yxB,则122xxm，42221mxx.又21111xyk，21222xyk，故2121221121xyxykk)2)(2()2)(1()2)(1(211221xxxyxy.又mxy1121，mxy2221，所以)2)(1()2)(1(1221xyxy)2)(121()2)(121(1221xmxxmx)1(4))(2(2121mxxmxx0)1(4)2)(2(422mmmm.故021kk.………………………………14