湖北省三市2016-2017学年高二下期末考试数学试题(理)含解析

2016~2017学年度第二学期期末联考试题高二数学(理科)本试卷共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟。一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，集合，则A.B.C.D.【答案】C【解析】，所以=2.已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是A.B.C.D.【答案】B【解析】试题分析：∵当时，，∴命题为假命题；∵，图象连续且，∴函数存在零点，即方程有解，∴命题为真命题，由复合命题真值表得：为假命题；为真命题；为假命题；为假命题.选故B.考点：1、复合命题的真假判断；2、指数函数；3、函数与方程.3.设随机变量x服从正态分布N（2，9），若，则m=A.B.C.D.2【答案】B【解析】由正态分布性质可得4.设复数，若，则的概率为A.B.C.D.【答案】D【解析】若则，则的概率为：作出如图，则概率为直线上方与圆的公共部分的面积除以整个圆的面积，即：5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.B.C.D.【答案】B【解析】作出立体图形为：故该几何体的体积为：6.若双曲线的一条渐近线与圆至多有一个交点，则双曲线的离心率为...A.B.C.D.【答案】C【解析】由题得双曲线的渐近线为：，与圆至多有一个交点，则,由，故选C7.设x，y满足约束条件则的最大值是A.B.C.D.【答案】B【解析】作出如图：则表示阴影区域点与原点的连线的斜率，故8.若抛物线上一点到焦点和抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线方程为A.B.C.或D.或【答案】C【解析】试题分析：，即，代入抛物线中，，所以或.∴或.考点：1.抛物线的焦点；2.抛物线的对称轴；3.抛物线的标准方程.9.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有A.144个B.120个C.96个D.72个【答案】B【解析】试题分析：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；进而对首位数字分2种情况讨论，①首位数字为5时，②首位数字为4时，每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原理可得其情况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案．解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；分两种情况讨论：①首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有3×24=72个，②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有2×24=48个，共有72+48=120个．故选：B考点：排列、组合及简单计数问题．10.公元前300年欧几里得提出一种算法，该算法程序框图如图所示。若输入m=98，n=63，则输出的m=A.7B.28C.17D.35【答案】A点睛：根据题意先做出可行域，将问题目标函数理解为与原点的斜率问题是解题关键11.在三棱锥中，，为等边三角形，，是的中点，则异面直线和所成角的余弦值为A.B.C.D.【答案】B【解析】试题分析：取的中点，连接，则，所以或其补角就是异面直线和所成角．因为为正三角形，所以．设，因为平面，所以，所以，故选B．考点：1、异面直线所成角；2、线面垂直的性质定理；3、余弦定理．【方法点睛】求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：①利用图中已有的平行线平移；②利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；③补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．12.定义：如果函数在上存在，满足，，则称函数是上的“双中值函数”，已知函数是上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是A.B.C.D.【答案】D【解析】由题得：是上的“双中值函数”，等价于在上有两个不同的实数解，令则解之得故选C点睛：首先要读懂新定义“双中值函数”，根据新定义可得问题等价于在上有两个不同的实数解是解题关键二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上对应题号后的横线上）13.如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数．若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于______．【答案】【解析】试题分析:因与轴的面积为,故阴影部分的面积为,而,故由几何概型的计算公式得,应填答案.考点：定积分及几何概型的计算公式的运用．14.的展开式中，的系数是______．（用数字填写答案）【答案】10【解析】试题分析：的展开式的通项为(，1，2，…，5)，令得，所以的系数是.考点:二项式定理【名师点睛】确定二项展开式指定项的系数通常是先写出通项,再确定r的值,从而确定指定项系数.15.设圆的切线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于点A，B，当|AB|取最小值时，切线l的方程为______．【答案】【解析】设点A(0，a)，B（b，0）则，又直线AB与圆相切，所以当且仅当a=b时取得等号，化简可得当a=b=2时取得最小值，故当|AB|取最小值时，切线l的方程为16.设表示不超过x的最大整数，如：．给出下列命题：①对任意实数x，都有；②若，则；③；...④若函数，则的值域为．其中所有真命题的序号是______．【答案】①②④【解析】试题分析：根据定义①②显然正确；对③：，，，所以，故错；对④：时，，，所以，.所以；同理时，；时，.故④正确.考点：新定义.三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知各项均不相等的等差数列的前四项和，且成等比数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设为数列的前n项和，若对恒成立，求实数的最小值．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.【解析】试题分析：（1）先利用等差数列求出数列通项公式；（2）化简利用拆项法求出前n项和，化简处理恒成立问题．试题解析：（Ⅰ）由，解得于是，（Ⅱ）因为，所以，因为对任意恒成立，且当且仅当时，取“”，所以即实数的最小值为考点：1、等差数列通项公式；2、拆项法求和；3、均值不等式的应用．【方法点晴】本题主要考查的是等差数列的综合应用，拆项法求和，属于中档题．解题时需要用到均值不等式拆项法在通项公式等问题中有较大用处．18.某城市一汽车出租公司为了调查A，B两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各100辆，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表：A车型B车型...出租天数1234567出租天数1234567车辆数51030351532车辆数1420201615105（Ⅰ）从出租天数为3天的汽车（仅限A，B两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A型车的概率；（Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；（Ⅲ）（ⅰ）试写出A，B两种车型的出租天数的分布列及数学期望；（ⅱ）如果两种车辆每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种车型中购买一辆（注：两种车型的采购价格相当），请你根据所学的统计知识，建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由．【答案】（Ⅰ）0.6;（Ⅱ）;（Ⅲ）（ⅰ）见解析；（ⅱ）选择A类车型的出租车更加合理.【解析】试题分析：（1）利用古典概型的概率计算公式求解即可（2）该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天分为以下三种情况：A型车1天B型车3天，A型车2天B型车2天，A型车3天B型车1天，利用互斥事件和独立事件的概率计算公式即得（3）从数学期望和方差分析即可得出结论试题解析：（Ⅰ）这辆汽车是A型车的概率约为故这辆汽车是A型车的概率为0.6（Ⅱ）设“事件表示一辆A型车在一周内出租天数恰好为i天”，“事件表示一辆B型车在一周内出租天数恰好为j天”，其中，则该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为故该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为（Ⅲ）（ⅰ）设X为A型车出租的天数，则X的分布列为X1234567P0.050.100.300.350.150.030.02设Y为B型车出租的天数，则Y的分布列为Y1234567P0.140.200.200.160.150.100.05（ⅱ）一辆A类车型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.62天，B类车型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.48天，故选择A类车型的出租车更加合理19.如图所示的平面图形中，ABCD是边长为2的正方形，△HDA和△GDC都是以D为直角顶点的等腰直角三角形，点E是线段GC的中点．现将△HDA和△GDC分别沿着DA，DC翻折，直到点H和G重合为点P．连接PB，得如图的四棱锥．（Ⅰ）求证：PA//平面EBD；（Ⅱ）求二面角大小．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）60o.【解析】试题分析：（1）连接AC交BD于点O，连接EO，由EO为△CPA的中位线，能证明PA//平面EDB（2）分别求出平面PBD和PBC的法向量，利用向量法能求出二面角的大小试题解析：（Ⅰ）证明：连接AC交BD于点O，连接EO，因为四边形ABCD是正方形，所以O为AC的中点，又因为E为PC中点，所以EO为△CPA的中位线，所以EO//PA因为EO平面EDB，PA平面EDB所以PA//平面EDB（Ⅱ）由题意有，故DA，DC，DP两两垂直如图，以D为原点建立空间直角坐标系有由题知又因为AC平面ABCD，所以，又，，所以所以平面PBD的法向量是设平面PBC的法向量，由于，则有，所以令，得则由图可知求二面角的平面角为锐角，...所以二面角的大小为60o点睛：要证线面平行只需在面内找一线与已知线平行即可，二对于二面角我们则通常根据建立坐标系求出面的法向量然后根据向量夹角公式求解即可20.已知椭圆，抛物线的焦点均在x轴上，的中心和的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，其坐标分别是，，，．（Ⅰ）求，的标准方程；（Ⅱ）是否存在直线l满足条件：①过的焦点F；②与交于不同的两点M，N且满足？若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）的标准方程为；的标准方程为；（Ⅱ）见解析.试题解析：（Ⅰ）设抛物线，则有，据此验证四个点知，在抛物线上，易得，抛物线的标准方程为设椭圆，把点，代入可得所以椭圆的标准方程为（Ⅱ）由椭圆的对称性可设的焦点为F（1，0），当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为直线l交椭圆于点，不满足题意当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，并设由，消去y得，，于是①，由得②将①代入②式，得，解得所以存在直线l满足条件，且l的方程为或21.已知函数（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）设函数的图象在点两处的切线分别为l1，l2．若，且，求实数c的最小值．【答案】（Ⅰ）的单调递减区间是，单调递增区间是；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（1）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系，即可求得函数的单调区间（2）由由知，，而，则，分类讨论，再由导数与单调性的关系，即可得到实数c的最小值试题解析：函数，求导数（Ⅰ）当时，若，则恒成立，所以在上单调递减；若，则令，解得或（舍）当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增．所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是（Ⅱ）由知，，而，则，若，则所以，解得，不符合题意故，则整理得由得令，则，所以设，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增所以函数的最小值为，故实数c的最小值为请考生在22，23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分。做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑。22.【选修4—4坐标系与参数方程选讲】已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合。曲线（t为参数），曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）将曲线，分别化为普通方程、直角坐标方程，并说明表示什么曲线；（Ⅱ）设F（1，0），曲线与曲线相交于不同的两点A，B，求的值．【答案】（Ⅰ）：，表示一条直线，：，表示顶点在原点，焦点为（1，0）的抛物线；（Ⅱ）8.【解析】试题分析：