2017年人教A版选修1-1《3.4生活中的优化问题举例》练习含解析

第三章3.4A级基础巩固一、选择题1．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是导学号03624906(A)[解析]加速过程，路程对时间的导数逐渐变大，图象下凸；减速过程，路程对时间的导数逐渐变小，图象上凸，故选A．2．(2016·广东东莞高二检测)若商品的年利润y(万元)与年产x(百万件)的函数关系式y＝－x3＋27x＋123(x0)，则获得最大利润时的年产量为导学号03624907(C)A．1百万件B．2百万件C．3百万件D．4百万件[解析]依题意得，y′＝－3x2＋27＝－3(x－3)(x＋3)，当0x3时，y′0；当x3时，y′0.因此，当x＝3时，该商品的年利润最大．3．某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)＝x2·(60－x2)(0x60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为导学号03624908(B)A．30B．40C．50D．35[解析]V′(x)＝(30x2－x32)′＝60x－32x2，x∈(0,60)．令V′(x)＝0，得x＝40.∴当x＝40时，箱子的容积有最大值．4．某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48m3，高为3m，如果箱底每1m2的造价为15元，箱壁每1m2的造价为12元，则箱子的最低总造价为导学号03624909(D)A．900元B．840元C．818元D．816元[解析]设箱底一边的长度为xm，箱子的总造价为l元，根据题意得箱底面积为483＝16(m2)，箱底另一边的长度为16xm，则l＝16×15＋(2×3x＋2×3×16x)×12＝240＋72x＋16x，l′＝721－16x2.令l′＝0，解得x＝4或x＝－4(舍去)．当0x4时，l′0；当x4时，l′0.故当x＝4时，l有最小值816.因此，当箱底是边长为4m的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价是816元．5．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x0)；生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x0)，为使利润最大，则应生产导学号03624910(A)A．6千台B．7千台C．8千台D．9千台[解析]设利润为y(万元)，则y＝y1－y2＝17x2－2x3＋x2＝18x2－2x3(x0)，y′＝36x－6x2，令y′0，得0x6，令y′0，得x6，∴当x＝6时，y取最大值，故为使利润最大，则应生产6千台．6．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为导学号03624911(C)A．3VB．32VC．34VD．23V[解析]如图，设底面边长为x(x0)，则底面积S＝34x2，∴h＝VS＝4V3x2.S表＝x·4V3x2×3＋34x2×2＝43Vx＋32x2，S′表＝3x－43Vx2，令S′表＝0得x＝34V，因为S表只有一个极值，故x＝34V为最小值点．二、填空题7．(2016·山东淄博月考)某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝__20__吨.导学号03624912[解析]设该公司一年内总共购买n次货物，则n＝400x，∴总运费与总存储费之和f(x)＝4n＋4x＝1600x＋4x，令f′(x)＝4－1600x2＝0，解得x＝20，x＝－20(舍)，x＝20是函数f(x)的最小值点，故x＝20时，f(x)最小．8．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最小，则圆柱的底面半径为__3__.导学号03624913[解析]设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则V＝πR2L＝27π，∴L＝27R2，要使用料最省，只需使圆柱形表面积最小，∴S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋54πR，∴S′(R)＝2πR－54πR2＝0，令S′＝0得R＝3，∴当R＝3时，S表最小．三、解答题9．用边长为120cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱．问：水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？最大容积是多少？导学号03624914[解析]设水箱底边长为xcm，则水箱高为h＝60－x2(cm)．水箱容积V＝V(x)＝60x2－x32(0x120)(cm3)．V′(x)＝120x－32x2.令V′(x)＝0得，x＝0(舍)或x＝80.当x在(0,120)内变化时，导数V′(x)的正负如下表：x(0,80)80(80,120)V′(x)＋0－因此在x＝80处，函数V(x)取得极大值，并且这个极大值就是函数V(x)的最大值．将x＝80代入V(x)，得最大容积V＝802×60－8032＝128000(cm3)．答：水箱底边长取80cm时，容积最大，最大容积为128000cm3.B级素养提升一、选择题1．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－x3900＋400x,0≤x≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是导学号03624915(D)A．150B．200C．250D．300[解析]由题意可得总利润P(x)＝－x3900＋300x－20000，0≤x≤390.由P′(x)＝0，得x＝300.当0≤x≤300时，p′(x)0；当300x≤390时，P′(x)0，所以当x＝300时，P(x)最大，故选D．2．三棱锥O－ABC中，OA、OB、OC两两垂直，OC＝2x，OA＝x，OB＝y，且x＋y＝3，则三棱锥O－ABC体积的最大值为导学号03624916(C)A．4B．8C．43D．83[解析]V＝13×2x22·y＝x2y3＝x23－x3＝3x2－x33(0x3)，V′＝6x－3x23＝2x－x2＝x(2－x)．令V′＝0，得x＝2或x＝0(舍去)．∴x＝2时，V最大为43.3．某工厂需要建一个面积为512m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用材料最省，则堆料场的长和宽各为导学号03624917(B)A．16m,16mB．32m,16mC．32m,8mD．16m,8m[解析]如图所示，设场地一边长为xm，则另一边长为512xm.因此新墙总长度L＝2x＋512x(x0)，L′＝2－512x2.令L′＝0，得x＝16或x＝－16(舍去)．∵L在(0，＋∞)上只有一个极值点，∴x＝16必是最小值点．∵x＝16，∴512x＝32.故当堆料场的宽为16m，长为32m时，可使砌墙所用的材料最省．4．(2016·山东莱芜高二月考)某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进行该路段的时刻t之间关系可近似地用如下函数给出：y＝－18t3－34t2＋36t－6294.则在这段时间内通过该路段用时最多的时刻是导学号03624918(C)A．6时B．7时C．8时D．9时[解析]y′＝－38t2－32t＋36＝－38(t＋12)(t－8)，令y′＝0得t＝－12(舍去)或t＝8.当6≤t8时，y′0；当8t≤9时，y′0，∴当t＝8时，y有最大值．5．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为导学号03624919(C)A．RB．2RC．43RD．34R[解析]设圆锥高为h，底面半径为r，则R2＝(R－h)2＋r2，∴r2＝2Rh－h2，∴V＝π3r2h＝π3h(2Rh－h2)＝2π3Rh2－π3h3，V′＝4π3Rh－πh2.令V′＝0得h＝4R3或h＝0(舍去)．当0h4R3时，V′0；当4R3h2R时，V′0.因此当h＝43R时，圆锥体积最大．故选C．二、填空题6．做一个容积为256的方底无盖水箱，它的高为__4__时最省料.导学号03624920[解析]设底面边长为x，则高为h＝256x2，其表面积为S＝x2＋4×256x2×x＝x2＋256×4x，S′＝2x－256×4x2，令S′＝0，则x＝8，则当高h＝25664＝4时S取得最小值．7．某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，要使利润最大每件定价为__85__元.导学号03624921[解析]设每件商品定价x元，依题意可得利润为L＝x(200－x)－30x＝－x2＋170x(0＜x＜200)．L′＝－2x＋170，令－2x＋170＝0，解得x＝1702＝85.因为在(0,200)内L只有一个极值，所以以每件85元出售时利润最大．三、解答题8．某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2500元，已知每生产x件这样的产品需要再增加可变成本C(x)＝200x＋136x3(元)，若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这种产品？最大利润是多少？导学号03624922[解析]设该厂生产x件这种产品利润为L(x)则L(x)＝500x－2500－C(x)＝500x－2500－200x＋136x3＝300x－136x3－2500(x∈N)令L′(x)＝300－112x2＝0，得x＝60(件)又当0≤x60时，L′(x)0x60时，L′(x)0所以x＝60是L(x)的极大值点，也是最大值点．所以当x＝60时，L(x)＝9500元．答：要使利润最大，该厂应生产60件这种产品，最大利润为9500元．C级能力提高1．用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2︰1，该长方体的最大体积是__3_m3__.导学号03624923[解析]设长方体的宽为x，则长为2x，高为92－3x(0x32)，故体积为V＝2x292－3x＝－6x3＋9x2，V′＝－18x2＋18x，令V′＝0得，x＝0或1，∵0x32，∴x＝1.∴该长方体的长、宽、高各为2m、1m、1.5m时，体积最大，最大体积Vmax＝3m3.2．(2016·广东佛山检测)如图所示，有一块半椭圆形钢板，其长轴长为2，短半轴长为1，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记|CD|＝2x，梯形的面积为S.(1)求面积S以x为自变量的函数解析式，并写出其定义域；(2)求面积S的最大值.导学号03624924[解析](1)依题意，建立以AB的中点O为原点，AB所在的直线为x轴的平面直角坐标系，如图所示，则点C(x，y)满足方程x2＋y24＝1，且x0，y0，∴y＝21－x2(0x1)．∴S＝12(2x＋2)·21－x2＝2(x＋1)1－x2(0x1)．(2)令f(x)＝S2＝4(x＋1)2(1－x2)(0x1)，则f′(x)＝8(x＋1)2(1－2x)．令f′(x)＝0，解得x＝12或x＝－1(舍去)．当0x12时，f′(x)0,f(x)为增函数；当12x1时，f′(x)0,f(x)为减函数．∴f(12)是f(x)在区间(0,1)上的极大值，也是最大值，且f(12)＝274，此时S＝332.故当x＝12时，S取得最大值332.