10.12.20高三理科数学练习题2

湖南省长沙市一中高三第六次月考1．已知集合A={x|–1≤x≤1，x∈N}，B={–1，0，1}，集合C满足A∪C=B，则集合C的个数是（）A．1B．4C．7D．82.一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是（）A.3B.25C.2D.233．已知等比数列中{an}中，a1+a3=101，前4项和为1111，令bn=lgan，则b2009=（）A．2008B．2009C．2010D．22224．10名同学合影，站成了前排3人，后排7人．现摄影师要从后排7人中抽2个站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为（）A．2575CAB．2272CAC．2275CAD．2375CA5.直三棱柱A1B1C1—ABC中，∠BCA=90°，D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）A.1030B.21C.1530D.10156．①点P在△ABC所在的平面内，且(),()APABACBPBABC；②点P为△ABC内的一点，且使得222APBPCP取得最小值；③点P是△ABC所在平面内一点，且0PAPBPC，上述三个点P中，是△ABC的重心的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个7．设函数y=f(x)是定义域为R的奇函数，且满足f(x–2)=–f(x)对一切x∈R恒成立，当–1≤x≤1时，f(x)=x3，则下列四个命题：①f(x)是以4为周期的周期函数；②f(x)在[1，3]上的解析式为f(x)=(2–x)3；③f(x)在33(,())22f处的切线方程为3x+4y–5=0；④f(x)的图象的对称轴中，有x=±1，其中正确的命题是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④8．正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1的中点，则点E到平面ABC1D1的距离是．9．若关于x，y的不等式组1212xyxyaxy表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是．10．若不等式x2+|2x–6|≥a对于一切实数x均成立，则实数a的最大值是．11．在113(32)xx的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为10,x则dx=．12．已知m、n是两条不重合的直线，,,是三个互不重合的平面，给出下列命题①若m∥，n∥，m，n，则∥②若⊥，⊥，∩=m，n，则m⊥n③若m⊥,⊥，m∥n，则n∥④若n∥，n∥，∩=m，那么m∥n其中正确命题的序号是．13．6个大小相同的小球分别标有数字1,1,1,2,2,2，把它们放在一个盒子里，从中任意摸出两个小球，它们所标有的数字分别为x，y，记xy．（1）求随机变量分布列及数学期望；（2）设“函数f(x)=x2–x–1在区间(2,3)上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率．14．已知函数f(x)=2cos2x+23sinxcosx．（1）求函数f(x)定义在[,]63上的值域；（2）在△ABC中，若f(C)=2,2sinB=cos(A–C)–cos(A+C)，求tanA的值．15．如图，四棱锥P—ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA=1，PD=2，E为PD上一点，PE=2ED．（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）求二面角D—AC—E的正切值；（3）在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC，若存在，指出F点位置，并证明，若不存在，说明理由．16.已知函数f(x)=lnx,g(x)=2x–2．（1）试判断函数F（x）=(x2+1)f(x)–g(x)在[1，+∞)上的单调性；（2）当0＜a＜b时，求证：函数f(x)定义在区间[a,b]上的值域的长度大于222()abaab（闭区间[m，n]的长度定义为n–m）．（3）方程f(x)=12xexe是否存在实数根？说明理由。PEDCBA参考答案题号1234567答案BDACADD8．229．(–1，2)10．511．6712．②④13．（12分）【解析】（1）由题知随机变量的可能取值为2,3,4．……1分从盒子中摸出两个小球的基本事件总数为26C15．当=2时，摸出的小球所标的数字为1,1，共有23C种．∴P(=2)=15．……3分当=3时，摸出的小球所标的数字为1,2，共有1133CC种．∴P(=3)=35．……4分当=4时，摸出的小球所标的数字为2,2，共有23C种．∴P(=4)=15．……5分∴的分布列为234P153515E=2×15+3×35+4×15=3．……7分（2）∵函数f(x)=x2–x–1在（2，3）上有且只有一个零点．f(2)·f(3)0即(3–2)(8–3)0……9分∴3823且=2,3,4……11分∴=2．∴P(A)=P(=2)=35．……12分14．（12分）【解析】（1）f(x)=1+cos2x+3sin2x=2sin(2x+6)+1……3分∵63x∴52666x∴1sin(2)126x∴f(x)∈[0，3]．即f(x)的值域为[0,3]……6分（2）由f(C)=2得2sin(2C+6)+1=2，∴sin(2C+6)=12．∵0C∴132666C∴5266C∴C=3∴A+B=23．……8分又∵2sincos()cos()BACAC∴2sinB=2sinAsinC……9分∴22sin()3sin3AA即3cossin3sinAAA……11分∴(31)sin3cosAA∴333tan231A．……12分15．（13分）（1）证明：∵PA=AD=1，PD=2∴PA2+AD2=PD2即PA⊥AD又∵PA⊥CD．AD∩CD=D∴PA⊥平面ABCD……3分（2）过E作EG∥PA交AD于G，从而EG⊥平面ABCD``且AG=2GD．EG=13PA=13．连结BD交AC于O，过G作GH∥OD交AC于H．连结EH．∵GH⊥AC∴EH⊥AC∴∠EHG为二面角D—AC—E的平面角．∵HG=23OD=23．……7分∴2tan2EGEHGGH．（3）因为PA，AB，AD两两垂直，所以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴,y轴，Z轴建立空间直角坐标系．则A（0，0，0）B（1，0，0）C（1，1，0）P（0，0，1）E（0，21,33）21(1,1,0)(0,)33ACAE设平面AEC的法向量(,,),nxyz则00nACnnAE即020xyyz令y=1，则(1,1,2)n假设PC存在一点F且(01)CFCP，使得BF∥平面AEC则0BFn．PEDCBAHGO又∵(0,1,0)BFBCCF（,,）=（,1,）∴120BFn∴12∴存在P的中点F，使得BF∥平面AEC．……12分16题（13分）解（1）∵F（x）=(x2+1)lnx–2x+2．∴F′（x）=2xlnx+221(1)22lnxxxxxx．∴当x≥1时，F′（x）≥0且仅当x=1时F′（x）=0∴F（x）在（1，+∞）上单调递增……4分（2）∵0＜a＜b,f(x)在[a,b]上的值域为[lna,lnb]∴要证值域的长度大于222()abaab，即证lnb–lna＞222()abaab只要证ln22(1)1()bbabaa∵0＜a＜b,∴1,ba令bxa则只要证lnx＞22(1)1xx（x1）即证（x2+1）lnx–(2x–2)0(※)由（1）可知F(x)在（1，+∞）上单调递增∴F（x）＞F（1）=0所以（※）式成立．∴f(x)在[a,b]上的值域的长度大于222()abaab．……9分（3）∵f(x)=12xexexlnx=2(0)xxxee令h(x)=xlnx(x0)．则h′（x）=lnx+1当x∈（0，1e）时h′（x）0,h(x)单调递减；当x∈（1,e）时，h′（x）0，h(x)单调递增．所以h(x)min=h(1e)=–1e．令(x)=2(0),xxxee则1(),xxxe当x∈（0，1），()0x，()x单调递增；当x∈（1，+∞）时，()0x，()x单调递减．∴()xmax=1(1)e所以方程f(x)=12xexe没有实根……13分