湖南省长沙市一中09-10学年高二上学期期中考试（数学理）

湖南省长沙市一中09-10学年高二第一学期期中考试数学（理科）命题人：李读华审校人；龚日辉时量120分钟满分150分一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题材目要求的）1.在空间有三个向量、、，则（）A．B．C．D．2.已知抛物线的标准方程为，则抛物线的准线方程是（）A.B.C.D.3.下列各组向量中不平行的是（）A．B．C．D．4.下列命题为真的是（）A．，B．，C．，D．，5．如图：正方体中，点是中点，是中点，则和所成角的是（）A．B．C．D．6．已知a，b是两个非零向量，给定p：|a·b|=|a|·|b|，使得a=tb，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．非充分，非必要条件7．过双曲线的右焦点作直线交双曲线于、两点，若实数使得的直线有4条，则的取值范围是（）.A．B．C．D．8．设斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）.A．B．C．D．二、填空题：（本大题共7个小题，每小题5分共35分.）9．如果椭圆上一点到焦点的距离等于6，那么点到另一个焦点的距离是.10．a，b，若ab，则______.11．设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为.12．向量a与b的夹角为，，，则.13.已知：实数m满足，：函数是增函数.若为真命题，为假命题，则实数m的取值范围是.14．从抛物线图象上一点引抛物线准线的垂线，垂足为，且，设抛物线焦点为，则的面积为.15．点为平面内一点，点为平面外一点，直线与平面成角，平面内有一动点，当时，动点的轨迹图形为.长沙市一中2009—2010年度上学期第二次阶段性考试高二数学（理科）答题卷一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题材目要求的）题号12345678答案二、填空题：（本大题共7个小题，每小题5分共35分.）9．10.11.12．13.14.15．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．（本小题共12分）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点是坐标原点且经过点，其焦点在轴上.（1）求抛物线方程；（2）求过点且与直线垂直的直线方程.17．（本小题共12分）如图，正方体的棱长为2.（1）求点到平面的距离；（2）求直线与平面所成角的大小.18．（本小题共12分）如图，在五面体中，平面，，，为的中点，.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值；19．（本小题共13分）设双曲线的方程为，、为其左、右两个顶点，是双曲线上的任意一点，作，，垂足分别为、，与交于点.（1）求点的轨迹方程；（2）设、的离心率分别为、，当时，求的取值范围.20．（本小题共13分）如图椭圆：的两个焦点为、和顶点、构成面积为32的正方形.（1）求此时椭圆的方程；（2）设斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点、、为的中点，且.问：、两点能否关于直线对称.若能，求出的取值范围；若不能，请说明理由.21．（本小题共13分）如图，是边长为2的正方形纸片，沿某动直线为折痕，正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点都落在边上，记为；折痕与交于点，点满足关系式.（1）如图，建立以中点为原点的直角坐标系，求点的轨迹方程；（2）若曲线是由点的轨迹及其关于边对称的曲线组成的，是边上的一点，，过点的直线交曲线于、两点，且，求实数的取值范围.附加题：（本小题共5分）给定曲线族，为参数，求该曲线族在直线上所截得的弦长的最大值.高二数学（理科）试卷参考答案一、选择题：1.B2.A3.D4.B5.D6.C7.B8.D二、填空题：9.1010.511.12.613.(1,2)14．1015．椭圆三、解答题16．（本小题共12分）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点是坐标原点且经过点，其焦点在轴上.（1）求抛物线方程；（2）求过点且与直线垂直的直线方程.解析：（1）可设抛物线方程为，将代入方程得，方程为……………………………………………………………………（6分）（2）焦点，，.故直线方程为..………………………………（12分）17．（本小题共12分）如图，正方体的棱长为2.（1）求点到平面的距离；（2）求直线与平面所成角的大小.解析：（1）可证面，则为到面距离，故.………………………………（4分）（2）解法一：连接，设与交于点，连接.，，.平面，在平面内的射影为.就是与平面所成的角.………………………………………（9分）设正方体的棱长为1，在中，，，..即与平面所成的角为.……………………………………………（12分）解法二：以为原点，，，所在直线分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，.，.设平面的一个法向量n=，则令得.…………………………………（9分）.又，...……………………………………………………………………（11分）即与平面所成的角为.……………………………………………（12分）18．（本小题共12分）如图，在五面体中，平面，，，为的中点，.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值；解析：解法一：（1）证明：需先证明，因为且为的中点，所以.连结，则.又，故平面.而平面，所以平面平面…………………（6分）（2）设为的中点，连结、.因为，所以.因为.所以，故为二面角的平面角.……………（9分），，，于是在中，，所以二面角的余弦值为.………………………………………………（12分）解法二：如图所示，建立空间直角坐标系，点为坐标原点.设，依题意得，，，，，.（1）证明：由，，，可得，.因此，，.又，故平面.而平面，所以平面平面.…………（6分）（2）设平面的法向量为u=，则于是令，可得u.…………………………………………………………………………（9分）又由题设，平面的一个法向量为，所以u,v=.…………………………………………（11分）因为二面角为锐角，所以其余弦值为.…………………………（12分）19．（本小题共13分）设双曲线的方程为，、为其左、右两个顶点，是双曲线上的任意一点，作，，垂足分别为、，与交于点.（1）求点的轨迹方程；（2）设、的离心率分别为、，当时，求的取值范围.解析：（1）如图，设，，，，，，…………………………（4分）由①×②得：③，，代入③得，即.…………………………………………………………………………………………（6分）经检验，点，不合题意，因此点的轨迹方程是（点除外）.（2）由（1）得的方程为.，………………………………（9分），，…………………………………………（11分）.………………………………………………………………………（13分）20．（本小题共13分）如图椭圆：的两个焦点为、和顶点、构成面积为32的正方形.（1）求此时椭圆的方程；（2）设斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点、、为的中点，且.问：、两点能否关于直线对称.若能，求出的取值范围；若不能，请说明理由.解析：由已知可得且，所以.所求椭圆方程为.………（5分）②设直线的方程为，代入，得.由直线与椭圆相交于不同的两点知，.②…………………………………………………………（7分）要使、两点关于过点、的直线对称，必须.………………（8分）设、，则，.，，解得.③……………………………………………………………（11分）由②、③得，，，.或.故当时，、两点关于过点、的直线对称.（13分）21．（本小题共13分）如图，是边长为2的正方形纸片，沿某动直线为折痕，正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点都落在边上，记为；折痕与交于点，点满足关系式.（1）如图，建立以中点为原点的直角坐标系，求点的轨迹方程；（2）若曲线是由点的轨迹及其关于边对称的曲线组成的，是边上的一点，，过点的直线交曲线于、两点，且，求实数的取值范围.解析：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系如图所示.（1）设，，，其中，.，且，是菱形，设，则，，且，即=0由………………………………………………（2分）由……………………………………………………（4分）消去参数，，得.…………………………………………（7分）（2）依题意知曲线的方程为：，如图.设直线的方程为.……………………………………（8分）代入曲线的方程并整理，得.由.设，，则………………………………（10分）又，，从而得.代入（*）得①式两边平方除以②式，得，即，，.即，.实数的取值范围为.……………………………………………………（13分）附加题：（本小题共5分）给定曲线族，为参数，求该曲线族在直线上所截得的弦长的最大值.解析：由得.解得，要截得的弦最长，就必须的绝对值最大.为了利用正、余弦函数有界性，上式变为：；因为，所以，.该曲线族在上截得弦长的最大值是.