高二数学-新人教[原创]新课标新题型--类比题及解法

新课标选修新课标新题型--类比题及解法山东省临朐第六中学数学组许美文262600类比推理是新课标选修2-2和选修1-2中出现的新知识，对应题型为类比题，其特点是根据两个对象或两类事物之间存在着一些相同或相似的属性，猜测它们之间可能具有其它一些相同或相似的属性的思维方法。这类试题是以类比思维为轴心，与数学方法、数学思想和数学基础知识相结合，着重考查学生的探究能力、创造能力、推理能力，对考生的能力和素质的要求比较高。由于题意新颖，背景独特，在解答时有一定困难。以下介绍几种类比题的题型和解法。一、两个参量与多个参量类比例1、若记号“*”表示两个实数a与b的算术平均的运算，即2baba，则两边均含有运算符号“*”和“＋”，且对于任意3个实数a，b，c都能成立的一个等式可以是_______________。解析：由于本题是探索性和开放性问题，问题的解决需要经过一定的探索过程，并且答案不惟一。这题要把握住2baba，还要注意到试题的要求不仅类比推广到三个数，而且等式两边均含有运算符号“*”和“＋”，则可容易得到a+（bc）=（a+b）（a+c）。正确的结论还有：（ab）+c=（ac）+（bc）,（ab）+c=（ba）+c等。二、同类之间类比（椭圆与双曲线类比）例2、设21、FF分别为椭圆C：012222babyax的左、右两个焦点。已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为PNPMkk,时，那么PNPMkk与之积是与点P位置无关的定值。试对双曲线12222byax写出具有类似特征的性质，并加以证明。解析：类似的性质为：若M，N是双曲线12222byax上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为PNPMkk,时，那么PNPMkk与之积是与点P位置无关的定值。可设点M（m,n），则点N的坐标为（－m,－n）有12222bnam。又设点P（x,y），则由mxnykmxnykPNPM,，得2222mxnymxnymxnykkPNPM，把2222222222,bambnbaxby代入上式，得22abkkPNPM。同类之间的类比在圆锥曲线中，常常以姐妹题形式出现，这样对学生思维和素质的考查具有很好的功能，而且题型新颖，避免了传统的考法的单调。三、与已知数学方法类比例3、设221xxf，利用推导等差数列前n项和的方法——倒序相加法，求65045fffff的值为_______________。解：本题类比数学方法，即利用倒序相加法，通过合情猜想即可解决。由2122122111xxxfxf。设65045fffffS，又54056fffffS，∴21265122ffS，∴23S。四、与已知概念类比例4、（2004年北京）定义“等和数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列｛an｝等和数列，且21a，公和为5。那么18a的值为_______________，这个数列前n项和nS的计算公式为_______________。分析：此题类比等差数列定义给出“等和数列”定义，解决此类问题要认真理解所给出的定义，结合所学知识寻求正确解决方法。解：∵｛an｝是等和数列，21a，公和为5，∴32a，则23a，34a，…知32na，212na（n∈N*）。∴18a＝3，数列｛an｝形如：2，3，2，3，2，3，……。∴为奇数为偶数nnnnSn212525。评注：这是一道新情境题型，关键要吃透定义，对于n为奇数时，2125212521nnSSnn。