2010届高三下学期期中考试数学试题

北大附属实验学校2009—2010学年度下学期高三数学期中试卷第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则CU（M∪N）=（）A.{1，2，3}B.{2}C.{1，3，4}D.{4}2、复数1+2ii(i是虚数单位)的实部是()A．25B．25C．15D．153、已知命题:pxR，sin1x≤，则（）A．:pxR，sin1x≥B．:pxR，sin1x≥C.:pxR，sin1xD．:pxR，sin1x4、函数xxxf2ln)(的零点所在的区间是()A.)2,1(B.),2(eC.)3,(eD.)4,3(5、对于任意实数a，b，定义,,min{,},.aababbab设函数2()3,()logfxxgxx，则函数()min{(),()}hxfxgx的最大值是（）A.0B.1C.2D.36、在ABC中，ABACBABC“”是ACBC“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7、在集合10,,3,2,1,6nnxx中任取一个元素，所取元素恰好满足方程21cosx的概率是A．51B．52C．53D．548、已知函数()fx的导函数()fx的图象如图所示，那么函数()fx的图象最有可能的是（）第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9、若一个底面是正三角形的棱柱的三视图及其尺寸如下图所示（单位：cm），则该几何体的体积是cm3.10、设A(1,2)，B(3,－1)，C(3,4)，则ABAC．11、若140,0,1,xyxyxy且则的最小值是__________.12、曲线3xy在点（1，1）处的切线方程为__________．13、已知变量x，y满足约速条件632xyyxxy，则目标函数yxZ2的最大值为_____14．已知二次函数1)12()1(2xnxnny，当n依次取1,2,3,4,……,10时，其图像在x轴上所截得的线段的长度的总和为_______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15、（本小题满分13分）已知函数f(x)=asinx+bcosx的图象经过点(,0),(,1)63。（Ⅰ）求实数a,b的值；（Ⅱ）若x[0,2]，求函数f(x)的最大值及此时x的值。16、（本小题满分13分）如图，在直三棱柱111ABCABC中，ACBC，点D是AB的中点.求证：（1）1ACBC；（2）1//AC平面1BCD.A1C1B1ABCD17、（本题满分13分）已知复数i(,)Rzxyxy在复平面上对应的点为M．（Ⅰ）设集合4,3,2,0,0,1,2PQ，从集合P中随机取一个数作为x，从集合Q中随机取一个数作为y，求复数z为纯虚数的概率；（Ⅱ）设0,3,0,4xy，求点M落在不等式组：23000xyxy所表示的平面区域内的概率18、（本小题满分13分）已知函数),()(23Rbabxaxxxf的图象过点)2,1(P，且在点P处的切线斜率为8.（Ⅰ）求ba,的值；（Ⅱ）求函数)(xf的单调区间；19．（本题满分14分）已知椭圆22221(0)xyabab的离心率为63，长轴长为23，直线:lykxm交椭圆于不同的两点A，B．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若1m，且0OAOB，求k的值（O点为坐标原点）；（Ⅲ）若坐标原点O到直线l的距离为32，求AOB面积的最大值．20、（本题满分14分）对于函数2()(1)2(0)fxaxbxba，若存在实数0x，使00()fxx成立，则称0x为()fx的不动点．（1）当2,2ab时，求()fx的不动点；（2）若对于任何实数b，函数()fx恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围；（3）在(2)的条件下，若()yfx的图象上,AB两点的横坐标是函数()fx的不动点，且直线2121ykxa是线段AB的垂直平分线，求实数b的取值范围．北大附属实验学校2009-2010学年高三期中考试答案一、DBCBBCAA二、9、24310、-211、912、23xy13、914、1110三、又1AC平面1BCD，OD平面1BCD，∴1//AC平面1BCD17、∴8)1('f，又baxxxf23)('2，∴52ba.②解由①②组成的方程组，可得3,4ba．（Ⅱ）由（Ⅰ）得383)('2xxxf，令0)('xf，可得313xx或；令0)('xf，可得313x．∴函数)(xf的单调增区间为),31(),3,(，减区间为)31,3(.19、解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为(0)cc，依题意,3,36aac解得2c.由222cba，得1b.所求椭圆方程为221.3xy（Ⅱ）1,m1ykx.设1122(,),(,)AxyBxy，其坐标满足方程221,31.xyykx消去y并整理得22(13)60kxkx，则22641300kk，解得0k.故121226,013kxxxxk.0OAOB，2121212121212(1)(1)(1)()1xxyyxxkxkxkxxkxx2222613(1)0101331kkkkkk33k.（Ⅲ）由已知23,21mk可得223(1)4mk．将ykxm代入椭圆方程，整理得222(13)6330kxkmxm.2226413330()kmkm2121222633,.1313kmmxxxxkk2222222212223612(1)(1)()(1)[](31)31kmmABkxxkkk22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)kkmkkkk242221212123334(0)196123696kkkkkk.当且仅当2219kk，即33k时等号成立．经检验，33k满足式．当0k时，3AB.综上可知max2AB.当AB最大时，AOB的面积取最大值2323221S.20、解：2()(1)2(0)fxaxbxba，（1）当2,2ab时，2()24fxxx．设x为其不动点，即224xxx，则22240xx．所以121,2xx，即()fx的不动点是1,2.（2）由()fxx得220axbxb.由已知，此方程有相异二实根，所以24(2)0abab，即2480baba对任意bR恒成立．20,16320baa，02a．（3）设1122(,),(,)AxyBxy，直线2121ykxa是线段AB的垂直平分线，1k．记AB的中点00(,)Mxx，由(2)知02bxa．212()20,bfxxaxbxbxxaM在2121ykxa上，212221bbaaa化简得：211212141222abaaaaa，当22a时，等号成立．即22,,44bb